2025--2026学年浙江杭州二中高一下册4月周末练6数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年浙江杭州二中高一下册4月周末练6数学试题 [含答案]，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1、已知向量 AB=5,1,BC=m,9,CD=8,5 ，若 A 、 C 、 D 三点共线，则 m= ( )
A. 54 B. -11 C. 11 D. 84
2、已知复数 zi2023+2=10 ，则 z 的共轭复数是 ( )
A. 4+2i B. −4+2i C. 4−2i D. 1

3、如图，四边形 ABCD 的斜二测画法的直观图为等腰梯形 A′B′C′D′ ，已知 A′B′=4 ， C′D′=2 ，则四边形 ABCD 的周长为( )
A. 8+23+6 B. 8+22
C. 6+22+23 D. 6+6+2
4、设 e1,e2 是表示平面内所有向量的一个基底,则下列四组向量中,不能作为基底的是 ( )
A. a=e1+2e2, b=−e1+2e2 B. a=−e1−e2, b=12e1+e2
C. a=3e1+12e2, b=−6e1−e2 D. a=−13e1+e2, b=e1+2e2
5、在三棱锥 A−BCD 的边 AB,BC,CD,DA 上分别取 E,F,G,H 四点，若 EF ∩HG=P ,则点 P ( )
A. 一定在直线 BD 上 B. 一定在直线 AC 上
C. 在直线 AC 或 BD 上 D. 不在直线 AC 上,也不在直线 BD 上
6、如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥轴截面顶角的正弦值是 ( )
A. 1517 B. 35 C. 45 D. 817
7、在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c . 已知 bcsC+ccsB= 2acsB,△ABC 的面积为 334 ,则 a2+c2 的最小值为 ( )
A. 3 B. 33 C. 6 D. 63
8、已知底面半径为1，轴截面为正三角形的圆锥体内放一棱长为 m 的正四面体，若正四面体可以在圆锥体内任意转动,则正数 m 的最大值是 ( )
A. 23 B. 223 C. 2 D. 423
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。
9、已知复数 z=m2−m−2+m2−1i ，其中 m∈R ， i 是虚数单位，则 ( )
A. 当 m=−1 时, z 为纯虚数 B. 当 m=1 时, z∈R
C. 当 m=2 时, z=−3i D. 当 m=−2 时, z⋅1+3i=10
10、在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边为 a,b,c,a=6,A=π3 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 若 b=22 ,则 c=2
B. 若满足条件的 △ABC 有 2 个,则 b 的取值范围为 6,22
C. △ABC 面积的最大值为 332
D. b+2c 的最大值为 214
11、在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形， P 在棱 A1D1 上， 且 PA=10,PD=2 ,则 ( )
A. AA1=1
B. 过点 A、P、C 的平面截该长方体，所得截面周长为 52+210
C. 以点 P 为球心， 2 为半径作一个球，则球面与底面 ABCD 的交线长为 2π
D. 三棱锥 P−ABD 外接球的体积是 36π
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12、已知复数 z 满足 z−1=1 ，则 z+2+4i ( i 是虚数单位) 的最小值为_____.
13、已知: 在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中, AB=1,AD=2,AA1=3 ,点 P 是线段 B1C 上的一个动点，则 AP+D1P 的最小值等于_____.
14、已知正 n 边形 A1A2⋯Ann为偶数 内接于单位圆 O ，且满足 OA1+OAi≤3(i=1 2,⋯,n 的顶点 Ai 共有 n−3 个,若正三角形 PMN 的顶点 M,N 在圆 O 上,则 i=1nPAi 的最大值为_____.
四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15、已知向量 a,b ，满足 a=2 ， b=3 ，向量 a ， b 的夹角为 60∘ .
(1)求 a+2b⋅a−b 的值；
(2)求向量 2a+b 与 b 的夹角 θ 的余弦值.
16、在 △ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，已知 b=2 ，且满足 acsB+ bcsA=2ccsB
(1)求角 B 的大小
(2) △ABC 的内心为 I ，求 △ACI 周长的取值范围.
17、如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1 中， AB=2 ，点 E ， F 分别是棱 BC ， CC1 的中点.
(1)根据多面体 ADD1−ECF 的结构特征，判断该几何体是哪种多面体，并结合该类多面体的定义给出证明;
(2)求多面体 ADD1−ECF 的表面积和体积.

18、北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容. 用曲率刻画空间弯曲性,规定: 多面体顶点的曲率等于 2π 与多面体在该点的面角之和的差 (多面体的面的内角叫做多面体的面角, 角度用弧度制), 多面体面上非顶点的曲率均为零, 多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和. 例如: 正四面体在每个顶点有 3 个面角,每个面角是 π3 , 所以正四面体在各顶点的曲率为 2π−3×π3=π ,故其总曲率为 4π .

(1)求四棱锥的总曲率；
(2)若多面体满足:顶点数 - 棱数 + 面数 =2 ，证明:这类多面体的总曲率是常数.
19、已知 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且 sinA+CsinA−C= a2+c2+aca2−c2.
(1)求 B ；
(2)若 c=1 ，点 D 在 AC 上，直线 BD 上一点 P 满足 CB⋅CP=CD⋅CP ，在点 C 和点 D 的变化过程中，
(i) 求 PA2+PC2 的最小值;
(ii) 当 PA2+PC2 最小时,求 BA⋅BD 的值.
杭州二中 2025 级高一下数学周末练 6
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每题给出的选项中, 只有一项是 符合题目要求的。
1、已知向量 AB=5,1,BC=m,9,CD=8,5 ，若 A 、 C 、 D 三点共线，则 m= ( )
A. 54 B. -11 C. 11 D. 84
因为 AB=5,1,BC=m,9 ,所以 AC=AB+BC=5+m,10 ,
又 A、C、D 三点共线,所以 AC//CD ,所以 55+m=8×10 ,解得 m=11 .
2、已知复数 zi2023+2=10 ，则 z 的共轭复数是 ( )
A. 4+2i B. −4+2i C. 4−2i D. 1
因为 i4=1,i2023=i2000+3=i4×500⋅i3=−i ,
所以 z=10i2023+2=102−i=102+i2−i2+i=102+i5=4+2i ,所以其共轭复数 z=4− 2i.

3、如图，四边形 ABCD 的斜二测画法的直观图为等腰梯形 A′B′C′D′ ，已知 A′B′=4 ， C′D′=2 ，则四边形 ABCD 的周长为( )
A. 8+23+6 B. 8+22
C. 6+22+23 D. 6+6+2
由题意知直观图为等腰梯形 A′B′C′D′,A′B′=4,C′D′=2,∠D′O′B′=45∘ ,

则 A′D′=2×4−22=2 ;
将直观图复原为原图, 如图所示:
则 AB=4,CD=2,AD=22 ,
作 CF⊥AB 于 F ,则 FB=2,CF=22 ,
所以 BC=4+8=23 ,
故四边形 ABCD 的周长为 4+2+23+22=6+23+22 .
4、设 e1,e2 是表示平面内所有向量的一个基底,则下列四组向量中,不能作为基底的是 ( )
A. a=e1+2e2, b=−e1+2e2 B. a=−e1−e2, b=12e1+e2
C. a=3e1+12e2, b=−6e1−e2 D. a=−13e1+e2, b=e1+2e2
e1,e2 是平面内所有向量的一组基底,所以 e1 与 e2 不共线.
对于 A ,假设 a=e1+2e2 与 b=−e1+2e2 共线,则存在实数 λ ,使 e1+2e2= λ−e1+2e2 ,所以 −λ=12λ=2 ,无解,所以假设不成立.
所以 a=e1+2e2 与 b=−e1+2e2 不共线,所以能作为基底,所以 A 错误;
对于 B ,假设 a=−e1−e2 与 b=12e1+e2 共线,则存在实数 λ ,使 −e1−e2= λ12e1+e2,
所以 12λ=−1λ=−1 ,无解,所以假设不成立.
所以 a=−e1−e2 与 b=12e1+e2 不共线,所以能作为基底,所以 B 错误;
对于 C ,因为 −2a=−23e1+12e2=b=−6e1−e2 ,
所以 a=3e1+12e2 与 b=−6e1−e2 共线,不能作为基底,所以 C 正确;
对于 D ,假设 a=−13e1+e2 与 b=e1+2e2 共线,则存在实数 λ ,使 −13e1+e2= λe1+2e2 ,所以 λ=−132λ=1 ,无解,所以假设不成立,所以 a=−13e1+e2 与 b=e1+2e2 不共线,
所以能作为基底,所以 D 错误.
5、在三棱锥 A−BCD 的边 AB,BC,CD,DA 上分别取 E,F,G,H 四点，若 EF ∩HG=P ,则点 P ( )
A. 一定在直线 BD 上 B. 一定在直线 AC 上
C. 在直线 AC 或 BD 上 D. 不在直线 AC 上,也不在直线 BD 上
如图,

∵EF⊂ 平面 ABC,HG⊂ 平面 ACD,EF∩HG=P,∴P∈ 平面 ABC,P∈ 平面 ACD .
又平面 ABC∩ 平面 ACD=AC,∴P∈AC .
故选: B .
6、如果一个圆锥和一个半球有公共底面，圆锥的体积恰好等于半球的体积，那么这个圆锥轴截面顶角的正弦值是 ( )
A. 1517 B. 35 C. 45 D. 817
设圆锥与半球的底面半径为 R ,圆锥的高为 h ,母线长为 l ,轴截面的顶角为 θ .

则由 V锥=V半球 可得 13πR2h=2πR33 ，即 h=2R .
所以圆锥的母线长 l=R2+h2=R2+2R2=5R ,
由余弦定理可得 csθ=l2+l2−2R22l×l=5R2+5R2−4R22×5R2=6R210R2=35 ,
所以圆锥轴截面顶角的余弦值是 35 ,故其正弦值是 45 .
7、在 △ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c . 已知 bcsC+ccsB= 2acsB,△ABC 的面积为 334 ，则 a2+c2 的最小值为 ( )
A. 3 B. 33 C. 6 D. 63
由 bcsC+ccsB=2acsB ,
根据正弦定理得， sinBcsC+sinCcsB=2sinAcsB ，
则 sinB+C=sinA=2sinAcsB ,
在 △ABC 中, sinA>0 ,则 1=2csB ,即 csB=12 ,
又 03 ,
因为正 n 边形 A1A2⋯Ann为偶数 内接于单位圆 O ，
所以 OA1=OAi=1i=1,2,⋯,n ,且 i=1nOAi=0 ,
所以 1+1+2csθ>3 ,则 csθ>12 ,故 0≤θ