第29讲 抽屉原理（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-三年级奥数培优讲义+答案

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一、核心概念与方法
1.基本概念
抽屉原理是组合数学中的重要原理，主要用于解决"至少存在"类问题。其核心思想是：当物体数量多于容器（抽屉）数量时，必然存在至少一个容器中包含多个物体。掌握抽屉原理能培养学生的逻辑推理能力和极端情况分析能力。
关键要素：抽屉（存放物体的容器）、物体（待分配的元素）、至少数（某个抽屉中最少含有的物体数量）、最不利原则（考虑最极端的分配情况）、商余关系（物体数÷抽屉数=商…余数）、基本形式（n+1个物体放入n个抽屉）
2.基本方法
① 定义法：直接应用抽屉原理基本形式判断至少数
② 公式法：至少数=商+1（有余数时）；至少数=商（无余数时）
③ 构造抽屉法：根据问题特征合理划分抽屉类型
④ 最不利原则：考虑最坏情况下的分配方式
⑤ 分类枚举法：列举所有可能分配情况验证结论
⑥ 极端值分析法：通过分析最大或最小可能值确定范围
⑦ 归纳递推法：从简单情况推广到复杂问题
二、核心题型与技巧
题型1：基本型抽屉原理
技巧：直接应用抽屉原理基本形式。关键是准确识别题目中的"抽屉"和"物体"，当物体数=抽屉数+1时，至少数=2。
题型2：求至少数问题
技巧：已知抽屉数和物体数，利用公式"至少数=商+1"计算。先求出物体数除以抽屉数的商和余数，若有余数则至少数为商+1，若无余数则至少数为商。
题型3：求物体数问题
技巧：已知抽屉数和至少数，利用公式"物体数=抽屉数×(至少数-1)+1"计算。即保证每个抽屉先放(至少数-1)个物体，再增加1个物体必然满足条件。
题型4：求抽屉数问题
技巧：已知物体数和至少数，利用公式"抽屉数=(物体数-1)÷(至少数-1)"计算。采用去尾法取整数，得到最多可能的抽屉数。
题型5：生活应用型问题
技巧：将实际问题转化为抽屉原理模型，明确谁是抽屉、谁是物体。常见场景包括：属相问题、生日问题、颜色问题、分配问题等。
题型6：综合型抽屉原理
技巧：结合分类思想和抽屉原理，需要先进行合理分类，再应用抽屉原理。注意分类标准要统一，抽屉构造要恰当。
三、常见错误提醒
1.概念混淆：将"抽屉"和"物体"的对应关系颠倒，导致分析错误
2.公式误用：计算至少数时忘记"商+1"，直接使用商作为结果
3.抽屉构造不当：未能根据问题特征正确划分抽屉类型
4.忽略极端情况：未考虑"最不利原则"，导致物体数量计算错误
5.余数处理错误：当有余数时未加1，或无余数时仍加1
6.分类标准混乱：综合型问题中分类不明确，造成抽屉重复或遗漏
例题讲解
一、基本型抽屉原理
例题1：把7支铅笔放进6个文具盒中，为什么至少有一个文具盒里要放进2支铅笔？
【答案】至少有一个文具盒里放进2支铅笔
【分析】这是典型的抽屉原理基本型问题，文具盒相当于抽屉，铅笔相当于物体。
【详解】将6个文具盒看作6个抽屉，7支铅笔看作7个物体。根据抽屉原理，当物体数比抽屉数多1时，至少有一个抽屉里要放2个物体。7÷6=1……1，1+1=2。因此至少有一个文具盒里要放进2支铅笔。
答：至少有一个文具盒里要放进2支铅笔。
【点睛】解决此类问题的关键是准确确定抽屉和物体的数量关系，直接应用"n+1个物体放入n个抽屉，至少有一个抽屉放2个物体"的基本原理。
跟踪练习1：把9只鸽子放进8个鸽笼，至少有一个鸽笼里要放进几只鸽子？为什么？
【答案】至少有一个鸽笼里要放进2只鸽子
【解析】将8个鸽笼看作8个抽屉，9只鸽子看作9个物体。9÷8=1……1，根据抽屉原理，至少数=商+1=1+1=2。因此至少有一个鸽笼里要放进2只鸽子。
【点睛】本题考查抽屉原理的基本应用，当物体数比抽屉数多1时，至少数为2。
二、求至少数问题
例题2：把25个苹果放进4个果盘里，总有一个果盘里至少放进多少个苹果？
【答案】7个
【分析】这是已知物体数和抽屉数求至少数的问题，使用"最不利原则"分析，先考虑每个果盘尽量放同样多的苹果。
【详解】将4个果盘看作4个抽屉，25个苹果看作25个物体。25÷4=6……1，即每个果盘先放6个苹果，还剩1个苹果。根据抽屉原理，剩下的1个苹果无论放进哪个果盘，总有一个果盘至少有6+1=7个苹果。
答：总有一个果盘里至少放进7个苹果。
跟踪练习2：把38颗糖分给5个小朋友，至少有一个小朋友分到多少颗糖？
【答案】8颗
【分析】将5个小朋友看作5个抽屉，38颗糖看作38个物体。38÷5=7……3，每个小朋友先分7颗，还剩3颗。根据抽屉原理，剩下的3颗继续分给3个小朋友，至少有一个小朋友分到7+1=8颗糖。
【详解】38÷5=7(颗)……3(颗)，7+1=8(颗)
答：至少有一个小朋友分到8颗糖。
题型3：求物体数问题
例题3：在一个袋子里有若干种颜色的球，要保证至少有4个球颜色相同，至少需要摸出多少个球？（假设袋子里有3种颜色的球）
【答案】10个
【分析】已知抽屉数（3种颜色）和至少数（4个），求物体数。使用最不利原则，先假设每种颜色都摸出最大不满足条件的数量。
【详解】将3种颜色看作3个抽屉，要保证至少有一个抽屉有4个球。最不利情况是每种颜色先摸出3个球，共3×3=9个球。此时再摸出1个球，无论是什么颜色，都能保证至少有一个颜色有4个球。所以至少需要摸出9+1=10个球。
答：至少需要摸出10个球。
跟踪练习3：教室里有若干名学生，要保证至少有5名学生的生日在同一个月，至少有多少名学生？
【答案】49名
【分析】一年有12个月，看作12个抽屉。要保证至少有一个抽屉有5名学生，最不利情况是每个月先有4名学生，共12×4=48名。再增加1名学生，就会出现至少有一个月有5名学生。
【详解】12×(5-1)+1=12×4+1=49(名)
答：至少有49名学生。
题型4：求抽屉数问题
例题4：把40本图书分给若干个小组，每个小组最多分7本，最少分1本。至少有几个小组分得的图书本数相同？
【答案】3个
【分析】先确定可能的分法（抽屉），再计算物体数与抽屉数的关系。每个小组可以分得1-7本，共7种分法。
【详解】每个小组可能分得的本数为1、2、3、4、5、6、7本，共7种情况（7个抽屉）。最不利情况是每种分法尽量平均分配：1+2+3+4+5+6+7=28（本），40÷28=1……12。剩下的12本继续按顺序分配：1+2+3+6=12，此时每种分法已有2个小组，还剩6本会使某个分法达到3个小组。所以至少有3个小组分得的本数相同。
答：至少有3个小组分得的图书本数相同。
跟踪练习4：有50名同学参加兴趣小组，每人只能参加一个小组，共有数学、语文、英语、科学4个小组。至少有多少名同学参加同一个小组？
【答案】13名
【分析】将4个小组看作4个抽屉，50名同学看作50个物体。50÷4=12……2，每个小组先有12名同学，还剩2名。根据抽屉原理，至少有12+1=13名同学参加同一个小组。
【详解】50÷4=12(名)……2(名)，12+1=13(名)
答：至少有13名同学参加同一个小组。
题型5：生活应用型问题
例题5：三年级有380名学生，至少有多少名学生的生日在同一天？（一年按365天计算）
【答案】2名
【分析】将365天看作365个抽屉，380名学生看作380个物体。计算380里包含多少个365，商+1即为至少数。
【详解】380÷365=1……15，1+1=2。所以至少有2名学生的生日在同一天。
答：至少有2名学生的生日在同一天。
跟踪练习5：一个袋子里有红、黄、蓝三种颜色的袜子各10只，至少要摸出多少只袜子才能保证有2双颜色相同的袜子？
【答案】10只
【分析】把三种颜色看作3个抽屉，要保证有2双（4只）颜色相同的袜子。最不利情况是每种颜色先摸出3只，共3×3=9只。再摸出1只，无论什么颜色，都能保证有4只相同颜色的袜子。
【详解】3×3+1=10(只)
答：至少要摸出10只袜子。
题型6：综合型抽屉原理
例题6：在一个不透明的盒子里有形状、大小相同的红、黄、蓝、绿四种颜色的球各10个。
（1）至少摸出多少个球才能保证有3个球颜色相同？
（2）至少摸出多少个球才能保证有3种不同颜色的球？
【答案】（1）9个；（2）21个
【分析】（1）要保证有3个球颜色相同，最不利情况是每种颜色先摸出2个；（2）要保证有3种不同颜色，最不利情况是先把两种颜色的球全部摸出。
【详解】（1）每种颜色先摸出2个，共4×2=8个，再摸1个，8+1=9个。
（2）先摸出两种颜色的全部球，共10×2=20个，再摸1个，20+1=21个。
答：（1）至少摸出9个球；（2）至少摸出21个球。
跟踪练习6：有5种不同颜色的筷子各10根，至少要取出多少根筷子才能保证：
（1）有2根颜色相同的筷子；
（2）有3根颜色相同的筷子；
（3）有3种不同颜色的筷子各2根。
【答案】（1）6根；（2）11根；（3）22根
【分析】（1）最不利情况是每种颜色取1根，共5根，再取1根即可；（2）每种颜色取2根，共10根，再取1根；（3）先取两种颜色的全部10根，再从剩下3种各取2根。
【详解】（1）5+1=6(根)
（2）5×2+1=11(根)
（3）10×2+2×3=26(根) → 修正：正确应为10+10+2+2+2=26，原答案22错误，正确答案为26根。
答：（1）至少取出6根；（2）至少取出11根；（3）至少取出26根。
提升练习
1．将62个乒乓球放在8个空盒子里，8个盒子放的乒乓球个数都不相同，那么放乒乓球个数最多的盒子里最少有多少个乒乓球？
【答案】12个
【分析】先按1、2、3、…、8的个数分别放入8个盒子中，共放了1＋2＋3＋…＋8＝36（个），还剩下62－36＝26（个），26÷8＝3（个）……2（个），再把每个盒子里放入3个，最后把剩下的2个分别放到最多的和第二多的2个盒子中，所以个数最多的盒子里最少有8＋3＋1＝12（个），据此即可解答。
【详解】1＋2＋3＋…＋8＝36（个）
62－36＝26（个）
26÷8＝3（个）……2（个）
8＋3＋1＝12（个）
答：放乒乓球个数最多的盒子里最少有12个乒乓球。
2．学校今年招收新生180名，他们都是同一年出生的，如果在他们出生的那一年每周都有人出生的话，则至少有几人的生日在同一个星期内？（按一年53周计算）。
【答案】4个
【分析】用180÷53＝3……21，将53周看成53个抽屉，然后根据抽屉原理加以分析。
【详解】180÷53＝3……21
3＋1＝4（个）
答：至少有4个人的生日在同一个星期内。
3．从1，2，3，…，20中最多能取出多少个数，使得取出的数中任意两个之和都为合数？请说明理由。
【答案】见详解
【分析】1～20中奇数和偶数各有10个，据此分组即可。
【详解】取所有的奇数（或所有的偶数），各10个，因为偶数加偶数等于偶数，奇数加奇数等于偶数，所以最多能取出10个数。
答：最多能取出10个数，使得取出的数中任意两个之和都为合数。
4．在的方格纸中，每个方格纸内可以填上四个自然数中的任意一个，填满后对每个“田”字形内的四个数字求和，在这些和中，相同的和至少有几个？
【答案】个
【分析】在的正方形网格中，可以找到49个的“田”字形，而从1~4中任取4个数的和可能是4~16的任何一个，共13种可能，抽屉数是13，苹果数是49。
【详解】出在的方格中，共有“田”字形49个；
至少有个“田”字形内的数字和是相同的；
答：相同的和至少有4个。
【点睛】本题考查的是抽屉原理，准确找出题目中所隐藏的苹果数和抽屉数是求解问题的关键。
5．假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红色或蓝色的线段连起来，都连好后，问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形的三边同色？
【答案】可以找到，详解见解析
【分析】从每个点出发，可以引出5条线段，只有红色或蓝色两种情况，那么这5条线段中必有3条的颜色相同，然后分情况讨论是否能够构成三条边颜色相同的三角形。
【详解】从这6个点中随意选取一点A，从A点引出的5条线段，根据抽屉原理，必有3条的颜色相同，不妨设有3条线段为红色，它们分别是AB、AC、AD，那么B 、 C 、 D 三点中只要有两点比如说B 、 C之间的线段是红色，那么A 、B、 C3点组成红色三角形；
如果B 、C 、D 三点之间的线段都不是红色，那么都是蓝色，这样B 、C 、D3点组成蓝色三角形，也符合条件；
综上所述，始终可以找到一个三角形的三条边是同颜色的，所以结论成立。
【点睛】本题实质上考查的是抽屉原理的问题，关键在于找出题目中隐藏的抽屉，准确构造抽屉。
6．一个口袋中装有500粒珠子，共有5种颜色，每种颜色各100粒。如果你闭上眼睛，至少取出多少粒珠子才能保证其中有5粒颜色相同？
【答案】21粒
【分析】按照最不利的原则，当每种颜色的珠子各取4粒，此时不能满足有5粒颜色相同，但如果再取1粒，不论是什么颜色，都可以保证其中有5粒颜色相同。
【详解】
答：至少取出21粒珠子才能保证其中有5粒颜色相同。
【点睛】本题考查的是最不利原则，所谓最不利原则，就从最不利于事件发生的角度思考问题。
7．有一个布袋中有5种不同颜色的球，每种都有20个，问：一次至少要取出多少个小球，才能保证其中至少有3个小球的颜色相同？
【答案】11个
【分析】5种颜色看作5个抽屉，当每种颜色的球取出2个，此时是不符合要求的，但只要再任取1个，不论是什么颜色，都能保证其中至少有3个小球的颜色相同。
【详解】5种颜色看作5个抽屉：
（个）
（个）
答：至少要取出11个小球。
【点睛】本题考查的是抽屉原理中的最不利原则，要按照最不利于事件发生的方式考虑问题。
8．在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。证明：在以这五点为顶点的三角形中，至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。
【答案】见详解
【分析】把矩形等分成两部分，相当于两个抽屉，每部分的面积是矩形的，把5个点分给2个抽屉，至少有3个点在同一个抽屉里。
【详解】证明；
如图所示：
5个点分给2个抽屉，至少有3个点在同一个抽屉里；
处在同一个抽屉中的3个点所构成的三角形的面积小于矩形面积的一半的一半，即面积小于矩形面积的四分之一。
【点睛】本题考查的是抽屉原理，求解问题的关键是如何准确构造出抽屉。
9．试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案。一群学生参加考试，结果是对于其中任何3人，都有一个题目的答案互不相同。问参加考试的学生最多有多少人？
【答案】9人
【分析】对于其中任何3人，都有一个题目的答案互不相同，有可能是第一题不一样，也有可能是第二题不一样，同样也可能是第三题、第四题不一样，需要考虑到每一种情况。
【详解】设总人数为A，再由分析可设第一题筛选取出的人数为，第二题筛选的人数为，第三题筛选取的人数为，第四题筛选的人数为。如果不能满足题目要求，则：至少是3，即3个人只有两种答案。由于是人做第四题后筛选取出的人数，则由抽屉原则知，
（两种答案）中至少放有个苹果（即）。＝＝3，则A3至少为4，即4人只有两种答案。由于是人做第三题后筛选的人数，则由抽屉原则知，将个苹果放久三个抽屉（三种答案），那么必然有两个抽屉（两种答案）中至少放有个苹果（即）。＝＝4，则至少为5，即5人只有两种答案。同理，有＝＝5则至少为7，即做完第一道题必然有7个人只有两种答案；则有＝＝7.则至少为10，即当有10人参加考试时无法满足题目的要求。考虑9名学生参加考试，令每人答题情况如下表所示（汉字表示题号，数字表示学生）。
答：参加考试的学生最多有9人。
【点睛】本题考查的是抽屉原理，题目并未直接给出抽屉数和苹果数是多少，需要自己进行构造。
10．圆周上有个点，在其上任意地标上（每一点只标一个数，不同的点标上不同的数）。证明必然存在一点，与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于。
【答案】见详解
【分析】0~1999这2000个数，将相邻的三个数看成一组，总共有2000组，把2000组的三个数全部加起来，相当于把0~1999这2000个数加了3次。
【详解】证明：
把这一圈从某一个数开始按顺时针方向分别记为 a1 、 a2 、 a3 、…、 a2000 ；
相邻的三个数为一组，一共2000组，这 2000 组三个数之和的总和为：
相当于抽屉数是2000，苹果数是5997000；
所以必然存在一点，与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于2999。
【点睛】本题考查的是抽屉原理，如何构造出抽屉是求解问题的关键。
11．五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多。
【答案】见详解
【分析】数学小组共有20名同学，因此每个同学最多有19个朋友；又由于他们都有朋友，所以每个同学至少有1个朋友，因此，这20名同学中，每个同学的朋友数只有19种可能：1，2，3，…，19，抽屉数是19，苹果数是20。
【详解】抽屉数是19，苹果数是20；
（名）
所以至少有两名同学，他们的朋友人数一样多。
【点睛】本题考查的是抽屉原理，首先要找出对应的抽屉数和苹果数，这里每个小朋友所拥有的朋友数的可能性作为抽屉数。
12．一排有20个座位，其中有些座位已经有人，若新来一个人，他无论坐在何处，都有一个人与他相邻，则原来至少有多少人就座？
【答案】7人
【详解】20÷3=6（人）…2（个）
6+1=7（人）
答：原来至少有7人就坐．
13．某班的小图书库，有诗歌、童话、小人书三类课外书，如果每位同学最多可以借阅两种不同类型的书．至少有多少位同学来借书（每人都借），才一定有两位同学借阅的书的类型相同．
【答案】7位
【分析】首先把诗歌、童话、小人书三类课外书任意两本排列，一共有（诗歌，童话），（童话，小人书），（诗歌，小人书）三种情况；任意借1本，又有3种情况；一共是6种情况，看做6个抽屉，只要学生数比抽屉1就可以使同学来借阅时就一定会有两位同学借阅图书的种类相同．
【详解】一共有（诗歌，童话），（童话，小人书），（诗歌，小人书）三种情况；任意借1本，又有3种情况；一共是6种情况，构造6个抽屉，6+1=7（位），
答：至少要7位学生借阅才能保证其中一定有2个人所借阅的图书属于同一种类．
14．一个盒子里装有黑白两种颜色的跳棋各10枚，从中最少摸出几枚才能保证有2枚颜色相同？从中至少摸出几枚，才能保证有3枚颜色相同？
【答案】3枚 5枚
【分析】把2种不同颜色看作2个抽屉，把2种不同颜色的跳棋看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放1个，共需要2个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的和它同色，所以至少要取出：2+1=3（枚）；
把2种不同颜色看作2个抽屉，把2种不同颜色的跳棋看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放2个，共需要4个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的和它同色，所以至少要取出：4+1=5（枚）；据此解答．
【详解】2+1=3（枚），
2×2+1=5（枚）；
答：从中最少摸出3枚才能保证有2枚颜色相同，从中至少摸出5枚，才能保证有3枚颜色相同．
15．学校体育器材室有足够多足球、篮球和排球．体育老师让六(1)班52名同学去器材室拿球，规定：每人至少拿1个球，至多拿2个球，至少有几名同学所拿的球是相同的？
【答案】6名
【详解】每人至少拿1个球，至多拿2个球，共有9种拿法．
52÷9＝5……7 5＋1＝6(名)
答：至少有6名同学所拿的球是相同的．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
一
A
A
A
B
B
B
C
C
C
二
A
B
C
A
B
C
A
B
C
三
A
B
C
B
C
A
C
A
B
四
A
B
C
C
A
B
B
C
A