2026届广东省汕头市潮南实验学校高考数学倒计时模拟卷含解析

这是一份2026届广东省汕头市潮南实验学校高考数学倒计时模拟卷含解析，共17页。试卷主要包含了已知集合，则等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．5B．10C．15D．20
2．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝﹣x﹣2，则（ ）
A．B．f（sin3）＜f（cs3）
C．D．f（2020）＞f（2019）
3．函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，并且函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为（ ）
A．B．C．2D．
4．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知等差数列的前13项和为52，则（ ）
A．256B．-256C．32D．-32
6．已知集合，则( )
A．B．
C．D．
7．已知，，，是球的球面上四个不同的点，若，且平面平面，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．正方体，是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面平行的直线有几条（ ）
A．36B．21C．12D．6
9．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1}D．{0，1，2}
10．在边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体（如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．
C．D．
11．若双曲线的离心率为，则双曲线的焦距为（ ）
A．B．C．6D．8
12．已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象( )
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若正实数，，满足，则的最大值是__________．
14．经过椭圆中心的直线与椭圆相交于、两点（点在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为点.设直线与椭圆的另一个交点为.则的值是________________．
15．已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_____.
16．抛物线的焦点坐标为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示:
已知变量且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲； 乙；丙，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.
（1）试判断谁的计算结果正确？
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取个，求“理想数据”的个数为的概率.
18．（12分）已知椭圆的焦点为，，离心率为，点P为椭圆C上一动点，且的面积最大值为，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点，为椭圆C上的两个动点，当为多少时，点O到直线MN的距离为定值.
19．（12分）已知矩阵，且二阶矩阵M满足AMB，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.
20．（12分）已知集合，.
（1）若，则；
（2）若，求实数的取值范围.
21．（12分）对于正整数，如果个整数满足，
且，则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.
(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;
(Ⅱ)对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值;
(Ⅲ)对所有的正整数，证明:;并求出使得等号成立的的值.
(注:对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)
22．（10分）已知是公比为的无穷等比数列，其前项和为，满足，________．是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．
从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
利用等差通项，设出和，然后，直接求解即可
【详解】
令，则，，∴，，∴.
【点睛】
本题考查等差数列的求和问题，属于基础题
2、B
【解析】
根据函数的周期性以及x∈[﹣3，﹣2]的解析式，可作出函数f（x）在定义域上的图象，由此结合选项判断即可.
【详解】
由f（x+2）＝f（x），得f（x）是周期函数且周期为2，
先作出f（x）在x∈[﹣3，﹣2]时的图象，然后根据周期为2依次平移，
并结合f（x）是偶函数作出f（x）在R上的图象如下，
选项A，，
所以，选项A错误；
选项B，因为，所以，
所以f（sin3）＜f（﹣cs3），即f（sin3）＜f（cs3），选项B正确；
选项C，，
所以，即，
选项C错误；
选项D，，选项D错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数性质的综合运用，考查函数值的大小比较，考查数形结合思想，属于中档题.
3、C
【解析】
由函数的图象向右平移个单位得到，函数在区间上单调递增，在区间
上单调递减，可得时，取得最大值，即，，，当时，解得，故选C.
点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出，根据函数在区间上单调递增，在区间上单调递减可得时，取得最大值，求解可得实数的值.
4、C
【解析】
作出三棱锥的实物图，然后补成直四棱锥，且底面为矩形，可得知三棱锥的外接球和直四棱锥的外接球为同一个球，然后计算出矩形的外接圆直径，利用公式可计算出外接球的直径，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.
【详解】
三棱锥的实物图如下图所示：
将其补成直四棱锥，底面，
可知四边形为矩形，且，.
矩形的外接圆直径，且.
所以，三棱锥外接球的直径为，
因此，该三棱锥的外接球的表面积为.
故选：C.
【点睛】
本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
5、A
【解析】
利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果.
【详解】
由，，得.选A.
【点睛】
本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果.
6、B
【解析】
先由得或，再计算即可.
【详解】
由得或，
，,
又，.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了集合的交集，补集的运算，考查学生的运算求解能力.
7、A
【解析】
由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案．
【详解】
如图，
取BC中点G，连接AG，DG，则，，
分别取与的外心E，F，分别过E，F作平面ABC与平面DBC的垂线，相交于O，
则O为四面体的球心，
由，得正方形OEGF的边长为，则，
四面体的外接球的半径，
球O的表面积为．
故选A．
【点睛】
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
8、B
【解析】
先找到与平面平行的平面，利用面面平行的定义即可得到.
【详解】
考虑与平面平行的平面，平面，平面，
共有，
故选：B.
【点睛】
本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义，涉及到了简单的组合问题，是一中档题.
9、D
【解析】
解一元二次不等式化简集合,再由集合的交集运算可得选项.
【详解】
因为集合
，
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，属于基础题.
10、A
【解析】
画图取的中点M，法一：四边形的外接圆直径为OM，即可求半径从而求外接球表面积；法二：根据，即可求半径从而求外接球表面积；法三：作出的外接圆直径，求出和，即可求半径从而求外接球表面积；
【详解】
如图，取的中点M，和的外接圆半径为，和的外心，到弦的距离（弦心距）为.
法一：四边形的外接圆直径，，
；
法二：，，；
法三：作出的外接圆直径，则，，，
，，，
，，，.
故选：A
【点睛】
此题考查三棱锥的外接球表面积，关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径，方法较多，属于较易题目.
11、A
【解析】
依题意可得，再根据离心率求出，即可求出，从而得解；
【详解】
解：∵双曲线的离心率为，
所以，∴，∴，双曲线的焦距为.
故选：A
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.
12、A
【解析】
根据函数图像平移原则，即可容易求得结果.
【详解】
因为，
故要得到，只需将向左平移个单位长度.
故选：A.
【点睛】
本题考查函数图像平移前后解析式的变化，属基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
分析：将题中的式子进行整理，将当做一个整体，之后应用已知两个正数的整式形式和为定值，求分式形式和的最值的问题的求解方法，即可求得结果.
详解：，当且仅当等号成立，故答案是.
点睛：该题属于应用基本不等式求最值的问题，解决该题的关键是需要对式子进行化简，转化，利用整体思维，最后注意此类问题的求解方法-------相乘，即可得结果.
14、
【解析】
作出图形，设点，则、，设点，利用点差法得出，利用斜率公式得出，进而可得出，可得出，由此可求得的值.
【详解】
设点，则、，设点，
则，两式相减得，即，
即，
由斜率公式得，，，故，
因此，.
故答案为：.
【点睛】
本题考查椭圆中角的余弦值的求解，涉及了点差法与斜率公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
15、
【解析】
试题分析：根据题意设三角形的三边长分别设为为，所对的角为最大角，设为，则根据余弦定理得，故答案为.
考点：余弦定理及等比数列的定义.
16、
【解析】
变换得到，计算焦点得到答案.
【详解】
抛物线的标准方程为，，所以焦点坐标为．
故答案为：
【点睛】
本题考查了抛物线的焦点坐标，属于简单题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）乙同学正确；（2）.
【解析】
（1）根据变量且有线性负相关关系判断甲不正确.根据回归直线方程过样本中心点，判断出乙正确.
（2）由线性回归方程得到的估计数据，计算出误差，求得“理想数据”的个数，由此利用古典概型概率计算公式，求得所求概率.
【详解】
（1）已知变量具有线性负相关关系，故甲不正确，
，代入两个回归方程，验证乙同学正确，
故回归方程为：
（2）由（1）得到的回归方程，计算估计数据如下表：
由上表可知，“理想数据”的个数为.
用列举法可知，从个不同数据里抽出个不同数据的方法有种.
从符合条件的个不同数据中抽出个，还要在不符合条件的个不同数据中抽出个的方法有种.
故所求概率为
【点睛】
本小题主要考查回归直线方程的判断，考查古典概型概率计算，考查数据处理能力，属于中档题.
18、（1）；（2）当＝0时，点O到直线MN的距离为定值.
【解析】
（1）的面积最大时，是短轴端点，由此可得，再由离心率及可得，从而得椭圆方程；
（2）在直线斜率存在时，设其方程为，现椭圆方程联立消元（）后应用韦达定理得，注意，一是计算，二是计算原点到直线的距离，两者比较可得结论．
【详解】
（1）因为在椭圆上，当是短轴端点时，到轴距离最大，此时面积最大，所以，由，解得，
所以椭圆方程为．
（2）在时，设直线方程为，原点到此直线的距离为，即，
由，得，
，，
所以，，
，
所以当时，，，为常数．
若，则，，，，，
综上所述，当＝0时，点O到直线MN的距离为定值.
【点睛】
本题考查求椭圆方程与椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力．解题方法是“设而不求”法．在直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联系已知式与待求式．
19、特征值为1，特征向量为．
【解析】
设出矩阵M结合矩阵运算和矩阵相等的条件可求矩阵M，然后利用可求特征值的另一个特征向量.
【详解】
设矩阵M＝，则AM＝，
所以，解得，所以M＝，
则矩阵M的特征方程为，解得，即特征值为1，
设特征值的特征向量为，则，
即，解得x＝0，所以属于特征值的的一个特征向量为．
【点睛】
本题主要考查矩阵的运算及特征量的求解，矩阵运算的关键是明确其运算规则，侧重考查数学运算的核心素养.
20、（1）；（2）
【解析】
（1）将代入可得集合B，解对数不等式可得集合A，由并集运算即可得解.
（2）由可知B为A的子集，即；当符合题意，当B不为空集时，由不等式关系即可求得的取值范围.
【详解】
（1）若，则，
依题意，
故；
（2）因为，故；
若，即时，，符合题意；
若，即时，，
解得；
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】
本题考查了集合的并集运算，由集合的包含关系求参数的取值范围，注意讨论集合是否为空集的情况，属于基础题.
21、 (Ⅰ) ，，，，；(Ⅱ) 为偶数时，，为奇数时，；(Ⅲ)证明见解析，，
【解析】
(Ⅰ)根据题意直接写出答案.
(Ⅱ)讨论当为偶数时，最大为，当为奇数时，最大为，得到答案.
(Ⅲ) 讨论当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故，当为偶数时，
根据对应关系得到，再计算，，得到答案.
【详解】
(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：，，，，.
(Ⅱ)当为偶数时，时，最大为；
当为奇数时，时，最大为；
综上所述：为偶数，最大为，为奇数时，最大为.
(Ⅲ)当为奇数时，，至少存在一个全为1的拆分，故；
当为偶数时，设是每个数均为偶数的“正整数分拆”，
则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”，
故.
综上所述：.
当时，偶数“正整数分拆”为，奇数“正整数分拆”为，；
当时，偶数“正整数分拆”为，，奇数“正整数分拆”为，
故；
当时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为的奇数拆分外，至少多出一项各项均为的“正整数分拆”，故.
综上所述：使成立的为：或.
【点睛】
本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
22、见解析
【解析】
选择①或②或③，求出的值，然后利用等比数列的求和公式可得出关于的不等式，判断不等式是否存在符合条件的正整数解，在有解的情况下，解出不等式，进而可得出结论.
【详解】
选择①：因为，所以，所以．
令，即，，所以使得的正整数的最小值为；
选择②：因为，所以，．
因为，所以不存在满足条件的正整数；
选择③：因为，所以，所以．
令，即，整理得．
当为偶数时，原不等式无解；
当为奇数时，原不等式等价于，
所以使得的正整数的最小值为．
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
试销价格(元)
产品销量 (件)
0
2
1
2
1
2