2026年六年级下册奥数培优讲义专题23周期问题(知识点梳理+例题讲解+提升练习)(原卷版+解析)

这是一份2026年六年级下册奥数培优讲义专题23周期问题(知识点梳理+例题讲解+提升练习)(原卷版+解析)，文件包含生物试题docx、生物试题答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。
一、基本概念
周期问题是小升初奥数高频考点，指事物按一定规律重复出现的现象。重复出现的固定部分称为“周期”，周期包含的元素个数称为“周期长度”。解决周期问题的核心是找到周期规律，利用周期重复的特性简化计算。
关键要素：
1.周期序列：重复出现的固定内容（如图形、数字、文字等），例：△□○△□○...的周期序列是“△□○”。
2.周期长度：一个周期包含的元素个数，用字母 ( T ) 表示（上例中 ( T=3 )）。
3.总项数：需要研究的元素总个数，用字母 ( N ) 表示（如“求第20个图形”中 ( N=20 )）。
4.余数：总项数除以周期长度的剩余量，用字母 ( r ) 表示（若整除，余数 ( r=0 )，对应周期最后一个元素）。
二、核心公式（必背）
1.求周期数与余数
总项数除以周期长度，商是完整周期数，余数是剩余元素个数（余数为0时对应周期最后一个元素）。
2.求第( N )个元素
若(r=N%T≠0)，第 ( N ) 个元素是周期序列中的第 ( r ) 个元素；
若 ( r = 0 )，第 ( N ) 个元素是周期序列中的第 ( T ) 个元素（即周期最后一个元素）。
3.求某元素出现次数
[出现次数=周期数×该元素在一个周期中的出现次数+余数中该元素的出现次数
文字理解：先算完整周期中该元素出现的总次数，再加上剩余元素中该元素的个数。
三、核心解题方法
1.找周期法（基础）
观察序列特征，确定周期序列和周期长度。关键：从第一个元素开始，找到重复的起点和终点，避免漏看或错判周期（例：“ABACABAC...”的周期是“ABAC”，长度为4，而非“AB”）。
2.定起点法（进阶）
若序列从非第一个元素开始重复（如“XABABAB...”中“X”为非周期部分），需先排除非周期元素，再以周期起点计算总项数（例：求“XABABAB...”第10个元素，需先减1个非周期元素“X”，剩余9项按周期“AB”计算）。
3.余数分析法（核心）
计算总项数除以周期长度的余数，根据余数定位元素位置。注意：余数为0时对应周期最后一个元素，而非第0个元素。
4.分类讨论法（综合）
多个周期叠加时（如“图形周期+数字周期”），分别分析每个周期的规律，再结合问题综合求解。
四、常见题型
1.图形周期型：给出图形重复序列，求第( N )个图形或某图形出现次数（如△□○△□○...）。
2.数字周期型：给出数字数列，求第( N )个数或前( N )个数的和（如1,2,3,1,2,3...）。
3.日期周期型：结合星期、月份等时间规律，求某日期是星期几（如已知2024年1月1日是星期一，求10月1日是星期几）。
4.生活应用周期型：彩灯闪烁、报数游戏、生肖循环等实际场景问题（如“100盏灯按红、黄、蓝、绿顺序闪烁，第73盏灯是什么颜色”）。
例题讲解
一、基础题（找周期+余数分析）
例1：一串图形按“△□○△□○△□○...”排列，第20个图形是什么？
解题步骤：
1.找周期：周期序列是“△□○”，周期长度 ( T=3 )。
2.算余数：总项数(N=20)，(20÷3=6)（周期数）( 2 )（余数），即 ( r=2 )。
3.定位元素：余数为2，对应周期序列中第2个元素“□”。
答案：第20个图形是□。
跟踪练习1：数字序列“1,3,5,1,3,5,1,3,5...”中，第30个数是多少？
答案：5
解析：周期序列“1,3,5”，(T=3)，(30÷3=10)（整除，( r=0 )），对应周期最后一个元素“5”。
二、进阶题（定起点+求和）
例2：数列“2,5,3,2,5,3,2,5,3...”前40个数的和是多少？
解题步骤：
1.找周期：周期序列“2,5,3”，( T=3 )，一个周期的和为 ( 2+5+3=10 )。
2.算周期数与余数：(40÷3=13)（周期数）(1)（余数），即13个完整周期，余1个数。
3.求和：总和 = 完整周期和×周期数 + 余数中数 = ( 10×13 + 2 = 132 )。
答案：前40个数的和是132。
跟踪练习2：图形序列“☆△□☆△□☆△□...”中，前25个图形中“△”出现了多少次？
答案：9次
解析：周期“☆△□”（( T=3)），(25÷3=8)（周期）（余数），每个周期“△”出现1次，余数中无“△”，共 ( 8×1=8 )次？（注意：25=3×8+1，余数1对应“☆”，所以“△”出现8次？此处原解析有误，正确应为8次，跟踪练习答案修正为8次）。
三、挑战题（逆向推理+生活应用）
例3：有一列数按规律排列，已知第1个是“a”，第2个是“b”，之后重复“a,b,c”，第50个数是“c”，求周期长度可能是多少？
解题步骤：
1.确定周期起点：前2个数“a,b”为非周期部分，从第3个数开始进入周期“a,b,c”，即周期起点为第3个数，此时剩余项数为 ( 50 - 2 = 48 )（项）。
2.逆向分析余数：第50个数是周期中的第 ( r ) 个元素，且为“c”（周期“a,b,c”中第3个元素），则 ( r=3 )。设周期长度为 ( T )，则 ( 48 \div T = k )（周期数）( 3 )（余数），即 ( 48 = kT + 3 )，( kT=45 )。
3.求可能的( T )：( T ) 需大于余数3，且为45的因数，可能的 ( T=5,9,15,45 )（验证：若 ( T=5 )，周期“a,b,c,x,y”，第3个数起“a,b,c,x,y,a,b,c...”，第50个数：48÷5=，第3个元素“c”，符合题意）。
答案：周期长度可能是5,9,15,45。
例4（生活应用）：2024年1月1日是星期一，2024年10月1日是星期几？（2024年是闰年，2月有29天）
解题步骤：
1.计算总天数：1月（31天）+2月（29天）+3月（31天）+4月（30天）+5月（31天）+6月（30天）+7月（31天）+8月（31天）+9月（30天）= 31+29=60，+31=91，+30=121，+31=152，+30=182，+31=213，+31=244，+30=274（天），即从1月1日到10月1日共274天。
2.确定周期：星期周期为7（周一到周日），周期序列“一、二、三、四、五、六、日”，( T=7 )。
3.算余数：( 274 \div 7 = 39 )（周期）（余数），余数1对应周期第1个元素“星期一”。
答案：2024年10月1日是星期一。
跟踪练习3：小明按“红、黄、蓝、绿”顺序穿珠子，共穿了50颗，其中红珠子有多少颗？
答案：13颗
解析：周期“红、黄、蓝、绿”（( T=4 )），(50÷4=12)（周期）（余数），每个周期红珠子1颗，余数中第1颗是红珠子，共 ( 12×1 + 1 = 13 )颗。
提升练习
1．某个早晨,容器中有200个细菌,白天有光照,容器中的细菌将减少65个,夜间无光照,容器中的细菌将增加40个.则在第几个白天,容器中的细菌全部死亡？
2．按下面的摆法，摆一百个三角形，请问第100个三角形是什么颜色的？在这100个三角形中有多少个白色的三角形？
△△△▲▲▲△△△▲▲▲△△△▲▲▲……
3．流水线上给小木球涂色的次序是：先5个红、再4个黄、再3个绿、在2个黑、再1个白，然后又依次是5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此继续涂下去，到第2003个小球该涂什么颜色？
4．甲、乙、丙、丁四位医生依次每天轮流到农村卫生所义诊.甲第30次义诊是星期三，那么当丙首次在周日义诊时，丁医生已经下乡义诊几次了？
5．8个队员围成一圈做传球游戏，从⑴号开始，按顺时针方向向下一个人传球．在传球的同时，按顺序报数．当报到72时，球在几号队员手上？
6．桌子上摆了很多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元的次序排列，一共19枚硬币．问：最后一个是多少钱的？第十四个是多少钱的？
7．1999名学生从前往后排成一列，按下面的规则报数：如果某个同学报的数是一位数，后面的同学就要报出这个数与9的和；如果某个同学报的数是两位数，后面的同学就要报出这个数的个位数与6的和．现在让第一个同学报l，那么最后一个同学报的数是多少?
8．某条道路上，每隔900米有一个红绿灯。所有的红绿灯都按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的时间周期同时重复变换。一辆汽车通过第一个红绿灯后，以怎样的速度行驶，可以在所有的红绿灯路口都遇到绿灯？
9．有一串数：1，1，2，3，5，8，…从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个数是5的倍数？
10．甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次操作由糖多的人给糖少的人一些糖，使其糖数增加1倍；经过2005次这样的操作以后，甲有10块糖，乙有8块糖，请问：两个人原来分别有多少块糖？
11．节日的街上挂起了长长的一排彩灯，共2013盏．从第一盏开始，按照5盏红灯，4盏黄灯，3盏蓝灯，2盏绿灯不断地排下去．问：
(1)第1982盏灯的颜色是什么？
(2)蓝灯共有多少盏？
12．图13中第一格内放着一个立方体木块，木块的六个面上分别写着A、B、C、D、E、F六个字母，其中A与D，B与E，C与F相对，且A面向上．如果木块沿着图中方格滚动，那么当木块滚到第21格进，木块向上的面是哪个字母？
13．正方形操场四周栽了一圈树，四个角上都栽了树，每两棵树相隔5米．甲、乙从一个角上同时出发，向不同的方向走去（如下图），甲的速度是乙的2倍，甲在拐了两个弯之后的第5棵树与乙相遇（把角上的树看作第一棵树）．操场四周栽了多少棵树？
14．43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同．每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片．画片只有两种，3分一张和5分一张，每个人都尽量多买5分一张的画片．问他们所买的3分画片的总数是多少张？
15．在一条长100米的甬路两侧，从头到尾每隔2米栽一棵树，按2棵杨树，1棵柳树的规律栽，杨树，柳树各占植树总棵树的几分之几？
16．有、、三个蜂鸣器，每次持续鸣叫的时间比例是．每个蜂鸣器每次鸣叫完后停秒钟又开始鸣叫．最初三个蜂鸣器同时开始鸣叫，分钟后第二次同时开始鸣叫，此时蜂鸣器已是第次鸣叫了．问：最初同时开始鸣叫后的多少秒与第一次同时结束鸣叫？
17．紧接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如，，在9后面写2，，在2后面写8……得到一串数字：19892868…，问：这串数字从1开始，往右数，第l999个数字是几？这1999个数字的和是多少？
18．已知某月中，星期二的天数比星期三的天数多，而星期一的天数比星期日的天数多，那么这个月的5号是星期几？
19．如下图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是1米，A、B、C三点周围的阴影部分是圆形的水洼．一只小鸟飞来飞去，四处觅食，它最初停留在0号位，过了一会儿，它跃过水洼，飞到关于A点对称的1号位；不久，它又飞到关于B点对称的2号位；接着，它飞到关于C点对称的3号位，再飞到关于A点对称的4号位，……，如此继续，一直对称地飞下去．由此推断，2004号位和0号位之间的距离是多少米？
20．如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组，例如，第一组是“我，”，第二组是“们，”……
⑴写出第62组是什么？
⑵如果“爱，”代表1991年，那么“科，”代表1992年……问2008年对应怎样的组？
我
们
爱
科
学
我
们
爱
科
学
我
……
……