2026届北京首都师范大学第二附属中学高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2026届北京首都师范大学第二附属中学高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析，共18页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知集合，，则，已知集合，，则的真子集个数为，函数的值域为等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是( )
A．1B．-3C．1或D．-3或
2．已知P是双曲线渐近线上一点，，是双曲线的左、右焦点，，记，PO，的斜率为，k，，若，-2k，成等差数列，则此双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ）
A．B．C．D．
4．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺.
A．B．C．D．
5． 若x,y满足约束条件的取值范围是
A．[0,6]B．[0,4]C．[6, D．[4,
6．要得到函数的导函数的图像，只需将的图像（ ）
A．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍
B．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍
C．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍
D．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍
7．已知集合，，则
A．B．C．D．
8．已知集合，，则的真子集个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
10．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
11．抛物线的焦点为，则经过点与点且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ）
A．1个B．2个C．0个D．无数个
12．设等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．动点到直线的距离和他到点距离相等，直线过且交点的轨迹于两点，则以为直径的圆必过_________.
14．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求直线和曲线的普通方程；
（2）设为曲线上的动点，求点到直线距离的最小值及此时点的坐标.
15．如图，从一个边长为的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三棱柱的体积为______.
16．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数（）在定义域内有两个不同的极值点.
（1）求实数的取值范围；
（2）若有两个不同的极值点，，且，若不等式恒成立.求正实数的取值范围.
18．（12分）在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（），M为该曲线上的任意一点.
（1）当时，求M点的极坐标；
（2）将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求的最大值.
19．（12分）已知向量， .
（1）求的最小正周期；
（2）若的内角的对边分别为，且，求的面积.
20．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知圆C：，椭圆E：（）的右顶点A在圆C上，右准线与圆C相切.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过点A的直线l与圆C相交于另一点M，与椭圆E相交于另一点N.当时，求直线l的方程.
21．（12分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）若，，，求证：.
22．（10分） “绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有人，其中男生人，女生人，乙组一共有人，其中男生人，女生人，现要从这人的两个兴趣小组中抽出人参加学校的环保知识竞赛.
（1）设事件为 “选出的这个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件发生的概率；
（2）用表示抽取的人中乙组女生的人数，求随机变量的分布列和期望
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
由题得，解方程即得k的值.
【详解】
由题得，解方程即得k=-3或.
故答案为：D
【点睛】
(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 点到直线的距离.
2、B
【解析】
求得双曲线的一条渐近线方程，设出的坐标，由题意求得，运用直线的斜率公式可得，，，再由等差数列中项性质和离心率公式，计算可得所求值．
【详解】
设双曲线的一条渐近线方程为，
且，由，可得以为圆心，为半径的圆与渐近线交于，
可得，可取，则，
设，，则，，，
由，，成等差数列，可得，
化为，即，
可得，
故选：．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
3、D
【解析】
根据统计数据，求出频率，用以估计概率.
【详解】
.
故选:D.
【点睛】
本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题.
4、B
【解析】
如图，已知，，
∴，解得 ，
∴，解得 .
∴折断后的竹干高为4.55尺
故选B.
5、D
【解析】
解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：
目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，
由解得C（2，1），
目标函数的最小值为：4
目标函数的范围是[4，+∞）．
故选D．
6、D
【解析】
先求得，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.
【详解】
依题意，所以由向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到的图像.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.
7、C
【解析】
分析：根据集合可直接求解.
详解：,
,
故选C
点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.
8、C
【解析】
求出的元素，再确定其真子集个数．
【详解】
由，解得或，∴中有两个元素，因此它的真子集有3个．
故选：C.
【点睛】
本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合都是曲线上的点集．
9、A
【解析】
试题分析：由题意，得，解得，故选A．
考点：函数的定义域．
10、A
【解析】
由计算出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数的值域.
【详解】
，，，
因此，函数的值域为.
故选：A.
【点睛】
本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围，考查计算能力，属于基础题.
11、B
【解析】
圆心在的中垂线上，经过点，且与相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点的距离相等，圆心在抛物线上，直线与抛物线交于2个点，得到2个圆．
【详解】
因为点在抛物线上，
又焦点，，
由抛物线的定义知，过点、且与相切的圆的圆心即为线段的垂直平分线与抛物线的交点，
这样的交点共有2个，
故过点、且与相切的圆的不同情况种数是2种．
故选：．
【点睛】
本题主要考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是求出圆心的位置，看出圆心必须在抛物线上，且在垂直平分线上．
12、C
【解析】
根据等比数列的前项和公式，判断出正确选项.
【详解】
由于数列是等比数列，所以，由于，所以
，故“”是“”的充分必要条件.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前项和公式，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
利用动点到直线的距离和他到点距离相等，,可知动点的轨迹是以为焦点的抛物线,从而可求曲线的方程,将 ,代入,利用韦达定理,可得 ,从而可知以为直径的圆经过原点O.
【详解】
设点，由题意可得，，，可得，设直线的方程为，代入抛物线可得
，，
，
，以AB为直径的圆经过原点.
故答案为：（0,0）
【点睛】
本题考查了抛物线的定义，考查了直线和抛物线的交汇问题，同时考查了方程的思想和韦达定理，考查了运算能力，属于中档题.
14、（1），；（2），.
【解析】
（1）利用代入消参的方法即可将两个参数方程转化为普通方程；
（2）利用参数方程，结合点到直线的距离公式，将问题转化为求解二次函数最值的问题，即可求得.
【详解】
（1）直线的普通方程为.
在曲线的参数方程中，，
所以曲线的普通方程为.
（2）设点.
点到直线的距离.
当时，，所以点到直线的距离的最小值为.
此时点的坐标为.
【点睛】
本题考查将参数方程转化为普通方程，以及利用参数方程求距离的最值问题，属中档题.
15、1
【解析】
由题意得正三棱柱底面边长6，高为，由此能求出所得正三棱柱的体积．
【详解】
如图，作，交于，，
由题意得正三棱柱底面边长，高为，
所得正三棱柱的体积为：
．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查立体几何中的翻折问题、正三棱柱体积的求法、三棱柱的结构特征等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意翻折前后的不变量．
16、
【解析】
由图可知，当直线y＝kx在直线OA与x轴(不含它们)之间时，y＝kx与y＝f(x)的图像有两个不同交点，即方程有两个不相同的实根．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】
（1）求导得到有两个不相等实根，令，计算函数单调区间得到值域，得到答案.
（2），是方程的两根，故，化简得到，设函数，讨论范围，计算最值得到答案.
【详解】
（1）由题可知有两个不相等的实根，
即：有两个不相等实根，令，
，，
，；，，
故在上单增，在上单减，∴.
又，时，；时，，
∴，即.
（2）由（1）知，，是方程的两根，
∴，则
因为在单减，∴，又，∴
即，两边取对数，并整理得：
对恒成立，
设，，
，
当时，对恒成立，
∴在上单增，故恒成立，符合题意；
当时，，时，
∴在上单减，，不符合题意.
综上，.
【点睛】
本题考查了根据极值点求参数，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
18、（1）点M的极坐标为或（2）
【解析】
（1）令，由此求得的值，进而求得点的极坐标.
（2）设出两点的极坐标，利用勾股定理求得的表达式，利用三角函数最值的求法，求得的最大值.
【详解】
（1）设点M在极坐标系中的坐标，
由，得，
∵
∴或，
所以点M的极坐标为或
（2）由题意可设，.
由，得，.
故时，的最大值为.
【点睛】
本小题主要考查极坐标的求法，考查极坐标下两点间距离的计算以及距离最值的求法，属于中档题.
19、（1）；（2）或
【解析】
（1）利用平面向量数量积的坐标运算可得，利用正弦函数的周期性即可求解；（2）由（1）可求，结合范围，可求的值，由余弦定理可求的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】
（1）
∴最小正周期 .
（2）由（1）知， ∴
∴， 又
∴或. 解得或
当时，由余弦定理得
即， 解得.
此时.
当时，由余弦定理得.
即，解得.
此时.
【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积的坐标运算、正弦函数的周期性，考查余弦定理、三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于基础题．
20、（1）（2）或.
【解析】
（1）圆的方程已知，根据条件列出方程组，解方程即得；（2）设，，显然直线l的斜率存在，方法一：设直线l的方程为：，将直线方程和椭圆方程联立，消去，可得，同理直线方程和圆方程联立，可得，再由可解得，即得；方法二：设直线l的方程为：，与椭圆方程联立，可得，将其与圆方程联立，可得，由可解得，即得.
【详解】
（1）记椭圆E的焦距为（）.右顶点在圆C上，右准线与圆C：相切.解得，
，椭圆方程为：.
（2）法1：设，，
显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为：.
直线方程和椭圆方程联立，由方程组消去y得，整理得.
由，解得.
直线方程和圆方程联立，由方程组消去y得，
由，解得.
又，则有.
即，解得，
故直线l的方程为或.
分法2：设，，当直线l与x轴重合时，不符题意.
设直线l的方程为：.由方程组
消去x得，，解得.
由方程组消去x得，，
解得.
又，则有.
即，解得，
故直线l的方程为或.
【点睛】
本题考查求椭圆的标准方程，以及直线和椭圆的位置关系，考查学生的分析和运算能力.
21、（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）分、、三种情况解不等式，即可得出该不等式的解集；
（2）利用分析法可知，要证，即证，只需证明即可，因式分解后，判断差值符号即可，由此证明出所证不等式成立.
【详解】
（1）.
当时，由，解得，此时；
当时，不成立；
当时，由，解得，此时.
综上所述，不等式的解集为；
（2）要证，即证，
因为，，所以，，，
.
所以，.故所证不等式成立.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用分析法和作差法证明不等式，考查分类讨论思想以及推理能力，属于中等题.
22、（Ⅰ）； （Ⅱ）分布列见解析，.
【解析】
（Ⅰ）直接利用古典概型概率公式求 . （Ⅱ）先由题得可能取值为,再求x的分布列和期望.
【详解】
（Ⅰ）
（Ⅱ）可能取值为,
,
,
,
,
的分布列为
.
【点睛】
本题主要考查古典概型的计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
0
1
2
3