山东德州市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

这是一份山东德州市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数在处的导数为1，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
2.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C. 39D. 78
3.下列求导正确的是（）
A. B.
C. D.
4.下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量（单位：t）与相应的生产能耗（单位：t标准煤）的几组数据：
根据数据可得到的回归方程为，则（ ）
A. 4.6B. 4.55C. 4.5D. 4.35
5.敦煌莫高窟的藻井图案具有独特的几何美感.某藻井图案的构造规则如下：最外层（第1层）是一个边长为4的正方形，连接该正方形各边的中点得到第2层正方形，再连接第2层正方形各边的中点得到第3层正方形⋯，以此类推.则第6层正方形的边长为（）
A. B. C. 1D.
6.已知等差数列的前项和为，则（ ）
A. 2B. 5C. 7D. 8
7.已知等比数列中，，函数，则（ ）
A. 256B. 512C. 1024D. 2048
8.已知数列中，，若成立，则正整数的最大值为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列选项正确的是（）
A. 若回归方程为，则当变量增加1个单位时，增加3个单位
B. 设具有相关关系的两个变量x、y的相关系数为r，越接近于1，说明两个变量之间的线性相关性越强
C. 利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关性越弱
D. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归方程为，若其中一个散点坐标为，则
10.已知数列满足，则（ ）
A.
B. 的前项和为
C. 的前99项和为99
D. 若数列满足，则的前50项和为2132
11.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：且（为正整数），设数列的前项和为，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，要经过12步雹程使得
D. 若，则所有可能的取值集合为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，函数的图象在点处的切线方程是，则 .
13.已知等比数列的前项和为，若，则 .
14.将闭区间均分为五段，去掉中间的区间段，余下的区间段长度之和为，再将余下的四个区间分别均分为五段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度之和为.以此类推，不断地将余下各个区间均分为五段，并各自去掉中间的区间段.重复这一过程，记数列表示第次操作后余下的区间段长度之和.则 ；若，都有恒成立，则实数的取值范围是 .（区间段长度是指数轴上一个区间的两个端点之间的距离，如的区间段长度为）.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列的前项和为，数列是等差数列，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
16.(本小题15分)
已知，其中为实数，曲线在处的切线方程为.
(1)求实数的值；
(2)若曲线是曲线的切线，且经过点，求的方程.
17.(本小题15分)
某车企计划在A市优化无人快递车的投放量，为测试运行稳定性，并确定投放规模，进行如下调查.
(1)为了测试无人快递车的运行稳定性，随机抽取了200辆进行运行测试，得到部分数据，请完成列联表，并回答：有的把握认为无人快递车故障与是否维保有关吗？
(2)对过去的投放量（单位：百辆）与服务次数（单位：万次）的数据进行了统计，得到如下表格：
拟用函数模型或对两个变量的关系进行拟合.请问哪个模型更适宜作为投放量与服务次数的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程.
参考公式：，其中..
参考数据：
.
18.(本小题17分)
已知数列满足，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
19.(本小题17分)
已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列，求证：；
(3)设，数列的前项和为.若对恒成立，求实数的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】AB
10.【答案】ABD
11.【答案】AC
12.【答案】3
13.【答案】150
14.【答案】 ； ； ；
15.【答案】解：（1）当时，，
当时，，
经检验，时符合上式，
所以，.
由上可知，，
设的公差为，则，
所以，，
即.
（2）由（1）得，
则数列的前项和为：
，
，
，
，
所以，数列的前项和.

16.【答案】解：（1），
由曲线在点处的切线方程为，
切点为，斜率，
可得，即，
，解得．
（2）曲线，求导得，
设曲线与过点的切线相切于点，
则切线的斜率，
所以切线方程为，
由于切线过点，得，
化简为，即，解得或，
故所求的切线方程为或．

17.【答案】解：（1）补充列联表如下：
则
，
有的把握认为故障与维保有关．
（2）适宜作为投放量与服务次数的回归方程模型．
由，两边同时取常用对数得，
设，则，
因为，
所以，
把代入，得，
所以.所以，
则，
故关于的回归方程为．

18.【答案】解：（1）因为，所以，
又，所以，
所以是首项为3，公差为3的等差数列，所以.
由，得，
所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，
所以的通项公式为.
（2）由（1）知，，所以，
所以，
其中，
令，
则，
两式相减得
所以，
所以.

19.【答案】解：（1）由，
两边同除以得，
即，
又，故，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，
解得，所以.
（2）
，
所以
，即命题得证.
（3）由（1）知
，
故数列的前项和为：
，
将代入不等式，得，
即，
因为，所以，两边同乘得
令，分析其单调性：
，
故在上单调递减，因此，
要使对恒成立，只需，即，
所以，实数的取值范围为.
4
5
6
7
标准煤
3.2
3.8
5.3
维保
未维保
合计
故障
12
40
未故障
合计
120
200
1
2
3
4
5
6
7
5
13
32
79
200
501
1259
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
298.4
1.9
13262
64.4
2
维保
未维保
合计
故障
12
28
40
未故障
108
52
160
合计
120
80
200