第23讲 和倍问题（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-三年级奥数培优讲义+答案

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一、核心概念与方法
1. 基本概念
和倍问题是指已知两个或多个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个或多个数各是多少的问题。它是小学数学中的经典应用题类型，也是培养学生解决实际问题能力的重要内容。
关键要素：和（几个数的总和）、倍数（数与数之间的倍数关系）、1倍数（作为标准的量，也叫较小数）、几倍数（较大数）
2. 基本方法
① 线段图法：用线段表示数量关系，直观展示倍数关系和总和
② 公式法：
和÷(倍数+1)=1倍数（较小数）
1倍数×倍数=几倍数（较大数）
和-1倍数=几倍数（较大数）
③ 份数法：将1倍数看作1份，几倍数看作几份，先求1份是多少
④ 转化法：将复杂问题转化为基本和倍问题
⑤ 方程法：设未知数，根据等量关系列方程求解（初步介绍）
二、核心题型与技巧
题型1：基本型和倍问题
技巧：已知两个数的和与倍数关系，直接应用基本公式求解。关键是准确确定1倍数和倍数，可借助线段图辅助理解。
题型2：含多量的和倍问题
技巧：三个或三个以上量的和倍问题，先确定其中一个量为1倍数，再根据其他量与1倍数的关系表示出各量，最后利用总和求解。
题型3：含差量的和倍问题
技巧：当题目中除了和与倍数关系外，还包含一个数量比另一个数量多（或少）一定数值时，先从总和中调整差量，转化为基本和倍问题。
题型4：隐藏和的和倍问题
技巧：题目中没有直接给出总和，需要通过分析条件间接求出总和，再应用基本公式求解。
题型5：倍数变化的和倍问题
技巧：当倍数关系发生变化时，先确定变化前后的关系，抓住总和不变或变化的规律，分段或整体分析求解。
三、常见错误提醒
1.倍数关系混淆：误将几倍数当作1倍数，导致整个计算错误
2.和值确定错误：未能准确找出或计算题目中的总和
3.线段图画错：线段图中各量关系表示不准确，导致理解偏差
4.忽略隐含条件：未能发现题目中隐藏的倍数关系或和值信息
5.计算粗心：求出1倍数后，计算几倍数时出现错误
6.多量问题处理不当：三个或以上量的问题中，未能正确选择1倍数
例题讲解
一、基本型和倍问题
例题1：学校图书馆买来科技书和故事书共240本，故事书的本数是科技书的3倍。两种书各买了多少本？
答案：科技书60本，故事书180本
解析：把科技书的本数看作1倍数，则故事书的本数是3倍数，两种书的总本数是4倍数。
科技书的本数（1倍数）：240÷(3+1)=60(本)
故事书的本数（3倍数）：60×3=180(本)或240-60=180(本)
跟踪练习1：小红和小明共有压岁钱800元，小红的钱数是小明的3倍。小红和小明各有压岁钱多少元？
答案：小明200元，小红600元
解析：把小明的钱数看作1倍数，小红的钱数是3倍数，两人总钱数是4倍数。
小明的钱数（1倍数）：800÷(3+1)=200(元)
小红的钱数（3倍数）：200×3=600(元)或800-200=600(元)
二、含多量的和倍问题
例题2：果园里有苹果树、梨树和桃树共360棵，其中梨树是苹果树的2倍，桃树是苹果树的3倍。三种树各有多少棵？
答案：苹果树60棵，梨树120棵，桃树180棵
解析：把苹果树的棵数看作1倍数，梨树是2倍数，桃树是3倍数，三种树总棵数是6倍数。
苹果树的棵数（1倍数）：360÷(1+2+3)=60(棵)
梨树的棵数（2倍数）：60×2=120(棵)
桃树的棵数（3倍数）：60×3=180(棵)
跟踪练习2：甲、乙、丙三个数的和是180，甲数是乙数的2倍，丙数是乙数的3倍。甲、乙、丙三个数各是多少？
答案：甲数60，乙数30，丙数90
解析：把乙数看作1倍数，甲数是2倍数，丙数是3倍数，三个数总和是6倍数。
乙数（1倍数）：180÷(1+2+3)=30
甲数（2倍数）：30×2=60
丙数（3倍数）：30×3=90
三、含差量的和倍问题
例题3：学校将360本图书分给二、三年级，已知三年级所得本数比二年级的2倍还多60本。二、三年级各得图书多少本？
答案：二年级100本，三年级260本
解析：先去掉三年级多的60本，使三年级本数正好是二年级的2倍。
调整后的总和：360-60=300(本)
二年级本数（1倍数）：300÷(2+1)=100(本)
三年级本数：100×2+60=260(本)或360-100=260(本)
跟踪练习3：两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐的2倍少30千克。两筐水果各重多少千克？
答案：第一筐90千克，第二筐60千克
解析：先给第一筐加上30千克，使第一筐正好是第二筐的2倍。
调整后的总和：150+30=180(千克)
第二筐重量（1倍数）：180÷(2+1)=60(千克)
第一筐重量：60×2-30=90(千克)或150-60=90(千克)
四、隐藏和的和倍问题
例题4：甲桶有油25千克，乙桶有油17千克，从乙桶倒入多少千克油给甲桶后，甲桶油的重量是乙桶的5倍？
答案：从乙桶倒入10千克油给甲桶
解析：无论如何倒油，两桶油的总重量不变，先求出总重量。
总重量：25+17=42(千克)
倒油后乙桶油重（1倍数）：42÷(5+1)=7(千克)
需从乙桶倒出的油：17-7=10(千克)
跟踪练习4：小明有邮票30张，小红有邮票15张，小红给小明多少张后，小明的邮票张数是小红的8倍？
答案：小红给小明10张邮票
解析：先求出两人邮票的总张数，这是不变的量。
总张数：30+15=45(张)
小红给邮票后剩余的张数（1倍数）：45÷(8+1)=5(张)
小红需给小明的张数：15-5=10(张)
五、倍数变化的和倍问题
例题5：甲、乙两个粮仓共存粮320吨，后来从甲仓运出40吨，给乙仓运进20吨，这时甲仓存粮是乙仓的2倍。两个粮仓原来各存粮多少吨？
答案：甲仓原来存粮240吨，乙仓原来存粮80吨
解析：先求出变化后的存粮总量和倍数关系，再求变化后的存粮，最后还原。
变化后的存粮总量：320-40+20=300(吨)
变化后乙仓存粮（1倍数）：300÷(2+1)=100(吨)
乙仓原来存粮：100-20=80(吨)
甲仓原来存粮：320-80=240(吨)
跟踪练习5：甲、乙两个书架共有图书450本，从甲书架拿出30本放入乙书架后，甲书架图书本数是乙书架的2倍。两个书架原来各有图书多少本？
答案：甲书架原来有330本，乙书架原来有120本
解析：先求出移动图书后两书架的总本数和倍数关系。
移动后总本数：450本（不变）
移动后乙书架图书本数（1倍数）：450÷(2+1)=150(本)
乙书架原来图书本数：150-30=120(本)
甲书架原来图书本数：450-120=330(本)
提升练习
1．学校买来足球和篮球共48个，已知足球的个数是篮球的3倍，足球和篮球各有多少个？
【答案】足球36个，篮球12个
【详解】把篮球个数看作1倍数，足球个数是3倍数，总和是4倍数。
篮球个数（1倍数）：48÷(3+1)=12(个)
足球个数：12×3=36(个)或48-12=36(个)
2．果园里有苹果树和梨树共120棵，苹果树的棵数比梨树的2倍多12棵，两种树各有多少棵？
【答案】梨树36棵，苹果树84棵
【详解】先去掉苹果树多的12棵，使苹果树棵数正好是梨树的2倍。
调整后的总和：120-12=108(棵)
梨树棵数（1倍数）：108÷(2+1)=36(棵)
苹果树棵数：36×2+12=84(棵)或120-36=84(棵)
3．甲、乙、丙三个数的和是105，甲数是乙数的2倍，乙数是丙数的2倍，甲、乙、丙三个数各是多少？
【答案】甲数60，乙数30，丙数15
【详解】把丙数看作1倍数，乙数是2倍数，甲数是4倍数，总和是7倍数。
丙数（1倍数）：105÷(1+2+4)=15
乙数：15×2=30
甲数：30×2=60或15×4=60
4．小明、小红、小刚三人共有故事书60本，小明的故事书是小红的2倍，小刚的故事书是小红的3倍，三人各有故事书多少本？
【答案】小红10本，小明20本，小刚30本
【详解】把小红的故事书本数看作1倍数，小明是2倍数，小刚是3倍数。
小红的本数（1倍数）：60÷(1+2+3)=10(本)
小明的本数：10×2=20(本)
小刚的本数：10×3=30(本)
5．甲桶有油45千克，乙桶有油24千克，从甲桶倒多少千克油到乙桶后，乙桶油的重量是甲桶的2倍？
【答案】从甲桶倒22千克油到乙桶
【详解】先求出总油量，这是不变的量。
总油量：45+24=69(千克)
倒油后甲桶油量（1倍数）：69÷(2+1)=23(千克)
需从甲桶倒出的油量：45-23=22(千克)
6．甲、乙两个数的和是165，把乙数的小数点向右移动一位后就正好等于甲数，甲、乙两个数各是多少？
【答案】甲数150，乙数15
【详解】乙数的小数点向右移动一位等于甲数，说明甲数是乙数的10倍。
乙数（1倍数）：165÷(10+1)=15
甲数：15×10=150
7．学校体育室有足球、篮球和排球共120个，其中篮球的个数是足球的2倍，排球的个数是篮球的3倍，三种球各有多少个？
【答案】足球12个，篮球24个，排球72个
【详解】把足球个数看作1倍数，篮球是2倍数，排球是6倍数。
足球个数（1倍数）：120÷(1+2+6)=12(个)
篮球个数：12×2=24(个)
排球个数：24×3=72(个)
8．果园里苹果树比梨树多240棵，苹果树的棵数是梨树的5倍，苹果树和梨树各有多少棵？
【答案】梨树60棵，苹果树300棵
【详解】这是一道差倍问题，也可看作和倍问题的变形。
梨树棵数（1倍数）：240÷(5-1)=60(棵)
苹果树棵数：60×5=300(棵)或60+240=300(棵)
9．甲、乙两筐苹果共有100个，如果从甲筐取出12个放到乙筐，这时甲筐的苹果还比乙筐多6个，甲、乙两筐原来各有苹果多少个？
【答案】甲筐原来有65个，乙筐原来有35个
【详解】先求出两筐苹果的差，再用和差问题的解法。
甲筐比乙筐多的个数：12×2+6=30(个)
甲筐苹果数：(100+30)÷2=65(个)
乙筐苹果数：100-65=35(个)
10．一个长方形的周长是48厘米，长是宽的3倍，这个长方形的长和宽各是多少厘米？
【答案】长18厘米，宽6厘米
【详解】长方形周长包括两条长和两条宽，先求出长与宽的和。
长与宽的和：48÷2=24(厘米)
宽（1倍数）：24÷(3+1)=6(厘米)
长：6×3=18(厘米)
11．甲、乙两个仓库共存粮400吨，甲仓库运走30吨，乙仓库运进20吨后，甲仓库的存粮是乙仓库的2倍，原来两个仓库各存粮多少吨？
【答案】甲仓库原来存粮270吨，乙仓库原来存粮130吨
【详解】先求出变化后的存粮总量和倍数关系。
变化后的存粮总量：400-30+20=390(吨)
变化后乙仓存粮（1倍数）：390÷(2+1)=130(吨)
乙仓原来存粮：130-20=110(吨)
甲仓原来存粮：400-110=290(吨)
12．三(1)班有学生45人，其中男生人数是女生人数的2倍，这个班男生和女生各有多少人？
【答案】女生15人，男生30人
【详解】把女生人数看作1倍数，男生人数是2倍数。
女生人数（1倍数）：45÷(2+1)=15(人)
男生人数：15×2=30(人)或45-15=30(人)
13．甲、乙两个数的和是120，甲数是乙数的3倍，甲、乙两数各是多少？
【答案】甲数90，乙数30
【详解】把乙数看作1倍数，甲数是3倍数，总和是4倍数。
乙数（1倍数）：120÷(3+1)=30
甲数：30×3=90
14．商店运来苹果、香蕉和橘子共1200千克，其中香蕉的重量是苹果的2倍，橘子的重量是香蕉的3倍，三种水果各运来多少千克？
【答案】苹果120千克，香蕉240千克，橘子720千克
【详解】把苹果重量看作1倍数，香蕉是2倍数，橘子是6倍数。
苹果重量（1倍数）：1200÷(1+2+6)=120(千克)
香蕉重量：120×2=240(千克)
橘子重量：240×3=720(千克)