2026届湖南省益阳市中考数学四模试卷（含答案解析）

这是一份2026届湖南省益阳市中考数学四模试卷（含答案解析），共3页。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，小明为了测量河宽AB，先在BA延长线上取一点D，再在同岸取一点C，测得∠CAD=60°，∠BCA=30°，AC=15 m，那么河AB宽为（ ）
A．15 mB． mC． mD． m
2．有三张正面分别标有数字－2 ，3, 4 的不透明卡片，它们除数字不同外，其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀后， 从中任取一张（不放回），再从剩余的卡片中任取一张， 则两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，沿CE折叠△CDE，点D恰好落在AC的中点F处，若CD＝，则△ACE的面积为（ ）
A．1B．C．2D．2
4．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC=6，则DE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．6
5．若一组数据2，3，4，5，x的平均数与中位数相等，则实数x的值不可能是( )
A．6B．3.5C．2.5D．1
6．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（ ）
A．800sinα米B．800tanα米C．米D．米
7．近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示为（ ）
A．1.8×105B．1.8×104C．0.18×106D．18×104
8．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD=．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
9．如图，等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上，若a∥b，∠1=30°，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．15°C．10°D．20°
10．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A．B．C．2D．2
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．江苏省的面积约为101 600km1，这个数据用科学记数法可表示为_______km1．
12．如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）．则所得扇形AFB（阴影部分）的面积为_____．
13．已知 a、b 是方程 x2﹣2x﹣1＝0 的两个根，则 a2﹣a+b 的值是_______．
14．若a2+3＝2b，则a3﹣2ab+3a＝_____．
15．如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数的图象经过点C，则k的值为 ．
16．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，请根据这组数的规律写出第10个数是______．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）发现
如图1，在有一个“凹角∠A1A2A3”n边形A1A2A3A4……An中（n为大于3的整数），∠A1A2A3＝∠A1+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+……+∠An﹣（n﹣4）×180°．
验证如图2，在有一个“凹角∠ABC”的四边形ABCD中，证明：∠ABC＝∠A+∠C+∠D．证明3，在有一个“凹角∠ABC”的六边形ABCDEF中，证明；∠ABC＝∠A+∠C+∠D+∠E+∠F﹣360°．
延伸如图4，在有两个连续“凹角A1A2A3和∠A2A3A4”的四边形A1A2A3A4……An中（n为大于4的整数），∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠A4+∠A5+∠A6……+∠An﹣（n﹣ ）×180°．
18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于，两点，且点，点在轴正半轴上运动，过点作平行于轴的直线．
（1）求的值和点的坐标；
（2）当时，直线与直线交于点，反比例函数的图象经过点，求反比例函数的解析式；
（3）当时，若直线与直线和（2）反比例函数的图象分别交于点，，当间距离大于等于2时，求的取值范围．
19．（8分）如图所示,在平面直角坐标系xOy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D（4，）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动,同时点Q由点B出发,沿BC边以1cm/s的速度向点C运动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）．
①试求出S与运动时间t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;
②当S取时，在抛物线上是否存在点R,使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由．
（3）在抛物线的对称轴上求点M,使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标．
20．（8分）读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
21．（8分）2018年4月12日上午，新中国历史上最大规模的海上阅兵在南海海域隆重举行，中国人解放军海军多艘战舰、多架战机和1万余名官兵参加了海上阅兵式，已知战舰和战机总数是124，战数的3倍比战机数的2倍少8.问有多少艘战舰和多少架战机参加了此次阅兵.
22．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．
（1）求证：DB=DE；
（2）求证：直线CF为⊙O的切线；
（3）若CF=4，求图中阴影部分的面积．
23．（12分）如图，是的直径，是圆上一点，弦于点，且．过点作的切线，过点作的平行线，两直线交于点，的延长线交的延长线于点．
（1）求证：与相切；
（2）连接，求的值．
24．如图，在平行四边形中，的平分线与边相交于点．
（1）求证；
（2）若点与点重合，请直接写出四边形是哪种特殊的平行四边形．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、A
【解析】
过C作CE⊥AB，
Rt△ACE中，
∵∠CAD=60°，AC=15m，
∴∠ACE=30°，AE=AC=×15=7.5m，CE=AC•cs30°=15×=，
∵∠BAC=30°，∠ACE=30°，
∴∠BCE=60°，
∴BE=CE•tan60°=×=22.5m，
∴AB=BE﹣AE=22.5﹣7.5=15m，
故选A．
【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是构建直角三角形，解直角三角形求出答案．
2、C
【解析】
画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的有2种情况，
∴两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是：.
故选C.
【点睛】运用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
3、B
【解析】
由折叠的性质可得CD=CF=，DE=EF，AC=，由三角形面积公式可求EF的长，即可求△ACE的面积．
【详解】
解：∵点F是AC的中点，
∴AF=CF=AC，
∵将△CDE沿CE折叠到△CFE，
∴CD=CF=，DE=EF，
∴AC=，
在Rt△ACD中，AD==1．
∵S△ADC=S△AEC+S△CDE，
∴×AD×CD=×AC×EF+×CD×DE
∴1×=EF+DE，
∴DE=EF=1，
∴S△AEC=××1=．
故选B．
本题考查了翻折变换，勾股定理，熟练运用三角形面积公式求得DE=EF=1是解决本题的关键．
4、B
【解析】
根据三角形的中位线等于第三边的一半进行计算即可．
【详解】
∵D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵BC=6，
∴DE=BC=1．
故选B．
本题考查了三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
5、C
【解析】
因为中位数的值与大小排列顺序有关，而此题中x的大小位置未定，故应该分类讨论x所处的所有位置情况：从小到大（或从大到小）排列在中间；结尾；开始的位置．
【详解】
（1）将这组数据从小到大的顺序排列为2，3，4，5，x，
处于中间位置的数是4，
∴中位数是4，
平均数为（2+3+4+5+x）÷5，
∴4=（2+3+4+5+x）÷5，
解得x=6；符合排列顺序；
（2）将这组数据从小到大的顺序排列后2，3，4，x，5，
中位数是4，
此时平均数是（2+3+4+5+x）÷5=4，
解得x=6，不符合排列顺序；
（3）将这组数据从小到大的顺序排列后2，3，x，4，5，
中位数是x，
平均数（2+3+4+5+x）÷5=x，
解得x=3.5，符合排列顺序；
（4）将这组数据从小到大的顺序排列后2，x，3，4，5，
中位数是3，
平均数（2+3+4+5+x）÷5=3，
解得x=1，不符合排列顺序；
（5）将这组数据从小到大的顺序排列后x，2，3，4，5，
中位数是3，
平均数（2+3+4+5+x）÷5=3，
解得x=1，符合排列顺序；
∴x的值为6、3.5或1．
故选C．
考查了确定一组数据的中位数，涉及到分类讨论思想，较难，要明确中位数的值与大小排列顺序有关，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而解答不完整．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
6、D
【解析】
【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题.
【详解】在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，
∴tanα=，
∴AB=，
故选D．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.
7、A
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
180000=1.8×105，
故选A．
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8、A
【解析】
①正确．只要证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可；
②正确．由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出=，由AE=AD=BC，推出=，即CF=2AF；
③正确．只要证明DM垂直平分CF，即可证明；
④正确．设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，有 =，即b=a，可得tan∠CAD===．
【详解】
如图，过D作DM∥BE交AC于N．
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，∴∠EAC=∠ACB．
∵BE⊥AC于点F，∴∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴=．
∵AE=AD=BC，∴=，∴CF=2AF，故②正确；
∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM=DE=BC，∴BM=CM，∴CN=NF．
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DM垂直平分CF，∴DF=DC，故③正确；
设AE=a，AB=b，则AD=2a，由△BAE∽△ADC，有 =，即b=a，∴tan∠CAD===．故④正确．
故选A．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．
9、B
【解析】
分析：由等腰直角三角形的性质和平行线的性质求出∠ACD=60°，即可得出∠2的度数．
详解：如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴∠1+∠BAC=30°+90°=120°，
∵a∥b，
∴∠ACD=180°-120°=60°，
∴∠2=∠ACD-∠ACB=60°-45°=15°；
故选B．
点睛：本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，由平行线的性质求出∠ACD的度数是解决问题的关键．
10、D
【解析】
【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【详解】过A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1，AD=BD=，
∴△ABC的面积为BC•AD==，
S扇形BAC==，
∴莱洛三角形的面积S=3×﹣2×=2π﹣2，
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、1.016×105
【解析】
科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂,
【详解】
解：101 600=1.016×105
故答案为：1.016×105
本题考查科学计数法，掌握概念正确表示是本题的解题关键.
12、1
【解析】
解：∵正六边形ABCDEF的边长为3，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA=3，
∴弧BAF的长=3×6﹣3﹣3═12，
∴扇形AFB（阴影部分）的面积=×12×3=1．
故答案为1．
本题考查正多边形和圆；扇形面积的计算．
13、1
【解析】
根据一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出a2-2a=1、a+b=2，将其代入a2-a+b中即可求出结论．
【详解】
∵a、b是方程x2-2x-1=0的两个根，
∴a2-2a=1，a+b=2，
∴a2-a+b=a2-2a+（a+b）=1+2=1．
故答案为1．
本题考查根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于-、两根之积等于是解题的关键．
14、1
【解析】
利用提公因式法将多项式分解为a(a2+3)-2ab，将a2+3=2b代入可求出其值．
【详解】
解：∵a2+3=2b，
∴a3-2ab+3a=a(a2+3)-2ab=2ab-2ab=1，
故答案为1．
本题考查了因式分解的应用，利用提公因式法将多项式分解是本题的关键．
15、－6
【解析】
分析：∵菱形的两条对角线的长分别是6和4，
∴A（﹣3，2）.
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，解得k=－6.
【详解】
请在此输入详解！
16、1
【解析】
解：3=2+1；
5=3+2；
8=5+3；
13=8+5；
…
可以发现：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．
则第8个数为13+8=21；
第9个数为21+13=34；
第10个数为34+21=1．
故答案为1．
点睛：此题考查了数字的有规律变化，解答此类题目的关键是要求学生通对题目中给出的图表、数据等认真进行分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题．此类题目难度一般偏大．
三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）见解析；（2）见解析；（3）1．
【解析】
（1）如图2，延长AB交CD于E，可知∠ABC＝∠BEC+∠C，∠BEC＝∠A+∠D，即可解答
（2）如图3，延长AB交CD于G，可知∠ABC＝∠BGC+∠C，即可解答
（3）如图4，延长A2A3交A5A4于C，延长A3A2交A1An于B，可知∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠2+∠A4+∠4，再找出规律即可解答
【详解】
（1）如图2，延长AB交CD于E，
则∠ABC＝∠BEC+∠C，∠BEC＝∠A+∠D，
∴∠ABC＝∠A+∠C+∠D；
（2）如图3，延长AB交CD于G，则∠ABC＝∠BGC+∠C，
∵∠BGC＝180°﹣∠BGC，∠BGD＝3×180°﹣（∠A+∠D+∠E+∠F），
∴∠ABC＝∠A+∠C+∠D+∠E+∠F﹣310°；
（3）如图4，延长A2A3交A5A4于C，延长A3A2交A1An于B，
则∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠2+∠A4+∠4，
∵∠1+∠3＝（n﹣2﹣2）×180°﹣（∠A5+∠A1……+∠An），
而∠2+∠4＝310°﹣（∠1+∠3）＝310°﹣[（n﹣2﹣2）×180°﹣（∠A5+∠A1……+∠An）]，
∴∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠A4+∠A5+∠A1……+∠An﹣（n﹣1）×180°．
故答案为1．
此题考查多边形的内角和外角，，解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质，属于中考常考题型
18、（1），；（2）；的取值范围是：．
【解析】
（1）把代入得出的值，进而得出点坐标；
（2）当时，将代入，进而得出的值，求出点坐标得出反比例函数的解析式；
（3）可得，当向下运动但是不超过轴时，符合要求，进而得出的取值范围．
【详解】
解：（1）∵直线： 经过点，
∴，
∴，
∴；
（2）当时，将代入，
得，，
∴代入得，，
∴；
（3）当时，即，而，
如图，，当向下运动但是不超过轴时，符合要求，
∴的取值范围是：．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
19、（1）抛物线的解析式为：;
（2）①S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1;
②存在.R点的坐标是（3,﹣）;
（3）M的坐标为（1,﹣）．
【解析】
试题分析：（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,求出A、B、D的坐标代入即可;
（2）①由勾股定理即可求出;②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形,求出P、Q的坐标,再分为两种种情况：A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标;
（3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,求出直线BD的解析式,把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标．
试题解析：（1）设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,
∵正方形的边长2,
∴B的坐标（2,﹣2）A点的坐标是（0,﹣2）,
把A（0,﹣2）,B（2,﹣2）,D（4,﹣）代入得：,
解得a=,b=﹣,c=﹣2,
∴抛物线的解析式为：,
答：抛物线的解析式为：;
（2）①由图象知：PB=2﹣2t,BQ=t,
∴S=PQ2=PB2+BQ2,
=（2﹣2t）2+t2,
即S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）．
答：S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t2﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1;
②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形．
∵S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）,
∴当S=时,5t2﹣8t+4=,得20t2﹣32t+11=0,
解得t=,t=（不合题意,舍去）,
此时点P的坐标为（1,﹣2）,Q点的坐标为（2,﹣）,
若R点存在,分情况讨论：
（i）假设R在BQ的右边,如图所示,这时QR=PB,RQ∥PB,
则R的横坐标为3,R的纵坐标为﹣,
即R（3,﹣）,
代入,左右两边相等,
∴这时存在R（3,﹣）满足题意;
（ii）假设R在QB的左边时,这时PR=QB,PR∥QB,
则R（1,﹣）代入,,
左右不相等,∴R不在抛物线上．（1分）
综上所述,存点一点R（3,﹣）满足题意．
答：存在,R点的坐标是（3,﹣）;
（3）如图,M′B=M′A,
∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,
理由是：∵MA=MB,若M不为L与DB的交点,则三点B、M、D构成三角形,
∴|MB|﹣|MD|＜|DB|,
即M到D、A的距离之差为|DB|时,差值最大,
设直线BD的解析式是y=kx+b,把B、D的坐标代入得：,
解得：k=,b=﹣,
∴y=x﹣,
抛物线的对称轴是x=1,
把x=1代入得：y=﹣
∴M的坐标为（1,﹣）;
答：M的坐标为（1,﹣）．
考点：二次函数综合题．
20、周瑜去世的年龄为16岁．
【解析】
设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣1．根据题意建立方程求出其值就可以求出其结论．
【详解】
设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣1．由题意得；
10（x﹣1）+x＝x2，
解得：x1＝5，x2＝6
当x＝5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；
当x＝6时，周瑜年龄为16岁，完全符合题意．
答：周瑜去世的年龄为16岁．
本题是一道数字问题的运用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答中理解而立之年是一个人10岁的年龄是关键．
21、有48艘战舰和76架战机参加了此次阅兵.
【解析】
设有x艘战舰，y架战机参加了此次阅兵，根据题意列出方程组解答即可.
【详解】
设有x艘战舰，y架战机参加了此次阅兵，
根据题意，得，
解这个方程组，得 ，
答：有48艘战舰和76架战机参加了此次阅兵.
此题考查二元一次方程组的应用，关键是根据题意列出等量关系进行解答.
22、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
（1）欲证明DB=DE.，只要证明∠DBE=∠DEB；
（2）欲证明CF是⊙O的切线.，只要证明BC⊥CF即可；
（3）根据S阴影部分S扇形S△OBD计算即可．
【详解】
解：（1）∵E是△ABC的内心，
∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，
∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，
∴∠DBE=∠DEB，
∴DB=DE
(2)连接CD
∵DA平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC，
∴BD=CD，
又∵BD=DF，
∴CD=DB=DF，
∴
∴BC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线
（3）连接OD
∵O、D是BC、BF的中点，CF4， ∴OD2.
∵CF是⊙O的切线，
∴
∴△BOD为等腰直角三角形
∴S阴影部分S扇形S△OBD ．
本题考查数学圆的综合题，考查了圆的切线的证明，扇形的面积公式等，注意切线的证明方法，是高频考点．
23、（1）见解析；（2）
【解析】
（1）连接，，易证为等边三角形，可得，由等腰三角形的性质及角的和差关系可得∠1=30°，由于可得∠DCG=∠CDA=∠60°，即可求出∠OCG=90°，可得与相切；（2）作于点．设，则，．根据两组对边互相平行可证明四边形为平行四边形，由可证四边形为菱形，由（1）得，从而可求出、的值，从而可知的长度，利用锐角三角函数的定义即可求出的值．
【详解】
（1）连接，．
∵是的直径，弦于点，
∴，．
∵，
∴．
∴为等边三角形．
∴，∠DAE=∠EAC=30°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴∠1=∠DCA-∠OCA=30°，
∵，
∴∠DCG=∠CDA=∠60°，
∴∠OCG=∠DCG+∠1=60°+30°=90°，
∴．
∴与相切．
（2）连接EF，作于点．
设，则，．
∵与相切，
∴．
又∵，
∴．
又∵，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴四边形为菱形．
∴，．
由（1）得，
∴，．
∴．
∵在中，，
∴．
本题考查圆的综合问题，涉及切线的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的性质及锐角三角函数，考查学生综合运用知识的能力，熟练掌握相关性质是解题关键.
24、（1）见解析；(2)菱形.
【解析】
（1）根据角平分线的性质可得∠ADE=∠CDE，再由平行线的性质可得AB∥CD,易得AD=AE，从而可证得结论；
（2）若点与点重合，可证得AD=AB，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可作出判断.
【详解】
（1）∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD,AB=CD,AD=BC,AB=CD.
∵∠AED=∠CDE.
∴∠ADE=∠AED.
∴AD=AE.
∴BC=AE.
∵AB=AE+EB.
∴BE+BC=CD.
(2)菱形，理由如下：
由（1）可知，AD=AE,
∵点E与B重合，
∴AD=AB.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴平行四边形ABCD为菱形.
本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握各知识是解题的关键.