第27讲 巧求周长（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-三年级奥数培优讲义+答案

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一、核心概念与方法
1.基本概念
周长是指封闭图形一周的长度，是平面几何中的基本概念。巧求周长则是通过观察图形特点，运用平移、转化、分解、组合等方法，将复杂图形转化为基本图形，从而简化计算过程的解题策略。它能培养学生的空间想象能力和几何直观能力。
关键要素：周长定义（封闭图形一周的长度）、基本公式（长方形、正方形周长公式）、图形转化（复杂图形→基本图形）、平移技巧（线段位置的等效移动）、组合拆分（图形的分解与组合）
2.基本方法
① 公式法：直接运用长方形、正方形等基本图形的周长公式进行计算
② 平移法：通过平移将不规则图形转化为规则图形，再计算周长
③ 分割法：将复杂图形分割成若干个基本图形，分别计算后求和
④ 填补法：给不规则图形填补一部分，使其成为规则图形，再计算周长
⑤ 转化法：将图形的局部进行等长转化，简化计算过程
⑥ 标注法：在图形上标注已知线段长度，帮助发现计算规律
二、核心题型与技巧
题型1：基本图形周长计算
技巧：直接应用周长公式。长方形周长=(长+宽)×2，正方形周长=边长×4。关键是准确识别长、宽或边长。
题型2：不规则图形周长计算
技巧：使用平移法将不规则图形转化为长方形或正方形，注意平移后是否有多余线段需要加回。
题型3：含"凹"、"凸"部分的图形周长
技巧：对于"凹"字形图形，采用"平移+补全"的方法；对于"凸"字形图形，采用"平移+分段"的方法。
题型4：楼梯形图形周长
技巧：将横向线段向上平移，纵向线段向右平移，转化为长方形，周长等于长方形周长。
题型5：组合图形周长
技巧：分析组合方式，注意重叠部分不应重复计算，或通过平移转化为基本图形。
题型6：周长与实际问题
技巧：将实际问题转化为图形问题，明确所求周长对应的图形范围，再应用相应方法计算。
三、常见错误提醒
1.概念混淆：将面积与周长概念混淆，误用面积公式计算周长
2.平移不当：平移线段时方向错误或漏算平移后未覆盖的线段
3.线段遗漏：计算时遗漏图形中的某些边或重复计算某些边
4.单位问题：长度单位不统一或忘记写单位
5.特殊线段忽略：忽略图形中隐含的等长线段或特殊角度关系
6.组合图形处理错误：计算组合图形周长时，误将重叠部分也计入周长
例题讲解
一、基本图形周长计算
例题1：一个长方形的操场，长是100米，宽是50米。小明沿着操场跑一圈，他跑了多少米？
答案：小明跑了300米
解析：这是典型的长方形周长计算问题。长方形周长=(长+宽)×2，代入数值计算：(100+50)×2=150×2=300(米)
跟踪练习1：一个正方形的花坛，边长是8米。小红绕着花坛走了两圈，她一共走了多少米？
答案：小红一共走了64米
解析：先计算正方形周长，正方形周长=边长×4，即8×4=32(米)。小红走了两圈，所以总路程是32×2=64(米)
题型2：不规则图形周长计算
例题2：把一块长20厘米，宽12厘米的长方形纸按下图所示方法一层、二层、三层的摆下去，共要摆十层，摆好后图形周长是多少厘米。
【答案】640厘米
【分析】如果摆十层，那么最下面一行有10个长方形，最下面的长度是200厘米，图形总的高度是120厘米，经过平移转化成规则图形求解。
【详解】如图所示：
（厘米）
答：摆好后图形周长是640厘米。
【点睛】不规则图形的周长，可以通过平移法，转化成规则图形求解。
跟踪练习2：下图“E”字周长是多少厘米？
【答案】20厘米
【解析】如图，把图中的两条边进行平移，转化成边长是3厘米的正方形，由于有两个凹槽，有4条边遗漏，正方形周长加上遗漏的4条边，得到该图形的周长。
【详解】如图所示：
（厘米）
（厘米）
（厘米）
答：周长是20厘米。
【点睛】用平移法求不规则图形的周长时，有凹槽的地方会遗漏两条边，最后要额外加上。
题型3：含"凹"、"凸"部分的图形周长
例题3：求这个花圃的周长。
【答案】136米
【分析】如图，向上平移，得到一个长是40米，宽是20米的长方形，由于有个凹槽，少算了两个8米，长方形的周长加上两个8米，得到原图形的周长。
【详解】如图所示：
（米）
（米）
（米）
【点睛】在长方形的角上剪去一个小长方形，周长不变，但在长方形的边上剪去一个小长方形，周长会增加两条边。
跟踪练习3：求下边图形的周长。（单位：厘米）
【答案】88厘米
【分析】如图，分别向上、向左、向右平移，得到长是25厘米，宽是19厘米的长方形，长方形的周长等于原图形的周长。
【详解】如图所示：
（厘米）
（厘米）
（厘米）
题型4：楼梯形图形周长
例题4：下图是一个楼梯的侧面图。求这个楼梯侧面的周长。
【答案】120分米
【分析】分别向右、向上平移，得到长是50分米，宽是10分米的长方形，求长方形的周长即可。
【详解】如图所示：
（分米）
答：这个楼梯侧面的周长是120分米。
【点睛】用平移法求不规则图形的周长，依据的是平移的性质。
跟踪练习4：求下图的周长．(单位：厘米)
【答案】长：8＋4＋4＋4＝20(厘米)
宽：3＋3＋2＋3＝11(厘米)
(20＋11)×2＝62(厘米)
【详解】平移后变成一个长方形．
题型5：组合图形周长
例题5：有两个形状相同的长方形，叠在一起拼成一个新的图形（如图），拼成新的图形周长是多少？
【答案】28厘米
【分析】如下图，新拼成图形的周长与边长为7厘米的正方形的周长相等，7乘4即等于新拼成图形的周长，据此即可解答。
【详解】7×4＝28（厘米）
答：新拼成图形的周长是28厘米。
跟踪练习5：如图，这是从边长为50厘米的正方形材料中裁下来的一部分。已知BC，CD为正方形的边，FG＝8厘米。求从正方形材料中裁下来的这部分的周长。
【答案】216厘米
【分析】这个图形为不规则图形，需要通过平移的方式将小段的线段组合成已知的线段。然后再利用周长的定义求解。
【详解】如图，这个图形竖着的小段线段有AB、GH和EF，将它们移动到右边，可组成一条和线段CD一样长的线段，也就是50厘米长。
同理，这个图形横着的小段线段有AH、ED和FG，如果直接平移会比线段BC长。所以在线段上取点I，使得EI＝FG。将小段线段AH、ID平移，可组成一条和线段BC一样长的线段，也就是50厘米长。同时，还剩下线段EI和线段FG，它们都是8厘米长。
故通过平移，可将不规则图形的周长转化为4条长为50厘米的线段和2条长为8厘米的线段。
50×4＝200（厘米）
8×2＝16（厘米）
200＋16＝216（厘米）
答：这部分的周长是216厘米。
【点睛】通过平移将未知的小段线段转化为已知的线段是解决本题的关键。
提升练习
1．求下图的周长。（单位：cm）
【答案】18cm
【分析】通过平移的方法，把图形变成一个长是5cm，宽是4cm的长方形，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，用（5＋4）×2，即可求出图形的周长。
【详解】
（5＋4）×2
＝9×2
＝18（cm）
2．从下面边长是15厘米的正方形中剪掉一个长8厘米、宽4厘米的长方形，计算剩下图形的周长和面积。
【答案】周长为60厘米，面积为193平方厘米
【分析】如图：
通过将4厘米的边和8厘米的边向外移动，可以将剩下的图形看作一个边长为15厘米的正方形计算周长，正方形的周长＝边长×4；
长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，用原正方形的面积，减去剪掉的长方形的面积，可以计算出剩下图形的面积；据此解答。
【详解】周长：（厘米）
面积：（平方厘米）
（平方厘米）
（平方厘米）
答：剩下图形的周长为60厘米，面积为193平方厘米。
3．如图，有一块瓜田。
（1）要给瓜田围篱笆，篱笆长多少米？
（2）瓜田的面积是多少平方米？
【答案】（1）96米；（2）476平方米
【分析】（1）通过平移后变为长方形，周长不变，篱笆的长度是长30米，宽18米的长方形的周长，长方形的周长＝（长＋宽）×2；
（2）瓜田的面积＝长方形的长×宽－右上角正方形的边长×边长。
【详解】如图：
（1）（30＋18）×2
＝48×2
＝96（米）
答：篱笆长96米。
（2）30×18－8×8
＝540－64
＝476（平方米）
答：瓜田的面积是476平方米。
4．计算下列图形的周长。（单位：厘米）

【答案】126厘米；196厘米
【分析】观察第一个图形，通过平移的方法，可将其转化为一个长为40厘米，宽为15＋8＝23（厘米）的长方形，然后根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，依此计算即可；
图二通过部分线段平移后可以变成长为60厘米，宽为38厘米的长方形，然后根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，依此计算即可。
【详解】图形一的周长：（40＋15＋8）×2
＝63×2
＝126（厘米）
图形二的周长：（38＋60）×2
＝98×2
＝196（厘米）
5．计算下面图形的周长。
【答案】22厘米；42厘米
【分析】图形一，首先通过平移把图形变成一个长是6厘米，宽是3厘米的长方形，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，计算出长方形的周长，再用长方形的周长加上2×2厘米，即可求出图形一的周长；图形二，通过平移把图形变成一个长是5＋3＋6＝14厘米，宽是7厘米的长方形，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，即可计算出长方形的周长。
【详解】
（6＋3）×2
＝9×2
＝18（厘米）
18＋2×2
＝18＋4
＝22（厘米）
5＋3＋6＝14（厘米）
（14＋7）×2
＝21×2
＝42（厘米）
6．A、B、C三只蚂蚁分别绕着图形走一周，（ ）走的路线最长。
A．AB．BC．C
【答案】C
【分析】本题考查了巧算周长的应用。根据“正方形周长＝边长×4，长方形周长＝2×（长＋宽）”分别计算周长后即可比较大小。根据题意可知：小蚂蚁走的路线就是各图形的周长，图形A走的路线的长度就是长为5厘米，宽为2厘米的长方形的周长；图形B走的路线的长度就是长为5厘米，宽为2厘米的长方形的周长；图形C所走的路线就是长为5厘米，宽为2厘米的长方形的周长，外加2条1厘米长的线段；根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，分别计算出各图形的周长（即总格数），再比较结果的大小，即可解答。
【详解】令小方格的边长为1厘米，则：
A.图形周长即为长为5厘米，宽为2厘米的长方形的周长，即2×（5＋2）＝14（厘米）
B.图形周长即为长为5厘米，宽为2厘米的长方形的周长，即2×（5＋2）＝14（厘米）
C.图形周长即为长为5厘米，宽为2厘米的长方形的周长，外加2条1厘米长的线段，即2×（5＋2）＋2＝14＋2＝16（厘米）
16＞14
即C选项周长最长。
故答案为：C
7．亡羊而补牢，未为迟也。李爷爷家的羊圈破了一个洞（如图），需要修补，这个洞的周长是( )分米。
【答案】30
【分析】根据题意，修补这个洞，已知这个洞是一个多边形，那么可以通过移动周边的线，使其形成一个长方形，再根据长方形的周长公式：（长＋宽）×2，计算出这个洞的周长。
【详解】通过移动可得
（10＋5）×2＝15×2＝30（分米）
即亡羊而补牢，未为迟也。李爷爷家的羊圈破了一个洞（如上图），需要修补，这个洞的周长是（30）分米。
8．与周长一样长的是（ ）。
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根据周长的意义可知：围成这个图形一周的线段的总长度，叫周长；如图所示，将图形的边向上向右平移后，可以得出图形的周长等于长方形的周长，据此分析。
【详解】根据分析：
A．，的周长和长方形周长相等；符合；
B．，梯形周长小于长方形的周长，所以的周长与的周长不一样长，不符合；
C．，将图形的边向上平移后，如图，可以得出这个图形的周长＝长方形的周长＋两条竖着小线段的长度，与周长不相等；不符合；
D．，将图形的边向下平移后，如图，可以得出这个图形的周长＝长方形的周长＋两条竖着小线段的长度，与周长不相等；不符合。
故答案为：A
9．下面的三个长方形，分别减去一个小长方形后，（ ）的周长增加了。
A．B．C．
【答案】A
【分析】
围成封闭图形一周的长度就是图形的周长，橙色线段之和就是图形的周长，如果将橙色线段移动到箭头指向的位置，此时图形的周长为原来长方形的周长＋两条段的橙色线段；，此时长方形的两条长不变，但是宽变短了；如图所示，按照蓝色箭头进行移动后，周长和原来长方形周长一样。
【详解】
A．剪完后图形比原来长方形周长要长，比原来长剪掉图形的两条宽的长度。
B．宽变短了，所以此时周长比原来周长变小了；
C．周长与原来长方形周长相等。
下面的三个长方形，分别减去一个小长方形后，的周长增加了。
故答案为：A
10．如图，琪琪在桌面上把长2厘米，宽1厘米的长方形卡片一层一层地摆下去，当她摆了6层时，所得图形的周长是（ ）厘米。
A．36B．105C．72
【答案】A
【分析】根据图示可知，第1层摆1个长方形，第2层摆2个长方形……，第6层摆6个长方形，求所得图形的周长就是求所摆图形外面一圈的长度，通过把外面的边平移，这个图形可以转化成一个大长方形的周长，长是6个小长方形的长，即2×6＝12厘米，宽是6个小长方形的宽，即1×6＝6厘米，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入数值，即可求出所得图形的周长。
【详解】2×6＝12（厘米）
1×6＝6（厘米）
（12＋6）×2
＝18×2
＝36（厘米）
琪琪在桌面上把长2厘米，宽1厘米的长方形卡片一层一层地摆下去，当她摆了6层时，所得图形的周长是36厘米。
故答案为：A
11．如图，在大长方形中摆了3个同样的小长方形，已知小长方形的长是3厘米，宽是2厘米，则大长方形的周长是( )厘米。
【答案】30
【分析】
如图所示，大长方形的长＝3个小长方形的长，宽等于3个小长方形的宽，此时大长方形的长＝3×3，宽＝2×3，然后根据长方形周长＝（长＋宽）×2进行解题。
【详解】3×3＝9（厘米）
2×3＝6（厘米）
（9＋6）×2
＝15×2
＝30（厘米）
如图，在大长方形中摆了3个同样的小长方形，已知小长方形的长是3厘米，宽是2厘米，则大长方形的周长是30厘米。
12．某宾馆在楼梯上铺地毯，如图这块地毯的长度是（ ）
A．M+NB．2M+2NC．M+2ND．2M+N
【答案】A
【详解】把楼梯上的地毯分成两部分，横着的为一部分，进行向右平移，长即是M，然后把竖着的一部分，向下平移，长度即为N，然后相加即可得出地毯的长度:M+N．
故选A．
13．如图，大正方形的边长是15厘米，如果在它的四个角各剪去一个边长是2厘米的小正方形，剩下的图形的周长是 厘米．
【答案】60
【详解】试题分析：由于原来正方形的边长为15厘米，如果四个角上各剪去一个边长是2厘米的同样大小的正方形，可以通过平移得到这个剪去小正方形后的纸片的周长没有改变，还是原来的周长．
解答：解：由分析可知，
剩下的图形的周长是：15×4=60（厘米）．
答：剩下的图形的周长是60厘米．
故答案为60．
点评：考查了巧算周长，本题关键是将四个角上的线段进行平移．
14．想一想，你能用几种不同的方法求出如图的周长？（单位：厘米）
【答案】34厘米
【分析】方法一：把图中8条线段长度都测量出来，相加，就得到这个图形的周长。
方法二：仔细观察上面的图形，通过平移可知：求该图的周长，即求长是9厘米、宽是8厘米的长方形的周长，由此根据长方形的周长计算公式进行解答即可。
【详解】如图：
方法一：4＋6＋6＋2＋2＋3＋3＋4＋2＋2＝34（厘米）；
如图：
方法二：[（4＋2×2）＋（6＋3）]×2
＝[（4＋4）＋9]×2
＝[8＋9]×2
＝17×2
＝34（厘米）
答：该图形的周长是34厘米。
15．一个长方形长10厘米、宽6厘米,从它的一个角上剪去一个长4厘米、宽3厘米的小长方形,剩下图形的周长是多少?
【答案】剩下图形的周长是32厘米．
【详解】略
16．有一块长为27米的长方形地，现在要从中分出一块正方形地做晒谷场，其余的地作为苗圃（如图）．如果要在苗圃的四周围上篱笆，那么篱笆的长度是 米．
【答案】54
【详解】试题分析：由图意可知：苗圃的周长实际上就等于原来长方形地的两个长，原来长方形的长已知，从而可以求出篱笆的长度．
解：27×2=54（米）；
答：篱笆的长度是54米．
故答案为54．
点评：解答此题的关键是：弄明白苗圃的周长由哪些线段组成．