2026届福建省厦门六中高三二诊模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届福建省厦门六中高三二诊模拟考试数学试卷含解析，共20页。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数和复数，则为
A．B．C．D．
2．已知复数z满足i•z＝2+i，则z的共轭复数是（）
A．﹣1﹣2iB．﹣1+2iC．1﹣2iD．1+2i
3．已知数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知集合，，，则( )
A．B．C．D．
5．若复数满足,则( )
A．B．C．D．
6．设i为虚数单位，若复数，则复数z等于( )
A．B．C．D．0
7．已知函数是上的偶函数，是的奇函数，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．若为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点表示复数，则表示复数的点是（ ）
A．EB．FC．GD．H
9．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆都相切，则双曲线的离心率是（ ）
A．2或B．2或C．或D．或
10．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB的面积为，则p=（ ）．
A．1B．C．2D．3
11．已知抛物线：（）的焦点为，为该抛物线上一点，以为圆心的圆与的准线相切于点，，则抛物线方程为（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列的各项均为正数，满足，．，若是等比数列，数列的通项公式_______．
14．边长为2的正方形经裁剪后留下如图所示的实线围成的部分，将所留部分折成一个正四棱锥.当该棱锥的体积取得最大值时，其底面棱长为________.
15．若，则__________.
16．若实数满足约束条件，设的最大值与最小值分别为，则_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数f(x)=ex-x2 -kx（其中e为自然对数的底，k为常数）有一个极大值点和一个极小值点．
（1）求实数k的取值范围；
（2）证明：f(x)的极大值不小于1．
18．（12分）山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为、、、、、、、共8个等级。参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩.
举例说明.
某同学化学学科原始分为65分，该学科等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属等级.而等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：
设该同学化学科的转换等级分为，，求得.
四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.
（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布.
（i）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩；
（ii）求物理原始分在区间的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记表示这4人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望.
（附：若随机变量，则，，）
19．（12分）在中，角的对边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积．
20．（12分）已知椭圆：（），与轴负半轴交于，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线：与椭圆交于，两点，连接，并延长交直线于，两点，已知，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.
21．（12分）棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取21根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于311的为“长纤维”，其余为“短纤维”）
（1）由以上统计数据，填写下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过1.125的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”.
附：（1）；
（2）临界值表；
（2）现从上述41根纤维中，按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测，在这8根纤维中，记乙地“短纤维”的根数为，求的分布列及数学期望.
22．（10分）如图，三棱柱中，平面，，，分别为，的中点.
（1）求证： 平面；
（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出．
【详解】
z1z2＝（cs23°+isin23°）•（cs37°+isin37°）＝cs60°+isin60°＝．
故答案为C．
【点睛】
熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键，复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.
2、D
【解析】
两边同乘-i，化简即可得出答案．
【详解】
i•z＝2+i两边同乘-i得z=1-2i,共轭复数为1+2i，选D.
【点睛】
的共轭复数为
3、C
【解析】
利用的前项和求出数列的通项公式，可计算出，然后利用裂项法可求出的值.
【详解】
.
当时，；
当时，由，
可得，
两式相减，可得，故，
因为也适合上式，所以.
依题意，，
故.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用求，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.
4、A
【解析】
求得集合中函数的值域，由此求得，进而求得.
【详解】
由，得，所以，所以.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.
5、C
【解析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解．
【详解】
解：由，得，
∴．
故选C．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
6、B
【解析】
根据复数除法的运算法则，即可求解.
【详解】
.
故选:B.
【点睛】
本题考查复数的代数运算，属于基础题.
7、B
【解析】
根据函数的奇偶性及题设中关于与关系，转换成关于的关系式，通过变形求解出的周期，进而算出.
【详解】
为上的奇函数，
，
而函数是上的偶函数，，
，
故为周期函数，且周期为
故选：B
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题.
8、C
【解析】
由于在复平面内点的坐标为，所以，然后将代入化简后可找到其对应的点.
【详解】
由，所以，对应点.
故选：C
【点睛】
此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题.
9、A
【解析】
根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在x、y轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率．
【详解】
设双曲线C的渐近线方程为y=kx，是圆的切线得： ，
得双曲线的一条渐近线的方程为 ∴焦点在x、y轴上两种情况讨论：
①当焦点在x轴上时有：
②当焦点在y轴上时有：
∴求得双曲线的离心率 2或．
故选：A．
【点睛】
本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．解题的关键是：由圆的切线求得直线 的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值．此题易忽视两解得出错误答案．
10、C
【解析】
试题分析：抛物线的准线为，双曲线的离心率为2，则，
，渐近线方程为，求出交点，，
，则；选C
考点：1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程；
11、C
【解析】
根据抛物线方程求得点的坐标，根据轴、列方程，解方程求得的值.
【详解】
不妨设在第一象限，由于在抛物线上，所以，由于以为圆心的圆与的准线相切于点，根据抛物线的定义可知，、轴，且.由于，所以直线的倾斜角为，所以，解得，或（由于，故舍去）.所以抛物线的方程为.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
12、C
【解析】
求导，先求出在单增，在单减，且知设，则方程有4个不同的实数根等价于方程
在上有两个不同的实数根，再利用一元二次方程根的分布条件列不等式组求解可得.
【详解】
依题意，，
令，解得，，故当时，，
当，，且，
故方程在上有两个不同的实数根，
故，
解得.
故选：C.
【点睛】
本题考查确定函数零点或方程根个数.其方法：
(1)构造法：构造函数(易求，可解)，转化为确定的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出的图象草图，数形结合求解；
(2)定理法：先用零点存在性定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
利用递推关系，等比数列的通项公式即可求得结果.
【详解】
因为，所以，
因为是等比数列，所以数列的公比为1．
又，
所以当时，有．
这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以，
故答案为：.
【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式，属于简单题目.
14、
【解析】
根据题意，建立棱锥体积的函数，利用导数求函数的最大值即可.
【详解】
设底面边长为，则斜高为，即此四棱锥的高为，
所以此四棱锥体积为，
令，
令，
易知函数在时取得最大值.
故此时底面棱长.
故答案为：.
【点睛】
本题考查棱锥体积的求解，涉及利用导数研究体积最大值的问题，属综合中档题.
15、
【解析】
由已知利用两角差的正弦函数公式可得，两边平方，由同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可计算得解．
【详解】
，得，
在等式两边平方得，解得.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
16、
【解析】
画出可行域，平移基准直线到可行域边界位置，由此求得最大值以及最小值，进而求得的比值.
【详解】
画出可行域如下图所示，由图可知，当直线过点时，取得最大值7；过点时，取得最小值2，所以.
【点睛】
本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）见解析
【解析】
（1）求出，记，问题转化为方程有两个不同解，求导，研究极值即可得结果 ；
（2）由（1）知，在区间上存在极大值点，且，则可求出极大值，记，求导，求单调性，求出极值即可.
【详解】
（1），由，
记，，
由，且时，，单调递减，，
时，，单调递增，，
由题意，方程有两个不同解，所以；
（2）解法一：由（1）知，在区间上存在极大值点，且，
所以的极大值为，
记，则，
因为，所以，
所以时，，单调递减，时，，单调递增，
所以，即函数的极大值不小于1.
解法二：由（1）知，在区间上存在极大值点，且，
所以的极大值为，
因为，，所以.
即函数的极大值不小于1.
【点睛】
本题考查导数研究函数的单调性，极值，考查学生综合分析能力与转化能力，是一道中档题.
18、 (1)（i）83.;（ii）272.(2)见解析.
【解析】
（1）根据原始分数分布区间及转换分区间，结合所给示例，即可求得小明转换后的物理成绩；根据正态分布满足，结合正态分布的对称性即可求得内的概率，根据总人数即可求得在该区间的人数。
（2）根据各等级人数所占比例可知在区间内的概率为，由二项分布即可求得的分布列及各情况下的概率，结合数学期望的公式即可求解。
【详解】
（1）（i）设小明转换后的物理等级分为，
，
求得.
小明转换后的物理成绩为83分；
（ii）因为物理考试原始分基本服从正态分布，
所以
.
所以物理原始分在区间的人数为（人）；
（2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间内的概率为，
随机抽取4人，则.
，，
，，
.
的分布列为
数学期望.
【点睛】
本题考查了统计的综合应用，正态分布下求某区间概率的方法，分布列及数学期望的求法，文字多，数据多，需要细心的分析和理解，属于中档题。
19、（1）；（2）
【解析】
(1)利用正弦定理边化角,再利用二倍角的正弦公式与正弦的和角公式化简求解即可.
(2)由(1)有,根据正弦定理可得,进而求得的值,再根据三角形的面积公式求解即可.
【详解】
（1）由,得,
得,
由正弦定理得,
显然,同时除以,得.
所以.所以.
显然,所以,解得.又,所以.
（2）若,由正弦定理得,得,解得.
又,
所以.
【点睛】
本题主要考查了正余弦定理与面积公式在解三角形中的运用,需要根据题意用正弦定理进行边角互化,再根据三角恒等变换进行化简求解等.属于中档题.
20、（1） （2）证明见解析；定点坐标为
【解析】
（1）由条件直接算出即可
（2）由得，，，由可得，同理，然后由推出即可
【详解】
（1）由题有，.∴，∴.
∴椭圆方程为.
（2）由得
，.又
∴，
同理
又
∴
∴
∴
∴
∴
∴，此时满足
∴
∴直线恒过定点
【点睛】
涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.
21、（1）在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）可以根据所给表格填出列联表，利用列联表求出，结合所给数据，应用独立性检验知识可作出判断；（2）写出的所有可能取值，并求出对应的概率，可列出分布列并进一步求出的数学期望．试题解析：（Ⅰ）根据已知数据得到如下列联表：
根据列联表中的数据，可得
所以，在犯错误概率不超过的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．
（Ⅱ）由表可知在8根中乙地“短纤维”的根数为，
的可能取值为：1,1,2,3，
，，
，．
∴ 的分布列为：
∴ ．
22、（1）详见解析；（2）.
【解析】
（1）连接，，则且为的中点，
又∵为的中点，∴，
又平面，平面，
故平面．
（2）由平面，得，．
以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则，，，
，，．
取平面的一个法向量为，
由，得：
，令，得
同理可得平面的一个法向量为
∵平面平面，∴
解得，得，又，
设直线与平面所成角为，则
.
所以，直线与平面所成角的正弦值是．
纤维长度
甲地（根数）
3
4
4
5
4
乙地（根数）
1
1
2
11
6
甲地
乙地
总计
长纤维
短纤维
总计
1．11
1.15
1.125
1.111
1.115
1.111
2.716
3.841
5.124
6.635
7.879
11.828
0
1
2
3
4
甲地
乙地
总计
长纤维
9
16
25
短纤维
11
4
15
总计
21
21
41
1
1
2
3