上海师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷 [含答案]

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一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．复数的虚部是 ．
2．已知正实数满足，则的最小值为 ．
3．已知直线经过点，则直线倾斜角的大小为 ．
4．的二项展开式中，项的系数为 ．
5．某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩低于60分的学生人数为 ．
6．一个不透明的盒子里装有分别标有数字1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，从中随机一次性取出2个小球，求取出的2个小球上数字之和为偶数的概率是 ．
7．不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 ．
8．中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为，与承载重力的方向平行的高度为，记矩形截面抵抗矩．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽与高的最佳之比应为 ．
9．已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为 ．
10．已知动点是双曲线上的点，是双曲线的左，右顶点，设的面积为，则取值的集合为 ．
11．已知函数若存在，使得，则的取值范围是 ．
12．定义在区间上的函数满足：①对任意；②．若任意，则整数的值为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．已知向量，不共线，实数，满足，则（ ）.
A．4 B． C．2 D．
14．已知函数的图像在，，，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）.
A． B． C． D．
15．设抛物线的焦点为F，准线为，为C上一动点，，则下列结论错误的是（ ）.
A．当时，的值为4
B．当时，抛物线C在点P处的切线方程为
C．的最小值为3
D．的最大值为
16．设是定义域为R的奇函数，且的图象关于直线对称，若时，，有以下两个命题： = 1 \* GB3 ①在上单调递减； = 2 \* GB3 ②在区间上有3543个零点．则下列说法正确的是（ ）.
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①､②都是真命题D．①､②都是假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
已知，函数．
(1)当时，求的值域；
(2)已知的内角的对边分别为，若，求的面积的最大值．
18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
已知.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若是函数的极小值点，求的取值范围．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，在里侧车道，其车体水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为2.4米，车厢的左侧直线CD与双车道的分界线相交于E、 F，记
(1)若大卡车在转弯的某一刻，恰好 ，且A、B也都在双车道的分界线上，直线CD也恰好过路口边界O，求大卡车的车长AB；
(2)为保证行车安全，在里侧车道转弯时，车体不能越过双车道分界线. 求此大卡车的车长AB的最大值．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆，短轴长为2，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点，其中分别在轴上方和下方，，直线与直线交于点，直线与直线交于点．
(1)若的周长是，求椭圆的方程．
(2)若，定点在轴的负半轴，过的动直线交椭圆的于点，以为直径的圆恒过轴上方的定点，求点的坐标．
(3)若，求实数的取值范围．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．
（1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；
（2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程；
（3）已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，，若，4，5，，，证明：．
上师大附中2025-2026学年第一学期高三年级数学期中
2025.11
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．复数的虚部是 ．
【正确答案】
2．已知正实数满足，则的最小值为
【正确答案】
3．已知直线经过点，则直线倾斜角的大小为 ．
【正确答案】
4．的二项展开式中，项的系数为 ．
【正确答案】
5．某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩低于60分的学生人数为 ．
【正确答案】300
6．一个不透明的盒子里装有分别标有数字1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，从中随机一次性取出2个小球，求取出的2个小球上数字之和为偶数的概率是 ．
【正确答案】
7．不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为 ．
【正确答案】
8．中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为，与承载重力的方向平行的高度为，记矩形截面抵抗矩．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽与高的最佳之比应为 ．
【正确答案】
9．已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为 ．
【正确答案】，
10．已知动点是双曲线上的点，是双曲线的左，右顶点，设的面积为，则取值的集合为 ．
【正确答案】
11．已知函数若存在，使得，则的取值范围是 ．
【正确答案】
12．定义在区间上的函数满足：①对任意；②．若任意，则整数的值为 ．
【正确答案】或
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．已知向量，不共线，实数，满足，则（ ）.
A．4 B． C．2 D．
【正确答案】A
14．已知函数的图像在，，，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）.
A． B． C． D．
【正确答案】B
15．设抛物线的焦点为F，准线为，为C上一动点，，则下列结论错误的是（ ）.
A．当时，的值为4
B．当时，抛物线C在点P处的切线方程为
C．的最小值为3
D．的最大值为
【正确答案】B
16．设是定义域为R的奇函数，且的图象关于直线对称，若时，，有以下两个命题： = 1 \* GB3 ①在上单调递减； = 2 \* GB3 ②在区间上有3543个零点．则下列说法正确的是（ ）.
A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题
C．①､②都是真命题D．①､②都是假命题
【正确答案】A
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
已知，函数．
(1)当时，求的值域；
(2)已知的内角的对边分别为，若，求的面积的最大值．
【正确答案】（1） （2）
（1）因为函数.
所以，
因为，所以，
可得.
（2）因为，可得：，
因为，可得：，解得.
因为，可得.
（当且仅当时取等号）则，即.
.因为，所以
当且仅当时，取等号.因此，面积的最大值为.
18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
已知.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若是函数的极小值点，求的取值范围．
【正确答案】（1）的增区间为，减区间为. （2）
（1）的定义域为，
，
因为，所以在区间上恒成立，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以的增区间为，减区间为.
（2）由（1）可知，当，为函数的极大值点，不合题意；
下面分析的情形：
当时，在区间上恒成立，不合题意；
当时，，则在区间上单调递增，在区间上单调递减，
则为函数的极大值点，不合题意；
当时，，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
为函数的极小值点，符合题意；
综上，.
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，在里侧车道，其车体水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为2.4米，车厢的左侧直线CD与双车道的分界线相交于E、 F，记
(1)若大卡车在转弯的某一刻，恰好 ，且A、B也都在双车道的分界线上，直线CD也恰好过路口边界O，求大卡车的车长AB；
(2)为保证行车安全，在里侧车道转弯时，车体不能越过双车道分界线. 求此大卡车的车长AB的最大值．

【正确答案】（1） （2）
（1）如图所示，作，垂足为，作，垂足为，
因为，所以，
在中，，在中，
在中，，在中，，
所以米.
（2）因为，所以，
所以
，
令，则，
因为，所以，所以，
所以，
设，则，所以，
易知在上单调递增，且，
所以在上单调递减，
所以当，即时，取得最小值.所以最终符合条件的大卡车车长最大值为（）米.
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆，短轴长为2，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点，其中分别在轴上方和下方，，直线与直线交于点，直线与直线交于点．
(1)若的周长是，求椭圆的方程．
(2)若，定点在轴的负半轴，过的动直线交椭圆的于点，以为直径的圆恒过轴上方的定点，求点的坐标．
(3)若，求实数的取值范围．
【正确答案】（1） （2） （3）
（1）由题设，
可得，又，可得，故；
（2）设，，，过点的直线，
联立，可得，
所以，，
由题意得，即，
所以，
整理得，
由为任意实数得，可得，，即，
当直线的斜率不存在时，为椭圆的短轴，满足条件，综上，；
（3）由题设，易知点、分别为、的重心，
设，设点,，
根据重心性质及面积公式得，
，
而，则，
，故.
设直线，联立椭圆方程得，
消元得，则，
所以，，令，
由在上单调递增，在上单调递减，则，
所以，
所以，得对任意恒成立，
所以，，故.
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．
（1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；
（2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程；
（3）已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，，若，4，5，，，证明：．
【正确答案】（1）是，理由见解析 （2） （3）证明见解析
（1）的定义域为，，，
求导得，直线的斜率为2，令，解得，
不妨设切点，，则点处的切线方程为，即，
点处的切线方程为，即，
所以直线是曲线的“双重切线”．
（2）函数，求导得，
显然函数在上单调递增，函数在上单调递减，
设切点，，，，则存在，使得，
则在点处的切线方程为，
在点处的切线方程为，
因此，消去可得，
，求导得，
则函数在上单调递增，又，
函数的零点为，因此，，
所以曲线的“双重切线”的方程为；
（3）设对应的切点为，，，，，
对应的切点为，，，，，
由，得，，
由诱导公式及余弦函数的周期性知，只需考虑，，其中，，
由及余弦函数在上递增知，，
则，
，
因此，又，，
则，同理，
令，求导得．
则在上单调递增，显然，且，
函数在上的值域为，
即函数在上存在零点，则有，
由，同理可得，而，
因此，于是，即有．
所以，即．