河北邢台市南宫中学等校2026届高三二模数学试题（有答案）

这是一份河北邢台市南宫中学等校2026届高三二模数学试题（有答案），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】A
【解析】
【详解】因为，所以，则
2. 已知集合 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】A={x∣x2−2x−3a1，
即a>03a+b>a+b+1，解得；
若，则一定满足且，数列递增，充分性成立；
若数列递增，则必有，必要性成立；
所以“”是“数列为递增数列”的充要条件.
6. 如图，为圆柱的一条母线，是下底面圆的直径，弦与交于点.已知圆柱的高为1，侧面积为.若且M恰为DE的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由圆柱侧面积公式求出底面半径，再利用线段差求出，借助勾股定理算出；接着以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点与向量坐标；然后通过平面法向量的方程组求得平面的法向量，最后利用线面角与向量夹角的关系，代入公式算出直线与平面所成角的正弦值.
【详解】设圆柱的底面半径为，则其侧面积，解得.
连接，则，
所以，易知，
所以ME=OE2−OM2=3242−242=1 .
以为坐标原点，平面内过点且与垂直的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B0,0,0,A(0,0,1),E1,2,0,M(0,2,0) ，
所以BA=0,0,1,BE=1,2,0,AM=(0,2,−1) ，
设平面的法向量为，则，
即，则，取，得.
设直线与平面所成角为，
则sinθ=cs〈AM,n〉=−23×3=23，
即直线与平面所成角的正弦值为.
7. 已知函数，.若与的图象恰好有4个不同的交点，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性将问题转化为ℎx=2lnx−1x2与函数图象有2个不同的交点，利用导函数研究其单调性即可.
【详解】由f−x=2alnx=fx可知，为偶函数，
又也为偶函数， 故与的图象恰好有4个不同的交点
等价于方程恰好有2个不同的正根，显然，
所以ℎx=2lnx−1x2与函数图象有2个不同的交点，
ℎ'x=2x⋅x2−2x2lnx−1x4=41−lnxx3，
当时，单调递增；当时，单调递减；
所以ℎxmax=ℎe=2lne−1e2=1e2，
当时；当时，
所以，所以a>e2，故实数a的取值范围为
8. 已知是抛物线上一点，点，在轴上，的内切圆的方程为 ，则面积的最小值为（ ）
A. 42B. 56C. 72D. 88
【答案】C
【解析】
【分析】设、、，结合内切圆性质与点到直线距离公式计算可得与、有关等式，即可得、是关于的方程t2−1x2+6tx−9t2=0 的两根，借助韦达定理计算可表示出，则可借助表示出面积，再利用换元法与基本不等式计算即可得解.
【详解】设、、，
则，即6t−mx−6t2y+6t2m=0 ，
，即6t−nx−6t2y+6t2n=0 ，
由圆心为，半径为，
则到直线、距离都为，
即有36t−m+6t2m6t−m2+−6t22=3 ，36t−n+6t2n6t−n2+−6t22=3 ，
整理得t2−1m2+6tm−9t2=0 ，t2−1n2+6tn−9t2=0 ，
即、是关于的方程t2−1x2+6tx−9t2=0 的两根，
故，，
由的内切圆的方程为，
可得，即，
则m−n=m+n2−4mn=−6tt2−12−4⋅−9t2t2−1=36t4t2−12=6t2t2−1，
则S△PMN=12m−n⋅xP=12×6t2t2−1×6t2=18t4t2−1，
令，则S△PMN=18s+12s=18s+18s+36≥218s⋅18s+36=72 ，
当且仅当，即时，等号成立，故面积的最小值为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于点对称B.
C. 在上单调递增D. 是偶函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】借助辅助角公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数对称性、单调性、奇偶性等逐项计算并判断即可得.
【详解】；
对A：当时，，
由关于点对称，
故的图象关于点对称，故A正确；
对B：，
故不恒成立，故B错误；
对C：当时，，
由在上单调递增，
故在上单调递增，故C正确；
对D：，
由为偶函数，故为偶函数，故D正确.
10. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，函数和均为偶函数，则（ ）
A. B.
C. 函数的图象关于点对称D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的定义，结合函数的对称性的性质即可求解A，由周期函数的定义即可求解B，根据原函数与导数的关系即可求解C，根据函数周期性的性质即可求解D.
【详解】因为是偶函数，所以，则，
所以函数的图象关于直线对称，
由两边求导得，得，
令，则f′1=−f′2−1=−f′1⇒ ，A正确；
因为函数为偶函数，所以，
所以，所以函数的图象关于对称，
所以函数，则f′x+2=−f′x+4，
所以，则f'x+4=f'x+8，故f'x=f'x+8，B正确；
因为的周期为，且f'x=−f'2−x，故f′4−x=f′−x=−f′2+x，
所以，为常数，因此f4−x=f2+x−c ，
由，所以f4−x=fx−2，则fx−2=f2+x−c ，
由fx−2=fx+2，故，故f4−x=f2+x，即f6−x=fx，
所以函数的图象关于直线对称，C错误；
因为，所以，且f′0=f′4，
又，所以f′0=−f′2=−3 ，则f′4=−3 ，
综上，，
所以i=12026f′i=506×f′1+f′2+f′3+f′4+f′1+f′2=3 ，D正确.
11. 已知数列满足 则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 可能为等比数列
C. 若为等差数列，则D. 若，的前n项和为，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据数列递推关系，写出数列的项找出规律判断A，假设是等比数列，公比为，根据递推关系结合反证法判断B，当为等差数列，设公差为，利用递推关系可得为4的正整数倍判断C，利用放缩法及裂项相消法证明即可判断D.
【详解】对A ，时，， ，
，，，数列为以2为周期的周期数列，所以，故A正确；
假设是等比数列，公比为，则，所以，
即，由代入，可得，即，
由代入可得，把代入，
即，因为，，所以不存在使得，即不可能为等比数列，故B错误；
若为等差数列，设公差为，
则，代入可得，
若对任意，为常数，该常数必为1（由可得），
此时要求为4的正整数倍，所以 ，所以不能得到，所以C错误；
当时，
所以数列是以1为首项，8为公差的等差数列，所以 ，
所以 ，
当时，，
故，
所以
当时，也成立，综上成立，故D正确.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，若，则__________.
【答案】
【解析】
【详解】因为，所以，
又因为，所以，即.
13. 已知为坐标原点，双曲线 的左焦点为，离心率为 过且斜率为的直线交的左支于两点， 为线段的中点，，则____.
【答案】3
【解析】
【分析】设直线 斜率为 ，，由，求得坐标，再代入双曲线方程，进而可求解.
【详解】双曲线离心率 ​​，平方得 ​，
整理得 ，，
左焦点 ，设 ，为 中点，则 ，
设直线 斜率为 ，，故 ，
代入 ​​，结合 ，
则，
联立
解得： ​
又 在双曲线上，满足 ，将 ​ 代入，
即满足，代入​，
消去 后整理得： ，
解得 或 ，
在双曲线左支，，
若 ，，符合要求；
若 ​，，在右支，舍去，
又 ，得 .
14. 已知函数 的图象上存在点 P，Q，使得以线段PQ 为直径的圆经过坐标原点O，且圆心在y轴上，则实数a的取值范围是________.
【答案】(−∞,0)∪[1e2,+∞) .
【解析】
【分析】假设曲线上存在两点 P，Q满足题设要求，则点 P，Q只能在轴两侧，设Pt,ft，根据题意，可得 ，且PQ 的中点在轴上，得到的坐标，将存在两点 P，Q满足题意等价转化成关于的方程是否有解的问题，再对分类讨论，运用导数求解，即可得到结果.
【详解】不妨令Pt,ft，，因为PQ为直径，圆心在y轴上，故PQ中点横坐标为，
根据中点坐标公式可知Q(−t,f(−t)) ，
又圆过原点，故，即，代入计算得t⋅(−t)+f(t)f(−t)=0 ，
又点 P，Q在函数图象上，
当|t|x3+x−lnx+1.
令ℎx=x3+x−lnx+1−1