2026年走进美妙的数学花园杯五年级数学竞赛试卷

这是一份2026年走进美妙的数学花园杯五年级数学竞赛试卷，共44页。
2．如图所示，将自然数按一定规律排列。若用“工”字型覆盖7个数并求和，且和为679，其中最大的数是 。（“工”字不能旋转或翻转）
3．连续写出从1开始的自然数，写到2026时停止，得到一个多位数：
1234567891011……20252026，请计算：这个多位数除以9，得到的余数是 。
4．一件工作，甲、乙两人合作12天完成，乙、丙两人合作15天完成，甲、丙两人合作要20天完成。那么乙一人独做需要 天完成。
5．用一根长88厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大可能是 立方厘米。
6．钟面上20点26分时，时针与分针所成的钝角是 度。
7．如图E、F两点是正方形ABCD中BC边上的两个五等分点，G为AF、DE的交点，若ABCD的面积为700，则四边形CDGF的面积为 。
8．有含糖量为7%的糖水800克，要使其含糖量增大到113，需要再加 克糖。
9．在商场里，小美从正在向上移动的自动扶梯顶部下120级台阶到达底部，然后从底部上24级台阶回到顶部。自动扶梯从底部到顶部的台阶数是不变的，假设小美单位时间内向下的台阶数是她向上的台阶数的3倍。则该自动扶梯从底部到顶部的台阶数为 级。
10．已知2026除以一个自然数的余数是24，这样的自然数有 个。
11．三角形ABC被分成四块，其中三块的面积分别为4平方厘米、6平方厘米、12平方厘米，四边形AEOF的面积的5倍为 平方厘米。
12．将能表示成1+2+3+……+K的形式的自然数称为三角数。有一个五位数N，它既是三角数，又是完全平方数，这个五位数N是 。
13．七位数的各位数字之和为56，这样的七位数一共有 个。
14．甲、乙两班学生到离校88千米的博物馆参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生。为了尽快到达博物馆，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去博物馆，汽车则从某地立即返回去接在途中步行的乙班学生。如果甲、乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的8倍，那么汽车应在距博物馆 千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达博物馆。
15．在如图六芒星中，从六个顶点ABCDEF中某个顶点出发，一笔画完整个六芒星的方法有 种。
2026年走进美妙的数学花园杯五年级数学竞赛试卷
参考答案与试题解析
1．2027×(11×2+12×3+13×4+⋯+12026×2027)= 2026 。
【分析】先把括号里面每个分数拆分为两个分数单位的差，然后通过加减相互抵消简算即可。
【解答】解：2027×(11×2+12×3+13×4+⋯+12026×2027)
＝2027×（1−12+12−13+13−14+⋯+12026−12027）
＝2027×（1−12027）
＝2027×20262027
＝2026。
故答案为：2026。
【点评】解答此题，应仔细观察，认真分析式中数据，运用运算技巧或运算定律合理简算。
2．如图所示，将自然数按一定规律排列。若用“工”字型覆盖7个数并求和，且和为679，其中最大的数是 105 。（“工”字不能旋转或翻转）
【分析】如解答图，设“工”字中间数为x，根据“工”字型覆盖7个数的和为679建立方程并求方程，解出x后求出x+8，即是所求。
【解答】解：设“工”字中间数为x（x不能处在第1列和第7列），如下图所示：
因为“工”字型覆盖7个数的和为679，
所以x﹣8+x﹣7+x﹣6+x+x+6+x+7+x+8＝679，
即7x＝679，
解得：x＝97，
97÷7＝13（行）……6（个），
即97处于第14行左数第6个数，符合题意。
所以x+8＝97+8＝105。
答：若用“工”字型覆盖7个数并求和，且和为679，其中最大的数是105。
故答案为：105。
【点评】解答本题的关键是明确“工”字中间数不能处在最外侧所在列。
3．连续写出从1开始的自然数，写到2026时停止，得到一个多位数：
1234567891011……20252026，请计算：这个多位数除以9，得到的余数是 1 。
【分析】连续多个自然数组成的多位数，除以9的余数等于这些自然数的总和除以9的余数（因为总和的余数等于各位数字和的余数）。据此解答。
【解答】解：1+2+3+……+2026
＝（1+2026）×2026÷2
＝2027×1013
＝2053351，
2053351÷9＝228150……1，
答：这个多位数除以9，得到的余数是1。
故答案为：1。
【点评】明确连续多个自然数组成的多位数，除以9的余数等于这些自然数的总和除以9的余数是解题的关键。
4．一件工作，甲、乙两人合作12天完成，乙、丙两人合作15天完成，甲、丙两人合作要20天完成。那么乙一人独做需要 20 天完成。
【分析】把这件工作的工作量看作单位“1”。甲、乙两人合作12天完成，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，可得甲、乙合作的工作效率为1÷12=112；乙、丙两人合作15天完成，同理可得乙、丙合作的工作效率为1÷15=115；甲、丙两人合作20天完成，可得甲、丙合作的工作效率为1÷20=120。将甲、乙，乙、丙，甲、丙合作的工作效率相加，得到的是甲、乙、丙三人合作效率的2倍，因此甲、乙、丙三人合作的工作效率为(112+115+120)÷2。先计算括号内的值：112+115+120=560+460+360=1260=15；再除以2，得到甲、乙、丙三人合作的工作效率为15÷2=110。用甲、乙、丙三人合作的工作效率减去甲、丙合作的工作效率，即可得到乙的工作效率：110−120=220−120=120。根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”，乙单独完成工作的时间为1÷120=20（天）。
【解答】解：甲乙丙合作的工作效率：
(112+115+120)÷2
=15÷2
=110，
1÷(110−120)
=1÷120
＝20（天）。
答：乙一人独做需要20天完成。
故答案为：20。
【点评】本题考查了工程问题，解决本题的关键是求出乙的工作效率。
5．用一根长88厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架，这个长方体的体积最大可能是 392 立方厘米。
【分析】长宽高的和是：88÷4＝22（厘米），长方体的体积最大，长宽高的长度必须最接近，即22＝7+7+8，然后再利用长方体的体积公式计算即可解答。
【解答】解：88÷4＝22（厘米），
22＝7+7+8，
8×7×7＝392（立方厘米）。
答：这个长方体的体积最大可能是392立方厘米。
故答案为：392。
【点评】本题关键是明确要使长方体的体积最大，长宽高的长度必须最接近。
6．钟面上20点26分时，时针与分针所成的钝角是 97 度。
【分析】分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°；在20点整时，分针落后时针的角度是：30°×8＝240°，假设时针不动，再根据速度差为：6°﹣0.5°＝5.5°，分针26分钟要再追赶：（6°﹣0.5°）×26，然后用240°减去26分钟追赶的角度即可。
【解答】解：30°×8＝240°，
（6°﹣0.5°）×26＝143°，
240°﹣143°＝97°。
答：钟面上20点26分时，时针与分针所成的钝角是97度。
故答案为：97。
【点评】钟面追及问题和行程追及问题一样，需要解决以下三个关键问题：①分针和时针的起止位置；②分针和时针的速度差；③分针和时针的路程差。
7．如图E、F两点是正方形ABCD中BC边上的两个五等分点，G为AF、DE的交点，若ABCD的面积为700，则四边形CDGF的面积为 170 。
【分析】连接AE、DF，如解答图，根据“三角形面积＝底×高÷2”分别求出三角形ABE的面积和三角形CDF的面积，用正方形的面积减去三角形ABE的面积，再减去三角形CDF的面积即是梯形AEFD的面积，再根据梯形的蝴蝶模型即可求出三角形DFG的的面积，而四边形CDGF的面积即为三角形CDF的面积和三角形DFG的面积之和，据此解答。
【解答】解：连接AE、DF，如下图所示：
因为S正方形ABCD＝700，且E、F两点是正方形ABCD中BC边上的两个五等分点，
所以S△ABE=12AB•BE=12AB•25BC=15AB•BC=15S正方形ABCD=15×700＝140，
S△CDF=12CD•CF=12CD•15BC=110CD•BC=110S正方形ABCD=110×700＝70，
所以S四边形AEFD＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△CDF＝700﹣140﹣70＝490，
因为EF：AD＝2：5，
根据蝴蝶模型可得：
S△EFG：S△AEG：S△DFG：S△ADG＝4：10：10：25，
所以S△DFG=104+10+10+25S四边形AEFD=1049S四边形AEFD=1049×490＝100，
所以S四边形CDGF＝S△CDF+S△DFG＝70+100＝170。
答：四边形CDGF的面积为170。
故答案为：170。
【点评】熟练掌握蝴蝶模型是解答本题的关键。
8．有含糖量为7%的糖水800克，要使其含糖量增大到113，需要再加 6 克糖。
【分析】要提高糖水的含糖量，需加入糖，该过程中糖水中水的质量不变，根据“糖水的质量×含水量＝水的质量”，用800×（1﹣7%）求出原来糖水中水的质量，加糖后含糖量变为113，此时水占糖水总量的1−113，根据分数除法的意义，用水的质量除以1−113列式解答即可求出加糖后糖水的质量，再减去原来糖水的质量即可解答。
【解答】解：加糖后糖水的质量：
800×（1﹣7%）÷（1−113）
＝800×0.93×1312
＝806（克），
需要再加的糖的质量：
806﹣800＝6（克）。
答：需要再加6克糖。
故答案为：6。
【点评】熟练掌握糖的质量、含糖率、糖水的关系是解题的关键。
9．在商场里，小美从正在向上移动的自动扶梯顶部下120级台阶到达底部，然后从底部上24级台阶回到顶部。自动扶梯从底部到顶部的台阶数是不变的，假设小美单位时间内向下的台阶数是她向上的台阶数的3倍。则该自动扶梯从底部到顶部的台阶数为 60 级。
【分析】设小美向上的台阶数速度为x级/单位时间，则向下的台阶数速度为3x级/单位时间；设自动扶梯的速度为y级/单位时间，自动扶梯从底部到顶部的台阶数为N级。小美从顶部下到底部走了120级台阶，所用时间为1203x单位时间，此过程中自动扶梯向上移动了y×1203x级台阶，可得方程N=120−y×1203x ①。小美从底部上到顶部走了24级台阶，所用时间为24x单位时间，此过程中自动扶梯向上移动了y×24x级台阶，可得方程N=24+y×24x ②。由①②可得120−40yx=24+24yx，解得yx=9664=32。将yx=32代入②式，N=24+24×32=24+36=60。
【解答】解：设小美向上速度为x级/单位时间，则向下速度为3x级/单位时间，扶梯速度为y级/单位时间，扶梯总台阶数为N级。
向下走120级用时1203x，扶梯向上移动y×1203x级，得N=120−40yx，
向上走24级用时24x，扶梯向上移动y×24x级，得N=24+24yx，
联立方程：120−40yx=24+24yx，
移项得96=64yx，
解得yx=32。
代入N=24+24×32=60（级）。
答：自动扶梯从底部到顶部的台阶数为60级。
【点评】本题考查了上楼问题，解决本题的关键是通过设未知数表示小美上下台阶的速度、时间以及自动扶梯的速度和台阶数，根据上下过程中自动扶梯移动的台阶数与小美实际走的台阶数关系列方程求解。
10．已知2026除以一个自然数的余数是24，这样的自然数有 9 个。
【分析】在有余数的除法中：被除数＝除数×商+余数，且除数＞余数，已知被除数是2026，余数是24，所以2026﹣24＝2002，这说明除数是2002的因数，且除数＞24。据此解答。
【解答】解：2002分解质因数：2002＝2×7×11×13，
因数个数：（1+1）×（1+1）×（1+1）×（1+1）＝16（个），
所有因数：1、2、7、11、13、2×7＝14、2×11＝22、2×13＝26、7×11＝77、7×13＝91、11×13＝143、2×7×11＝154、2×7×13＝182、2×11×13＝286、7×11×13＝1001、2×7×11×13＝2002，共计16个。
小于24的因数：1、2、7、11、13、14、22，共计7个，
大于24的因数：16﹣7＝9（个）。
答：已知2026除以一个自然数的余数是24，这样的自然数有9个。
故答案为：9。
【点评】明确有余数的除法中被除数、除数、商、余数之间的关系是解题的关键。
11．三角形ABC被分成四块，其中三块的面积分别为4平方厘米、6平方厘米、12平方厘米，四边形AEOF的面积的5倍为 34 平方厘米。
【分析】连接AO，如解答图，设三角形AEO的面积为x平方厘米，根据等高三角形的面积比等于对应底边之比求出EO：OC以及FO：OB，进而用x表示出三角形ACO的面积，再根据S△AFO：S△ABO＝1：2，即可建立x的方程，解方程即可求出x的值，即三角形AEO的面积，进而求出四边形AEOF的面积，最后求出5倍四边形AEOF的面积即可解答本题。
【解答】解：连接AO，如下图所示：
设三角形AEO的面积为x平方厘米，
因为S△BEO：S△BCO＝4：12＝1：3，
所以EO：OC＝1：3，
同理FO：OB＝6：12＝1：2，
所以S△ACO＝3S△AEO＝3x，
所以S△AFO：S△ABO＝（3x﹣6）：（x+4）＝FO：OB＝1：2，
即（3x﹣6）：（x+4）＝1：2，
解得：x＝3.2，
所以S四边形AEOF＝3.2+（3×3.2﹣6）＝6.8（平方厘米），
5S四边形AEOF＝5×6.8＝34（平方厘米）。
答：四边形AEOF的面积的5倍为34平方厘米。
故答案为：34。
【点评】明确等高三角形的面积比等于对应底边之比是解答本题的关键。
12．将能表示成1+2+3+……+K的形式的自然数称为三角数。有一个五位数N，它既是三角数，又是完全平方数，这个五位数N是 41616 。
【分析】N＝（1+K）×K÷2，且N＝m2（m为自然数），则（1+K）×K÷2＝m2，即K2+K﹣2m2＝0，已知五位数N，则10000≤N≤99999，因为（1+K）×K÷2≈K2÷2，则K≈2N，所以142≤K≤447，因为3162＝99856，所以100≤m≤316，已知K2+K﹣2m2＝0，计算K和m，由此解答本题。
【解答】解：N＝（1+K）×K÷2，
且N＝m2（m为自然数），
则（1+K）×K÷2＝m2，
即K2+K﹣2m2＝0，
已知五位数N，
则10000≤N≤99999，
因为（1+K）×K÷2≈K2÷2，
则K≈2N，
所以142≤K≤447，
因为3162＝99856，
所以100≤m≤316，
已知K2+K﹣2m2＝0，
解得：K＝288，m＝204，
所以N＝288×289÷2＝41616。
故答案为：41616。
【点评】本题考查的是数字问题的应用，解决本题的关键是理解题意。
13．七位数的各位数字之和为56，这样的七位数一共有 1716 个。
【分析】如果每位数字都是9，则数字和是9×7＝63，比56大了7，即7个数字总共要减去7，且每个数字减完后大于等于0，且首位不为0。设7个数字为d1，d2，d3，d4，d5，d6，d7，其中d1≥1，di≤9 （i＝1～7），且d1+d2+……+d7＝56，等价于：令ei＝9﹣d≥0，则（9﹣e1）+（9﹣e2）+……+（9﹣e7）＝56，即63﹣（e1+e2+……+e7）＝56，所以e1+e2+……+e7＝7，同时d1≥1，即9﹣ei≥1，所以e1≤8，而e1是和为7的非负整数，所以e1≤7＜8，这个条件自动满足。即求e1+e2+……+e7＝7的非负整数解的个数，用隔板法即可解答。
【解答】解：C7+7−17−1=C136=13×12×11×10×9×86×5×4×3×2×1=1716，
因为ei＝9﹣d≥0，
所以ei≤9，
而总和是7，每个ei都不可能超过9，
所以没有需要排除的情况。
因为ei的和是7，
即每个ei最大只能是7，都≤9，且首位d1＝9﹣ei≥2＞0，
所以所有解都对应合法的七位数。
答：七位数的各位数字之和为56，这样的七位数一共有1716个。
故答案为：1716。
【点评】熟练掌握隔板法是解答本题的关键。
14．甲、乙两班学生到离校88千米的博物馆参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生。为了尽快到达博物馆，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去博物馆，汽车则从某地立即返回去接在途中步行的乙班学生。如果甲、乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的8倍，那么汽车应在距博物馆 72 千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达博物馆。
【分析】设学生步行速度为v，则汽车速度为8v，设汽车送甲班行驶x千米后返回接乙班。甲班从学校到博物馆时间分两个阶段，第1阶段：汽车送到距离学校x千米处，根据“时间（t1）＝路程（x）÷速度（8v）”求出乘车时间t1；第2阶段：在距离学校x千米处下车后步行到达博物馆的时间t甲步，即根据“时间（t甲步）＝路程（88﹣x）＝速度（v）”求出t甲步，故甲班从学校到博物馆合计用时为t1+t甲步。乙班从学校到博物馆时间分三个阶段，第1阶段：从学校步行到达甲班下车的时间，用时t1，根据“路程（S1）＝速度（v）×时间（t1）”求出此时乙班的步行路程S1；第2阶段：乙班和汽车相向而行，根据“时间（t2）＝路程（甲班下车时的路程x﹣乙班第1阶段步行路程S1）÷速度和（v+8v）”求出乙班和汽车相遇用时t2，再根据“路程（S2）＝速度（v）×时间（t2）”求出第2阶段乙班步行的路程S2，进而求出乙班步行的总路程S乙步总＝S1+S2，再用全程（88千米）减去乙班步行的总路程（S1+S2）即为乙班乘车的路程（88﹣S乙步总）；第3阶段，根据“时间（t3）＝路程（88﹣S乙步总）÷速度（8v）”求出乙班乘车的时间t3；进而即可求出乙班从学校到博物馆合计用时为t1+t2+t3。因为两班同时到达，所以总时间相等，即：t1+t甲步＝t1+t2+t3。据此列方程解方程即可求出x，即所求。
【解答】解：设学生步行速度为v，则汽车速度为8v，设汽车送甲班行驶x千米后返回接乙班。
汽车送甲班到x千米处的时间：t1＝x÷8v=x8v，
t1时间内乙班的步行路程：S1＝vt1＝v•x8v=x8，
汽车行驶路程与乙班步行之间的路程差：x−x8=7x8，
汽车返回与乙班相向而行，相遇时间：t2=7x8÷（v+8v）=7x72v，
相遇时乙班又步行的距离：S2＝vt2＝v•7x72v=7x72，
此时乙班总共步行的路程：S乙步总＝S1+S2=x8+7x72=2x9，
汽车返回的路程：8v•t2＝8v•7x72v=7x9，
汽车送乙班的路程：88﹣S乙步总＝88−2x9=792−2x9，
汽车送乙班的时间：t3=792−2x9÷8v=792−2x72v，
甲班步行的路程：88﹣x，
甲班步行的步行时间：t甲步＝（88﹣x）÷v=88−xv，
甲班总时间＝t1+t甲步=x8v+88−xv=704−7x8v，
乙班总时间＝：t1+t2+t3=x8v+7x72v+792−2x72v，
因为两班同时到达，
所以总时间相等，即：
704−7x8v=x8v+7x72v+792−2x72v，
解得：x＝72。
答：汽车应在距博物馆72千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达博物馆。
故答案为：72。
【点评】熟练掌握路程、速度和时间三者之间的关系是解题的关键。
15．在如图六芒星中，从六个顶点ABCDEF中某个顶点出发，一笔画完整个六芒星的方法有 24 种。
【分析】有6个起点位置可选，每个起点位置都有2个方向可选，从起点出发到第一个交叉点后，沿着原来方向直走，只能走一个三角形，不符合要求，则在第一个交叉点要转弯，有2个方向可选，后续每个交叉点都只有唯一的走法，由此解答本题。
【解答】解：有6个起点位置可选，
每个起点位置都有2个方向可选，
从起点出发到第一个交叉点后，沿着原来方向直走，只能走一个三角形，不符合要求，
则在第一个交叉点要转弯，有2个方向可选，
后续每个交叉点都只有唯一的走法，
共：6×2×2＝24（种）。
答：一笔画完整个六芒星的方法有24种。
故答案为：24。
【点评】本题考查的是排列组合的应用，本题利用乘法原理去解答。
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