重庆市西南大学附属中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学复习试卷（Word版附解析）

这是一份重庆市西南大学附属中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学复习试卷（Word版附解析），共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知向量，，若与共线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题意知，，解得.
2. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为（ ）
A. 2B. C. 4D. 6
【答案】D
【解析】
【详解】将直观图还原为原图，如图，

在直观图中，，则，
故在原图中，，，
所以，而，
所以原四边形ABCD中最长边为6.
3. 为锐角三角形是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】因为是锐角三角形，所以，且，
所以，其中，
因为在上单调递增，
所以，所以充分性成立；
若，不妨设，满足，
但为直角三角形，故必要性不成立.
4. 若复数z使得为纯虚数，则（ ）.
A. B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算及复数的概念、复数的模的定义运算即可.
【详解】设，
则，
所以，，
即，所以.
故选：B
5. 已知函数，，且，则（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】先利用三角函数的周期性化简已知点的函数值，得到一个关于参数的关系式，再将所求点的函数值用同样的周期化简，代入已得关系式求出结果.
【详解】由，
得，
即，
则．
故选：C．
6. 将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面边长分别为1和2，则它的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用球和正四棱台的体积相等直接计算即可．
【详解】球的体积为，设铁锭的高为，
则正四棱台的体积为，
由，可得，解得.
7. 某深度学习框架提供了一种自然指数衰减的学习率调整模型（，，，），其中为初始学习率，为衰减率，为衰减步长，为训练步数，为第步时的学习率.现有两种学习率衰减策略和，初始学习率相同，策略的参数为，，策略的参数为，.已知当训练步数为时，策略的学习率首次大于策略的学习率的2倍，当训练步数为时，策略的学习率首次大于策略的学习率的8倍，则（ ）（参考数据：）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】写出不同策略对应的学习率公式，当时，分别列出不等式，结合参考数据，计算后，再根据，求得，进而判断两者关系，即可选择.
【详解】根据题意，策略的学习率，策略的学习率；
当时，由题可知：，即，也即，
两边取对数可得：，故，又，故，
又，且为策略的学习率首次大于策略的学习率的倍，故；
当时，由题可知：，即，也即，
两边取对数可得：，故，
又，故，
又，且为策略的学习率首次大于策略的学习率的倍，故；
故，也即.
故选：A.
8. 球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球缺的高（如图）．若球缺的底面半径为，高为，则球缺的体积．已知棱长为2的正方体的各个顶点都在球上，平面将球截成两部分，那么较小部分的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得球的半径以及平面截外接球所得圆的半径，然后求出球心与截面圆的圆心间距离，再求出球缺的高，最后代入公式求解结果.
【详解】设外接球圆心为，平面截外接球所得圆圆心为.
由题意正方体外接球的半径，平面截外接球所得圆的半径为.
到的距离，则球缺的高.
所以．
二、多选题
9. 已知复数均不为0，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】设出、，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得.
【详解】设、；
对A：设，则，
，故A错误；
对B： ，又，即有，故B正确；
对C：，则，
，，则，
即有，故C正确；
对D：
，
，
故，故D正确.
故选：BCD.
10. 记的内角的对边分别为下列说法中正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则为锐角三角形
D. 当为锐角三角形，且时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A直接由正弦定理进行角化边及大边对大角定理可得；对B根据二倍角公式及正弦定理可得；对C可进行举反例判断；对D先将原不等式等价转化为，再结合正切函数的单调性判断可得.
【详解】对选项A，根据正弦定理，，
因此，即三角形中大边对大角，故，A正确；
对选项B，由，得，
因为，所以，故，结合A的结论得B正确；
对选项C，举反例：取，，，满足条件，
但此时，是钝角三角形，C错误；
对选项D，原不等式等价于： ，
整理得：
利用三角恒等变换得，
因为是锐角三角形，​，
所以原不等式等价于：​.
又因为，所以，
因为函数在单调递增，
因此，原不等式成立，D正确.
11. 如图，是半径为1的圆O的两条不同的直径，，则（ ）
A.
B.
C. 满足的实数与的和为定值4
D. 的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据可直接判断A；建立坐标系，根据数量积的坐标运算可判断B；根据O，C，D三点共线的向量表示可判断C；根据向量的夹角公式求出的表达式，再结合三角函数的范围可求出的范围，进而可求的范围.
【详解】由题意知，，，，，故A错误；
以O为原点，以AB为x轴，以AB的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，根据对称性，不妨取C在x轴上方，设，则，
则，，
，故B正确；
，，
O，C，D三点共线，，即，故C正确；
，，
，，
，，，，，
即，又，，
的最大值为，故D正确.
三、填空题
12. 已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】利用复数的几何意义进行求解.
【详解】复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，半径的圆上，
而表示圆上的点到定点的距离，
圆心到定点距离为：
所以（是虚数单位）的最小值为：.
13. 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称；如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部是棱长为的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】玉琮体积可以分为两部分计算:上下圆筒部分和中部正方体挖去圆柱部分，最后减去空心部分的体积.
【详解】因为圆筒内径长为，所以内圆半径.
外径长为，所以外圆半径
上下两段圆筒总高为，加上中部正方体挖去外圆柱后剩余部分:
上下外圆柱体积+中部正方体体积
=
空心是贯通整个玉琮的内圆柱，总高为，
所以玉琮的体积为.
14. 已知a为实数，函数，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据，构造函数，可得存在唯一，使得,且即可求解.
【详解】，
令，由于当时，，当时，，且在上单调递增，
则存在唯一，使得，且,
若，则，得，可得．
四、解答题
15. 若函数的最大值为3.
（1）求的值及函数的单调递减区间；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】（1）先对函数中的三角部分进行化简，根据题意可建立关于的方程，求解得到值
（2）将拆分为或两个不等式，再结合化简后的函数表达式，利用正弦函数的图象与性质分别求解这两个不等式，最后取并集得到解集
【小问1详解】
因为的最大值为3，所以，
，解得，
的单调递减区间为
【小问2详解】
，
可得或即或，
所以或，
解得或，
所以解集为或.
16. 为了响应全国文明城市的号召，长沙市计划在公园内建造如图所示的正四棱台建筑.
（1）若正四棱台的上、下底面的边长分别为6米和10米，高8米.求该正四棱台的侧面积和体积；
（2）若正四棱台的上、下底面的边长之和为12米，下底与上底边长之差不超过4米，棱台高2米，设.求的最小值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由台体的体积公式求解该正四棱台的体积即可；先求出正四棱台的侧面的高，再由梯形的面积公式求解即可.
（2）设正四棱台上、下底边长分别为，.分别用，表示，，即可表示出，令，则，结合函数的单调性即可得出答案.
【小问1详解】
因为正四棱台的上、下底面的边长分别为6和10，高为8，
故正四棱台体积为，
记，分别为棱台上、下底面的中心，分别取，的中点M，N，
连接，，，，
在梯形中，过作于，
由于正四棱台侧面是全等的等腰梯形，
且，，，所以，
所以，
故该正四棱台的侧面积.
【小问2详解】
设正四棱台上、下底边长分别为，.
由条件可知，，.
此时在等腰梯形中，
，，
所以，
令，
则，
当且仅当时取等号.
17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，在外一点满足，如图，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正、余弦定理、三角恒等变换，再结合三角形内角和，将边的关系转化为角的关系化简得，求得；
（2）将四边形分解成两个三角形的面积之和，将面积表示为三角函数形式，通过三角恒等变换求四边形面积的最大值即可.
【小问1详解】
（1）由，
由余弦定理得：，
即，
由正弦定理得：，
即，
又，
所以，
故，
又，所以，
又，所以，所以，
即．
【小问2详解】
因为，且，
所以为等边三角形．
设，
在中，由余弦定理得，，
所以
，
因为，所以，
所以当，即时，四边形的面积取得最大值，最大值为．
18. 在梯形ABCD中，，，，．，．
（1）用，表示．
（2）设M是线段EF上一点，且．
（ⅰ）求；
（ⅰⅰ）若G为AB的中点，H为线段GD上一个动点，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）（ⅰ）；（ⅰⅰ）.
【解析】
【分析】（1）根据平面向量的线性运算，结合图形可得；
（2）（ⅰ）建立平面直角坐标系，根据已知表示出，再结合共线列方程求出的坐标，由向量的模的公式直接计算可得；（ⅰⅰ）利用坐标表示出目标式，结合二次函数性质求解即可.
【小问1详解】
因为，，，所以
所以.
【小问2详解】
（ⅰ）以为原点，所在直线为轴，过点作与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系.
因为，，所以点分别是上靠近点的三等分点，
又，，，，
所以，
则，
因为，所以，
又三点共线，所以存在使得，
即，即，
解得，所以，
所以，
（ⅰⅰ）因为H为线段GD上一个动点，设，
则，
又
所以
，
由二次函数性质可知，当时取得最小值.
19. 某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花.
（1）求该烟花的体积；
（2）工厂准备将矩形（该矩形内接于图形，M在弧上，N在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（）.
①请用表示燃料的体积V；
②若烟花燃烧时间t和燃料体积V满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间.
【答案】（1）
（2）①②
【解析】
【分析】（1）根据球，圆台，圆锥的体积公式运算即可；
（2）①利用角度关系结合三角函数表示出矩形的边长，从而求出圆柱体的体积；②将体积代入关系式中并化简，解得：，然后结合复合函数和基本不等式将等式转化求解.
【小问1详解】
该烟花由半球，圆台，圆锥三部分组成，
又，，，
所以该烟花的体积.
【小问2详解】
①由图可知：，，
在梯形中，由，，易知，故，
则，
所以；
②由①可知：，
即，
令，则，上式即为，
又令，，则，
当时，，当时，，
当时，
，
当且仅当，即，即时，等号成立，满足题意．
该烟花燃烧的最长时间为．
【点睛】关键点点睛：本题第二问题目难度较大，将等式转化成，然后结合基本不等式二次转化成是本题的关键点和突破点.