第25讲 还原解题（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-三年级奥数培优讲义+答案

这是一份第25讲 还原解题（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-三年级奥数培优讲义+答案，文件包含2026年哈尔滨市高考第二次模拟考试历史答案pdf、2026年哈尔滨市高考第二次模拟考试历史pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。
一、核心概念与方法
1.基本概念
还原解题是指从问题的结果出发，利用已知条件逐步倒推，还原出事物发展的初始状态的问题。它是培养学生逆向思维能力的重要内容，也是解决数学问题的常用方法。
关键要素：结果（事物发展的最终状态）、逆运算（与原来运算相反的运算）、步骤（事物发展的过程）、初始状态（事物的原来状态）
2.基本方法
① 倒推法：从结果出发，按与原来相反的顺序思考和运算
② 线段图法：用线段表示数量关系，帮助理解还原过程
③ 流程图法：用箭头和方框表示运算顺序，从后往前倒推
④ 列表法：通过表格记录每一步的变化，清晰展示还原过程
⑤ 公式法：根据特定类型的还原问题总结的解题公式
二、核心题型与技巧
题型1：基本型还原问题
技巧：已知最终结果和每一步运算，从结果开始逐步倒推，每一步都使用逆运算。加减互逆，乘除互逆。
题型2：含多步运算的还原问题
技巧：含有多个步骤运算的还原问题，按照运算顺序的逆序，从最后一步运算开始，逐步向前倒推，直至求出初始值。
题型3：含数量增减的还原问题
技巧：涉及数量增加或减少的还原问题，先确定最终数量，再根据增减情况，逆向操作（增加的减去，减少的加上）。
题型4：含一半关系的还原问题
技巧：题目中含有"一半"或"平均分"等关系时，用乘法逆运算（即乘以2）来还原，注意区分"一半多几"和"一半少几"的不同处理方法。
题型5：含倍数关系的还原问题
技巧：涉及倍数关系的还原问题，先用除法逆运算（除以倍数）还原到上一步，再处理其他运算。注意倍数关系的正确使用。
三、常见错误提醒
1.运算方向错误：按照正常顺序而非逆序进行计算
2.逆运算使用错误：加减、乘除互逆关系混淆
3.步骤顺序颠倒：倒推时步骤顺序不正确
4."一半多几"与"一半少几"混淆：两种情况的处理方法不同，容易混淆
5.多量问题处理不当：多个量的还原问题中，未能正确区分每个量的变化
6.忽略中间步骤：遗漏题目中的某些运算步骤，导致还原不完整
例题讲解
一、基本型还原问题
例题1：一个数加上5，减去3，乘以4，除以6，结果是12。这个数是多少？
答案：这个数是16
解析：从结果12开始，按照与原来相反的顺序逐步倒推。
12×6=72（除以6的逆运算是乘以6） 72÷4=18（乘以4的逆运算是除以4） 18+3=21（减去3的逆运算是加上3） 21-5=16（加上5的逆运算是减去5）
跟踪练习1：一个数减去8，乘以4，除以5，再加上3，结果是27。这个数是多少？
答案：这个数是38
解析：从结果27开始，逐步倒推：
27-3=24（加上3的逆运算是减去3） 24×5=120（除以5的逆运算是乘以5） 120÷4=30（乘以4的逆运算是除以4） 30+8=38（减去8的逆运算是加上8）
二、含多步运算的还原问题
例题2：小明做一道数学题，他先加上8，然后乘以8，再减去8，最后除以8，得到的结果是8。原来的数是多少？
答案：原来的数是1
解析：从结果8开始，按照逆序逐步还原：
8×8=64（除以8的逆运算是乘以8） 64+8=72（减去8的逆运算是加上8） 72÷8=9（乘以8的逆运算是除以8） 9-8=1（加上8的逆运算是减去8）
跟踪练习2：小红想了一个数，她先乘以2，加上3，乘以5，再减去10，得到的结果是50。小红想的数是多少？
答案：小红想的数是5
解析：从结果50开始，逐步倒推：
50+10=60（减去10的逆运算是加上10） 60÷5=12（乘以5的逆运算是除以5） 12-3=9（加上3的逆运算是减去3） 9÷2=4.5（乘以2的逆运算是除以2）
三、含数量增减的还原问题
例题3：妈妈买了一袋苹果，小明第一天吃了一半多1个，第二天吃了剩下的一半多1个，最后还剩3个。妈妈原来买了多少个苹果？
答案：妈妈原来买了18个苹果
解析：从最后剩余的3个开始倒推：
第二天吃之前有：(3+1)×2=8（个）（"多吃1个"逆运算为"加1"，"一半"逆运算为"乘2"） 第一天吃之前有：(8+1)×2=18（个）
跟踪练习3：一根绳子，第一次剪去一半多2米，第二次剪去剩下的一半少1米，最后还剩5米。这根绳子原来长多少米？
答案：这根绳子原来长20米
解析：从最后剩余的5米开始倒推：
第二次剪之前有：(5-1)×2=8（米）（"少剪1米"逆运算为"减1"，"一半"逆运算为"乘2"） 第一次剪之前有：(8+2)×2=20（米）（"多剪2米"逆运算为"加2"，"一半"逆运算为"乘2"）
四、含一半关系的还原问题
例题4：一篮鸡蛋，第一次卖出一半，第二次卖出剩下的一半，第三次又卖出剩下的一半，最后还剩5个。这篮鸡蛋原来有多少个？
答案：这篮鸡蛋原来有40个
解析：从最后剩余的5个开始，逐步倒推：
第三次卖之前有：5×2=10（个） 第二次卖之前有：10×2=20（个） 第一次卖之前有：20×2=40（个）
跟踪练习4：一箱苹果，第一次拿出总数的一半，第二次拿出剩下的一半，第三次拿出剩下的一半少2个，最后还剩8个。这箱苹果原来有多少个？
答案：这箱苹果原来有48个
解析：从最后剩余的8个开始倒推：
第三次拿之前有：(8-2)×2=12（个）（"少拿2个"逆运算为"减2"） 第二次拿之前有：12×2=24（个） 第一次拿之前有：24×2=48（个）
五、含倍数关系的还原问题
例题5：甲、乙、丙三个数，从甲数中拿出15加到乙数，再从乙数中拿出18加到丙数，最后从丙数中拿出12加到甲数，这时三个数都是180。甲、乙、丙三个数原来各是多少？
答案：甲数原来是183，乙数原来是183，丙数原来是174
解析：从最后三个数都是180开始，逐步还原：
甲数原来有：180-12+15=183（"得到12"逆运算为"减12"，"拿出15"逆运算为"加15"） 乙数原来有：180+18-15=183（"拿出18"逆运算为"加18"，"得到15"逆运算为"减15"） 丙数原来有：180+12-18=174（"得到12"逆运算为"减12"，"拿出18"逆运算为"加18"）
跟踪练习5：书架上有三层书，从第一层拿5本到第二层，从第二层拿8本到第三层，从第三层拿6本到第一层，这时三层书架上都有20本书。原来三层各有多少本书？
答案：第一层原来有19本，第二层原来有23本，第三层原来有18本
解析：从最后每层都有20本书开始，逐步还原：
第一层原来有：20-6+5=19（本） 第二层原来有：20+8-5=23（本） 第三层原来有：20+6-8=18（本）
提升练习
1．一个数加上6，乘以6，减去6，除以6，结果还是6。这个数是多少？
【答案】这个数是1
【详解】从结果6开始倒推： 6×6=36（除以6的逆运算是乘以6） 36+6=42（减去6的逆运算是加上6） 42÷6=7（乘以6的逆运算是除以6） 7-6=1（加上6的逆运算是减去6）
2．某数加上3，乘以5，再减去8，等于12。求这个数。
【答案】这个数是3
【详解】从结果12开始倒推： 12+8=20（减去8的逆运算是加上8） 20÷5=4（乘以5的逆运算是除以5） 4-3=1（加上3的逆运算是减去3）
3．一根绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，还剩5米。这根绳子原来长多少米？
【答案】这根绳子原来长20米
【详解】从最后剩余的5米开始倒推： 第二次剪之前有：5×2=10（米） 第一次剪之前有：10×2=20（米）
4．小红有一些糖果，她吃了一半多2颗，还剩5颗。小红原来有多少颗糖果？
【答案】小红原来有14颗糖果
【详解】从最后剩余的5颗开始倒推： 原来有：(5+2)×2=14（颗）（"多吃2颗"逆运算为"加2"，"一半"逆运算为"乘2"）
5．一个数的3倍加上6，再减去9，最后乘以2，结果是60。这个数是多少？
【答案】这个数是11
【详解】从结果60开始倒推： 60÷2=30（乘以2的逆运算是除以2） 30+9=39（减去9的逆运算是加上9） 39-6=33（加上6的逆运算是减去6） 33÷3=11（乘以3的逆运算是除以3）
6．妈妈买了一些橘子，小明第一天吃了一半，第二天吃了剩下的一半，第三天吃了剩下的一半少2个，最后还剩5个。妈妈原来买了多少个橘子？
【答案】妈妈原来买了24个橘子
【详解】从最后剩余的5个开始倒推： 第三天吃之前有：(5-2)×2=6（个）（"少吃2个"逆运算为"减2"） 第二天吃之前有：6×2=12（个） 第一天吃之前有：12×2=24（个）
7．小明在做一道数学题时，把一个数先乘以3，加上8，再除以2，结果是10。正确的结果应该是多少？
【答案】正确的结果应该是10
【详解】先求出原数，再按正确顺序计算： 原数是：(10×2)-8=12，12÷3=4 正确结果是：4×3+8=20，20÷2=10
8．袋子里有一些球，第一次拿出一半，第二次拿出剩下的一半多1个，第三次拿出剩下的一半少1个，最后还剩3个。袋子里原来有多少个球？
【答案】袋子里原来有20个球
【详解】从最后剩余的3个开始倒推： 第三次拿之前有：(3-1)×2=4（个）（"少拿1个"逆运算为"减1"） 第二次拿之前有：(4+1)×2=10（个）（"多拿1个"逆运算为"加1"） 第一次拿之前有：10×2=20（个）
9．甲、乙两个桶各有一些油，如果从甲桶倒10千克油到乙桶，那么乙桶的油是甲桶的2倍。已知乙桶原来有30千克油，甲桶原来有多少千克油？
【答案】甲桶原来有30千克油
【详解】从倒油后的关系开始倒推： 倒油后甲桶有：(30+10)÷2=20（千克） 甲桶原来有：20+10=30（千克）
10．一个数加上8，乘以8，减去8，除以8，结果是8。这个数是多少？
【答案】这个数是1
【详解】从结果8开始倒推： 8×8=64（除以8的逆运算是乘以8） 64+8=72（减去8的逆运算是加上8） 72÷8=9（乘以8的逆运算是除以8） 9-8=1（加上8的逆运算是减去8）
11．一根绳子，第一次剪去全长的一半多3米，第二次剪去剩下的一半少2米，最后还剩5米。这根绳子原来长多少米？
【答案】这根绳子原来长22米
【详解】从最后剩余的5米开始倒推： 第二次剪之前有：(5-2)×2=6（米）（"少剪2米"逆运算为"减2"） 第一次剪之前有：(6+3)×2=18（米）（"多剪3米"逆运算为"加3"）
12．小红储蓄罐里的钱，第一天拿出一半，第二天拿出剩下的一半，第三天又拿出剩下的一半，最后还剩2元。小红储蓄罐里原来有多少钱？
【答案】小红储蓄罐里原来有16元
【详解】从最后剩余的2元开始倒推： 第三天拿之前有：2×2=4（元） 第二天拿之前有：4×2=8（元） 第一天拿之前有：8×2=16（元）
13．有一筐苹果，第一次卖出总数的一半多2个，第二次卖出剩下的一半少3个，第三次卖出剩下的一半多1个，最后还剩5个。这筐苹果原来有多少个？
【答案】这筐苹果原来有48个
【详解】从最后剩余的5个开始倒推： 第三次卖之前有：(5+1)×2=12（个） 第二次卖之前有：(12-3)×2=18（个） 第一次卖之前有：(18+2)×2=40（个）
14．甲、乙、丙三个小朋友共有画片90张，如果甲给乙10张，乙给丙8张，丙给甲5张，这时三人的画片张数相等。原来三人各有画片多少张？
【答案】甲原来有35张，乙原来有28张，丙原来有27张
【详解】从最后三人画片相等（各30张）开始倒推： 甲原来有：30-5+10=35（张） 乙原来有：30+8-10=28（张） 丙原来有：30+5-8=27（张）