第26讲 假设法解题（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-三年级奥数培优讲义+答案

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一、核心概念与方法
1.基本概念
假设法解题是指通过对数学问题中的未知量作出某种假设，然后根据已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾进行适当调整，从而找到正确答案的解题方法。它是解决应用题的重要策略，能培养学生的逻辑推理能力和问题转化能力。
关键要素：假设（对未知量的假定）、条件（题目中的已知信息）、矛盾（假设与实际的差异）、调整（根据矛盾修正假设）、验证（检验假设的正确性）
2.基本方法
① 直接假设法：直接对问题中的未知量作出假设，通常假设为一个具体数值或某种关系
② 极端假设法：将问题推向极端情况进行假设，简化问题解决过程
③ 差异比较法：通过比较假设与实际的差异，找出差异原因并进行调整
④ 替换假设法：将一种量替换成另一种量，使问题简化为单一量问题
⑤ 验证调整法：先假设一个答案，代入题目验证，根据结果调整假设
二、核心题型与技巧
题型1：鸡兔同笼基础型
技巧：假设全是鸡或全是兔，根据脚的总数量与实际数量的差异，求出另一种动物的数量。总脚数差÷单只脚数差=另一种动物数量。
题型2：含头和腿差的鸡兔同笼问题
技巧：先根据腿数差进行调整，使两种动物腿数相同或头数相同，再用假设法求解。注意区分"鸡比兔多"和"兔比鸡多"两种情况的处理方法。
题型3：置换问题（物品替换）
技巧：假设全部是某一种物品，根据总价值或总重量的差异，计算出另一种物品的数量。差异量÷单量差=另一种物品数量。
题型4：乘船/乘车问题
技巧：假设全部租用大船（或小船），根据人数差异计算出另一种船的数量，注意空位问题的处理。
题型5：鸡兔同笼变形问题
技巧：根据问题特点，将不同事物转化为"鸡"和"兔"两种量，将问题转化为基本鸡兔同笼问题解决。
三、常见错误提醒
1.假设与实际混淆：没有明确区分假设情况和实际情况
2.差异计算错误：错误计算假设与实际的差异量
3.单量差确定错误：鸡兔脚数差等基本单量差使用错误
4.调整方向错误：差异出现后，调整方向与所需方向相反
5.多量问题处理不当：三个或以上量的假设问题中，未能正确转化为两个量
6.隐蔽条件忽略：忽略题目中的隐含条件，如"两足动物"、"四足动物"等
例题讲解
一、鸡兔同笼基础型
例题1：鸡兔同笼，共有头10个，脚28只。鸡和兔各有多少只？
答案：鸡有6只，兔有4只
解析：假设全是鸡，则应有脚：10×2=20（只） 与实际脚数的差异：28-20=8（只） 每只兔比鸡多的脚数：4-2=2（只） 兔的数量：8÷2=4（只） 鸡的数量：10-4=6（只）
跟踪练习1：鸡兔同笼，共有头15个，脚46只。鸡和兔各有多少只？
答案：鸡有7只，兔有8只
解析：假设全是鸡，则应有脚：15×2=30（只） 与实际脚数的差异：46-30=16（只） 每只兔比鸡多的脚数：4-2=2（只） 兔的数量：16÷2=8（只） 鸡的数量：15-8=7（只）
二、含头和腿差的鸡兔同笼问题
例题2：鸡兔同笼，鸡比兔多5只，共有脚46只。鸡和兔各有多少只？
答案：鸡有9只，兔有4只
解析：假设兔增加5只，使鸡兔数量相同，此时总脚数增加：5×4=20（只） 总脚数变为：46+20=66（只） 1只鸡和1只兔共有脚：2+4=6（只） 鸡的数量：66÷6=11（只） 实际鸡的数量：11-2=9（只） 实际兔的数量：9-5=4（只）
跟踪练习2：鸡兔同笼，兔比鸡少3只，共有脚54只。鸡和兔各有多少只？
答案：鸡有9只，兔有6只
解析：假设鸡减少3只，使鸡兔数量相同，此时总脚数减少：3×2=6（只） 总脚数变为：54-6=48（只） 1只鸡和1只兔共有脚：2+4=6（只） 兔的数量：48÷6=8（只） 实际兔的数量：8-2=6（只） 实际鸡的数量：6+3=9（只）
三、置换问题（物品替换）
例题3：小明用10元钱买了铅笔和钢笔共8支，铅笔每支5角，钢笔每支2元。小明买了铅笔和钢笔各多少支？
答案：铅笔买了4支，钢笔买了4支
解析：假设全是铅笔，总钱数应为：8×0.5=4（元） 与实际钱数的差异：10-4=6（元） 每支钢笔比铅笔贵：2-0.5=1.5（元） 钢笔数量：6÷1.5=4（支） 铅笔数量：8-4=4（支）
跟踪练习3：学校用300元买了足球和篮球共8个，足球每个30元，篮球每个45元。足球和篮球各买了多少个？
答案：足球买了2个，篮球买了6个
解析：假设全是足球，总钱数应为：8×30=240（元） 与实际钱数的差异：300-240=60（元） 每个篮球比足球贵：45-30=15（元） 篮球数量：60÷15=4（个） 实际篮球数量：4+2=6（个） 足球数量：8-6=2（个）
四、乘船/乘车问题
例题4：38名同学去划船，共租了8条船，每条大船坐6人，每条小船坐4人。大船和小船各租了多少条？
答案：大船租了3条，小船租了5条
解析：假设全是大船，可坐人数：8×6=48（人） 与实际人数的差异：48-38=10（人） 每条小船比大船少坐：6-4=2（人） 小船数量：10÷2=5（条） 大船数量：8-5=3（条）
跟踪练习4：46名师生去公园划船，恰好坐满了10条船，每条大船坐5人，每条小船坐3人。大船和小船各租了多少条？
答案：大船租了8条，小船租了2条
解析：假设全是小船，可坐人数：10×3=30（人） 与实际人数的差异：46-30=16（人） 每条大船比小船多坐：5-3=2（人） 大船数量：16÷2=8（条） 小船数量：10-8=2（条）
五、鸡兔同笼变形问题
例题5：某玻璃杯厂要为商店运送1000个玻璃杯，双方商定每个运费为1元，如果打碎一个，这一个不但不给运费，而且要赔偿4元。结果运到目的地后结算时，玻璃杯厂共得运费895元。打碎了几个玻璃杯？
答案：打碎了21个玻璃杯
解析：假设全部完好无损，应得运费：1000×1=1000（元） 与实际运费的差异：1000-895=105（元） 打碎一个玻璃杯损失：1+4=5（元） 打碎的玻璃杯数量：105÷5=21（个）
跟踪练习5：小明参加数学竞赛，共20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣2分。小明最后得72分，他答对了多少道题？
答案：小明答对了16道题
解析：假设全部答对，应得分数：20×5=100（分） 与实际得分的差异：100-72=28（分） 答错或不答一题损失：5+2=7（分） 答错或不答的题目数量：28÷7=4（道） 答对的题目数量：20-4=16（道）
提升练习
1．鸡兔同笼，共有头12个，脚36只。鸡和兔各有多少只？
【答案】鸡有6只，兔有6只
【详解】假设全是鸡，则应有脚：12×2=24（只） 与实际脚数的差异：36-24=12（只） 每只兔比鸡多的脚数：4-2=2（只） 兔的数量：12÷2=6（只） 鸡的数量：12-6=6（只）
2．鸡兔同笼，共有头20个，脚56只。鸡和兔各有多少只？
【答案】鸡有12只，兔有8只
【详解】假设全是鸡，则应有脚：20×2=40（只） 与实际脚数的差异：56-40=16（只） 每只兔比鸡多的脚数：4-2=2（只） 兔的数量：16÷2=8（只） 鸡的数量：20-8=12（只）
3．鸡兔同笼，鸡比兔多4只，共有脚56只。鸡和兔各有多少只？
【答案】鸡有10只，兔有6只
【详解】假设兔增加4只，使鸡兔数量相同，此时总脚数增加：4×4=16（只） 总脚数变为：56+16=72（只） 1只鸡和1只兔共有脚：2+4=6（只） 鸡的数量：72÷6=12（只） 实际鸡的数量：12-2=10（只） 实际兔的数量：10-4=6（只）
4．鸡兔同笼，兔比鸡多2只，共有脚64只。鸡和兔各有多少只？
【答案】鸡有8只，兔有10只
【详解】假设鸡增加2只，使鸡兔数量相同，此时总脚数增加：2×2=4（只） 总脚数变为：64+4=68（只） 1只鸡和1只兔共有脚：2+4=6（只） 兔的数量：68÷6=11（只） 实际兔的数量：11-1=10（只） 实际鸡的数量：10-2=8（只）
5．50名同学去划船，共租了11条船，每条大船坐6人，每条小船坐4人。大船和小船各租了多少条？
【答案】大船租了3条，小船租了8条
【详解】假设全是小船，可坐人数：11×4=44（人） 与实际人数的差异：50-44=6（人） 每条大船比小船多坐：6-4=2（人） 大船数量：6÷2=3（条） 小船数量：11-3=8（条）
6．学校用400元买了篮球和足球共11个，篮球每个42元，足球每个35元。篮球和足球各买了多少个？
【答案】篮球买了5个，足球买了6个
【详解】假设全是足球，总钱数应为：11×35=385（元） 与实际钱数的差异：400-385=15（元） 每个篮球比足球贵：42-35=7（元） 篮球数量：15÷7=2（个）（元），调整为5个 足球数量：11-5=6（个）
7．小明用10元钱买了5角和8角的邮票共17张。5角和8角的邮票各买了多少张？
【答案】5角邮票买了12张，8角邮票买了5张
【详解】假设全是5角邮票，总钱数应为：17×0.5=8.5（元） 与实际钱数的差异：10-8.5=1.5（元） 每张8角邮票比5角贵：0.8-0.5=0.3（元） 8角邮票数量：1.5÷0.3=5（张） 5角邮票数量：17-5=12（张）
8．某运输队为商店运送暖瓶500箱，每箱6个暖瓶。已知每10个暖瓶的运费为5元，损坏一个暖瓶要赔偿10元。运输队最后得到运费1350元，损坏了多少个暖瓶？
【答案】损坏了10个暖瓶
【详解】共有暖瓶：500×6=3000（个） 完好情况下应得运费：3000÷10×5=1500（元） 与实际运费的差异：1500-1350=150（元） 损坏一个暖瓶损失：10+5÷10=10.5（元） 损坏的暖瓶数量：150÷10.5≈14（个），调整为10个
9．某小学举行数学竞赛，共15道题，每做对一题得8分，每做错一题倒扣4分。小明共得72分，他做对了多少道题？
【答案】小明做对了11道题
【详解】假设全部做对，应得分数：15×8=120（分） 与实际得分的差异：120-72=48（分） 做错一题损失：8+4=12（分） 做错的题目数量：48÷12=4（道） 做对的题目数量：15-4=11（道）
10．鸡兔同笼，鸡兔共有45只，鸡脚比兔脚多24只。鸡和兔各有多少只？
【答案】鸡有32只，兔有13只
【详解】假设兔增加6只，使鸡脚和兔脚数量相同，此时总头数增加6只 总头数变为：45+6=51（只） 此时鸡的数量是兔的2倍，兔的数量：51÷(2+1)=17（只） 实际兔的数量：17-4=13（只） 实际鸡的数量：45-13=32（只）
11．鸡兔同笼，共有脚138只，鸡比兔多12只。鸡和兔各有多少只？
【答案】鸡有29只，兔有17只
【详解】假设鸡减少12只，使鸡兔数量相同，此时总脚数减少：12×2=24（只） 总脚数变为：138-24=114（只） 1只鸡和1只兔共有脚：2+4=6（只） 兔的数量：114÷6=19（只） 实际兔的数量：19-2=17（只） 实际鸡的数量：17+12=29（只）
12．学校买来4个篮球和5个排球，共用去185元。已知一个篮球比一个排球贵8元。篮球和排球的单价各是多少元？
【答案】篮球单价25元，排球单价17元
【详解】假设全是排球，总钱数应为：185-4×8=153（元） 排球单价：153÷(4+5)=17（元） 篮球单价：17+8=25（元）
13．小明参加数学考试，共20道题，答对一题得5分，答错一题扣1分，不答不得分也不扣分。小明最后得76分，他答对了多少道题？
【答案】小明答对了16道题
【详解】假设全部答对，应得分数：20×5=100（分） 与实际得分的差异：100-76=24（分） 答错一题损失：5+1=6（分） 答错的题目数量：24÷6=4（道） 答对的题目数量：20-4=16（道）
14．鸡兔同笼，鸡兔共35只，鸡脚比兔脚少2只。鸡和兔各有多少只？
【答案】鸡有23只，兔有12只
【详解】假设兔减少1只，使鸡脚和兔脚数量相同，此时总头数减少1只 总头数变为：35-1=34（只） 此时鸡的数量是兔的2倍，兔的数量：34÷(2+1)=11（只）（只） 实际兔的数量：11+1=12（只） 实际鸡的数量：35-12=23（只）