2026年六年级下册奥数培优讲义专题32复杂和倍差问题(知识点梳理+例题讲解+提升练习)(原卷版+解析)

这是一份2026年六年级下册奥数培优讲义专题32复杂和倍差问题(知识点梳理+例题讲解+提升练习)(原卷版+解析)，文件包含生物试题docx、生物试题答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。
一、基本概念
和差倍问题是小升初奥数中经典的应用题类型，核心围绕“和”“差”“倍数”三个量之间的关系展开，主要分为基础和差问题、和倍问题、差倍问题，以及复杂和差倍问题（涉及多个对象、变量变化、隐藏条件等）。
1.和差问题：已知两个数的和与差，求这两个数的问题。
关键要素：两数之和（用字母 ( S ) 表示）、两数之差（用字母 ( D ) 表示）、大数（较大的数，用 ( A ) 表示）、小数（较小的数，用 ( B ) 表示）。
2.和倍问题：已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数的问题。
关键要素：两数之和（( S )）、倍数（( k )，大数是小数的 ( k ) 倍）、小数（1倍量，用 ( B ) 表示）、大数（(A=k×B)）。
3.差倍问题：已知两个数的差与它们之间的倍数关系，求这两个数的问题。
关键要素：两数之差（( D )）、倍数（( k )，大数是小数的 ( k ) 倍）、小数（1倍量，用 ( B ) 表示）、大数（(A=k×B)）。
4.复杂和差倍问题：在基础题型上增加难度，包括：
多个对象（三个及以上数量的和差倍关系）；
变量变化（如“给来给去”后数量或倍数变化）；
隐藏条件（和、差、倍数关系不直接给出，需通过转化得到）。
二、核心公式（必背）
1.和差问题公式
大数(A=(S+D)÷2)
小数(B=(S−D)÷2)
2.和倍问题公式
小数(B=S÷(k+1))
大数(A=B×k)
3.差倍问题公式
小数(B=D÷(k−1))
大数(A=B×k)
4.复杂问题辅助公式
多个对象和倍：若三个数 ( A、B、C ) 中，( A = mB )，( B = nC )，则总和 ( S = C + nC + mnC = C(1 + n + mn) )，可先求最小量 ( C )；
变量变化时，抓住“不变量”（如和不变、差不变）：若甲给乙 ( x ) 后，甲、乙数量变化，但总和 ( A + B ) 不变；年龄问题中，年龄差不变。
三、核心解题方法
1.线段图法（基础）：用线段表示数量关系，直观呈现“1倍量”“倍数”“和/差”，是解决和差倍问题的“万能工具”。
步骤：① 确定“1倍量”（通常设较小数为1倍量）；② 用线段表示各数量（1倍量画1段，倍数对应画几段）；③ 根据和或差标注线段总长或长度差；④ 结合公式计算。
2.公式法（直接应用）：针对基础和差、和倍、差倍问题，直接套用核心公式，关键是准确识别“和”“差”“倍数”。
3.方程法（进阶）：设未知数表示数量关系，通过列方程求解，适用于复杂变量变化或隐藏条件问题。
步骤：① 设1倍量为 ( x )；② 用含 ( x ) 的式子表示其他量；③ 根据“和”“差”或“倍数关系”列方程；④ 解方程并验证。
4.不变量分析法（复杂问题）：当数量发生变化时，先确定不变的量（如和不变、差不变），以不变量为突破口建立等式。
和不变：如“甲给乙5个后，两人数量相等”，此时总和不变；
差不变：如年龄问题中，“今年爸爸比儿子大25岁，10年后仍大25岁”。
四、常见题型
1.基础型：直接给出和、差、倍数中的两个条件，如“两数和是50，差是10，求两数”“甲是乙的3倍，和是40，求甲乙”。
2.进阶型：
多个对象：三个数的和倍（如“甲乙丙和是120，甲是乙的2倍，乙是丙的3倍”）；
变量变化：给来给去后倍数变化（如“甲有30个苹果，乙有10个，甲给乙多少个后，甲是乙的2倍”）。
3.综合型：结合生活场景或其他知识点，如年龄问题（年龄差不变的差倍）、行程问题（路程和/差与速度倍数）、鸡兔同笼变式（头和脚差的倍数关系）。
例题讲解
一、基础题（和差、和倍、差倍问题）
例1（和差问题）：甲乙两数的和是86，差是12，求甲乙两数各是多少？
解题步骤：
1.确定类型：和差问题（已知和 ( S=86 )，差 ( D=12 )）。
2.画线段图：设乙数为小数，线段长度为 ( B )，甲数为大数，线段比乙数长12，总长86。
3.套用公式：
大数（甲）(=(86+12)÷2=98÷2=49)
小数（乙）(=(86−12)÷2=74÷2=37)
答案：甲数是49，乙数是37。
跟踪练习1：小明和小红共有50颗糖，小明比小红多8颗，两人各有多少颗？
答案：小明29颗，小红21颗（解析：小明(=(50+8)÷2=29)，小红(=50−29=21)）。
例2（和倍问题）：学校图书馆有故事书和科技书共150本，故事书是科技书的4倍，两种书各有多少本？
解题步骤：
1.确定类型：和倍问题（和 ( S=150 )，倍数 ( k=4 )，科技书为1倍量）。
2.画线段图：科技书1段，故事书4段，总段数 ( 1 + 4 = 5 ) 段，对应150本。
3.套用公式：
科技书（1倍量）(=150÷(4+1)=150÷5=30)（本）
故事书(=30×4=120)（本）
答案：科技书30本，故事书120本。
跟踪练习2：果园里桃树和梨树共240棵，桃树是梨树的3倍，桃树有多少棵？
答案：180棵（解析：梨树(=240÷(3+1)=60)，桃树(=60×3=180)）。
例3（差倍问题）：今年爸爸的年龄比儿子大28岁，且爸爸年龄是儿子的5倍，今年爸爸和儿子各多少岁？
解题步骤：
1.确定类型：差倍问题（差 ( D=28 )，倍数 ( k=5 )，儿子年龄为1倍量）。
2.画线段图：儿子1段，爸爸5段，爸爸比儿子多 ( 5 - 1 = 4 ) 段，对应28岁。
3.套用公式：
儿子年龄（1倍量）(=28÷(5−1)=28÷4=7)（岁）
爸爸年龄(=7×5=35)（岁）
答案：儿子7岁，爸爸35岁。
跟踪练习3：甲桶油比乙桶油多30千克，甲桶油是乙桶油的4倍，乙桶油有多少千克？
答案：10千克（解析：乙桶(=30÷(4−1)=10)）。
二、进阶题（多个对象、变量变化）
例4（多个对象和倍）：甲乙丙三个数的和是180，甲数是乙数的2倍，乙数是丙数的3倍，求甲乙丙各是多少？
解题步骤：
1.确定1倍量：丙数最小，设为1倍量（( C )），则乙数 ( B = 3C )，甲数 ( A = 2B = 6C )。
2.总和关系：( A + B + C = 6C + 3C + C = 10C = 180 )。
3.计算各数：
丙数(C=180÷10=18)
乙数(B=3×18=54)
甲数(A=6×18=108)
答案：甲108，乙54，丙18。
跟踪练习4：三个年级共植树360棵，六年级是五年级的2倍，五年级是四年级的3倍，四年级植树多少棵？
答案：36棵（解析：四年级(=360÷(1+3+6)=36)）。
例5（变量变化和倍）：甲筐有40个苹果，乙筐有20个，从甲筐拿多少个放入乙筐后，乙筐是甲筐的3倍？
解题步骤：
总和 ( 40 + 20 = 60 )（个），变化后甲为1倍量，乙为3倍量，总倍数 ( 1 + 3 = 4 )，甲筐变化后数量(=60÷4=15)（个），需拿 ( 40 - 15 = 25 )（个）。
答案：拿25个。
跟踪练习5：哥哥有20块糖，弟弟有10块糖，弟弟给哥哥多少块后，哥哥的糖是弟弟的4倍？
答案：4块（解析：总和30，5倍量=30，弟弟变化后=6，给10-6=4）。
三、挑战题（隐藏条件、综合应用）
例6（年龄问题中的差倍）：今年妈妈36岁，女儿6岁，几年后妈妈的年龄是女儿的4倍？
解题步骤：
1.抓不变量：年龄差不变，( 36 - 6 = 30 )（岁）。
2.设 ( x ) 年后，女儿年龄为 ( 6 + x )，妈妈年龄为 ( 36 + x )，此时妈妈年龄是女儿的4倍，即 ( 36 + x = 4(6 + x) )。
3.解方程：
( 36 + x = 24 + 4x )
( 3x = 12 )
( x = 4 )
答案：4年后。
例7（隐藏和差倍）：甲乙两筐苹果，甲筐比乙筐多14个，若从甲筐取6个放入乙筐，则乙筐苹果是甲筐的2倍，求原甲乙筐各有多少个？
解题步骤：
1.分析变化后差：甲给乙6个后，甲筐少6，乙筐多6，此时乙比甲多(6×2−14=12−14=−2)（即甲比乙多2个），修正题目：甲比乙多8个，取6个给乙后，乙比甲多 ( 6×2 - 8 = 4 ) 个，此时乙是甲的2倍。
2.设变化后甲筐为 ( x )，乙筐为 ( 2x )，差 ( 2x - x = x = 4 )，则变化后甲=4，乙=8。
3.原甲筐 ( = 4 + 6 = 10 )，原乙筐 ( = 8 - 6 = 2 )（验证：10-2=8，符合甲比乙多8个）。
答案：原甲筐10个，乙筐2个。
提升练习
1．幼儿园准备了许多苹果和梨，苹果的总数是梨的2倍。每个小朋友分得3个苹果和2个梨后，还剩下14个苹果和2个梨。原来一共有________个梨。
【答案】22
【分析】假设幼儿园准备的梨的数量跟苹果一样多，则每个小朋友分得的梨的数量和剩余的梨的数量都会变成现在分法的2倍，即每个小朋友分得4个梨后还剩下4个梨。因为剩余的苹果数比梨数多：14－4＝10（个），每个小朋友分到的苹果数比梨数少：4－3＝1（个），据此即可求出小朋友的人数为：10÷1＝10（人）。最后再用小朋友的人数×每个小朋友分得2个梨＋剩余2个梨，即可求出原来一共有多少个梨。
【详解】假设幼儿园准备的梨的数量跟苹果一样多，
小朋友的人数：（14－2×2）÷（2×2－3）
＝（14－4）÷（4－3）
＝10÷1
＝10（人）
梨的数量：10×2＋2
＝20＋2
＝22（个）
因此原来一共有22个梨。
2．把的分子加上a，分母减去a，分数的值就变为，则__________。
【答案】
5
【分析】分子加上a，分母减去a，分子分母的和不变，可以求出和为45。再根据最后的分数值为，可以将所得的和45按2比3进行分配，可得分子为18，减去原来的分子即可求出答案。
【详解】13＋32＝45
45÷（2＋3）×2＝18
18-13＝5
3．某副食店有一筐苹果，第一次卖出苹果的千克数是剩下苹果千克数的3倍多4千克，后来又卖出5千克苹果，使卖出苹果的千克数是剩下苹果千克数的6倍。则这筐苹果原来有________千克。
【答案】56
【分析】设原来苹果总重量为千克。第一次卖出后剩下的苹果为千克，则第一次卖出千克，总重量。
第二次卖出5千克后，总卖出量为，剩下的为。根据题意，总卖出量是剩下的6倍，列方程，解得，代入得。
【详解】解：设原来苹果总重量为千克，第一次卖出后剩下的苹果为千克。
则这筐苹果原来有56千克。
4．某校四年级、五年级和六年级共126人参加“枫叶新希望杯”数学夏令营，如果四年级增加2人，五年级增加5人，六年级减少7人，那么六年级人数是四年级人数的2倍，五年级人数是四年级人数的3倍。增加人数前，该校五年级共有______人参加“枫叶新希望杯”数学夏令营。
【答案】58
【分析】根据增加或减少人数后的等量关系，设四年级的人数为x人，则可以表示出五六年级的人数，再利用总共126人，即可建立方程解答。
【详解】解：设四年级原有x人。
五年级原有人数：3×（x＋2）－5＝（3x＋1）人
六年级原有人数：2×（x＋2）＋7＝（2x＋11）人
x＋3x＋1＋2x＋11＝126
x＋3x＋2x＝126－1－11
6x＝114
x＝19
五年级：19×3＋1＝58（人）
所以该校五年级共有58人参加“枫叶新希望杯”数学夏令营。
5．小红和小明都爱画画，两人各有若干支水彩笔。如果小红给小明8枝，小明的水彩笔是小红的3倍。如果小明给小红8枝，则两人的水彩笔一样多。小红原来有( )支水彩笔？
【答案】24
【分析】根据小明给小红8枝，则两人的水彩笔一样多，可知小明原来的钢笔数比小红多：8×2＝16（枝）。如果小红给小明8枝，则此时小明原来的钢笔数比小红多：16＋8×2＝32（枝），再结合小明的水彩笔是小红的3倍，即可以转换为差倍问题来解决。根据差倍问题公式“较小数＝差÷（倍数－1）”求出小红的数量，最后再加8即可求出小红原来的水彩笔数量。
【详解】差：8×2＋8×2
＝16＋16
＝32（枝）
小红：32÷（3－1）＋8
＝32÷2＋8
＝16＋8
＝24（枝）
因此小红原来有24支水彩笔。
6．一个小数，如果把小数部分扩大4倍，加上整数部分就得到5.4；如果把小数部分扩大9倍，加上整数部分就得到8.4，那么这个小数是________。
【答案】3.6
【分析】这个小数的整数部分是不变的，小数部分扩大4倍是5.4，扩大9倍是8.4，前后之间的数值相差3，就是小数部分的5倍是3。这个小数的小数部分是0.6。整数部分＝后来得到的数－小数部分×4。最后将小数部分和整数部分合在一起就是这个小数。
【详解】8.4－5.4＝3
3÷（9－4）
＝3÷5
＝0.6
5.4－0.6×4
＝5.4－2.4
＝3
3＋0.6＝3.6
则这个小数是3.6。
7．师傅和徒弟每小时加工的零件数保持不变，师傅2小时加工的零件数是徒弟4小时加工的数量，而两人合作10小时一共可以加工120个零件，师徒两人每小时各加工零件多少个？
【答案】8个；4个
【分析】根据师傅2小时加工的零件数是徒弟4小时加工的数量得出师傅每小时价格的零件是徒弟的2倍。两个人合作10个小时加工了120个，用除法得出两个人合作每小时加工的零件为12个。即徒弟每小时做1份的零件，师傅做2份零件，合作3份的零件是12个，每一份零件是4个，则徒弟每小时加工的零件是4个，师傅每小时做的零件数＝徒弟每小时的零件数×2即可。
【详解】120÷10＝12（个）
12÷（2＋1）
＝12÷3
＝4（个）
4×2＝8（个）
答：师傅每小时加工8个零件，徒弟每小时加工4个零件。
8．粮站购进大米和面粉各若干，如果大米增加 60 吨，面粉减少 45 吨，则大米和面粉一样多；如果再购进面粉 35 吨．面粉刚好是大米的 3 倍。原有大米和面粉各多少吨？
【答案】70吨 175吨
【详解】大米:（60+45+35）÷（3-1）=70（吨）
面粉:70+60+45=175（吨）
答：原来有大米70吨，面粉175吨。
9．甲油库存油112吨，乙油库存油80吨，每天从两个油库各运走8吨油，多少天后甲油库剩下的油是乙油库剩下油的2倍？
【答案】6天
【详解】若干天后，乙油库存油：（112-80）÷（2-1）=32（吨）
天数：（80-32）÷8
=48÷8
=6（天）
答：6天后甲油库剩下的油是乙油库剩下油的2倍.
10．某车间男工人数是女工人数的2倍，若调走21个男工，那么女工人数是男工人数的2倍．这个车间的女工有多少人？
【答案】14人
【详解】解：设原来车间女工人数为x人，男工人数为2x人
2（2x-21）=x
解得，x=14
答：这个车间的女工有14人．
11．今天食堂买回四种菜，包菜和花菜共53千克，花菜和白菜共40千克，白菜和菠菜共28千克，包菜和菠菜共多少千克？四种菜共多少千克？
【答案】41千克 81千克
【分析】由包菜和花菜共53千克，白菜和菠菜共28千克，把它们加起来就是这四种菜的总千克数；求出总的千克数去掉花菜与白菜的千克数就可以求出包菜与菠菜的千克数．
【详解】由包菜和花菜共53千克，白菜和菠菜共28千克可知
四种菜共重：53+28=81（千克）
那么由花菜和白菜共40千克可求出，包菜与菠菜共重：81﹣40=41（千克）
12．一个人用140元买了一件外衣、一顶帽子和一双鞋．外衣比帽子贵90元，外衣和帽子共比鞋贵120元．一双鞋多少元？
【答案】10元
【详解】由题意可知外衣和帽子与鞋一共用了140元，外衣和帽子共比鞋贵120元，把外衣和帽子的价钱看成一个整体，根据和差公式可得，
鞋的价钱是：（140﹣120）÷2=10（元）
故答案：10元．
13．一家三口人，父亲与儿子年龄加起来是51岁，母亲与儿子年龄加起来是47岁，父亲、母亲、儿子三人年龄加起来是87岁，问：父亲、母亲、儿子的年龄各是多少？
【答案】父亲40岁；母亲36岁；儿子11岁
【分析】母亲年龄＝父亲、母亲和儿子年龄之和－父亲和儿子年龄之和，据此再结合题干母亲与儿子年龄加起来是47岁，用47减去母亲的年龄，即可得出儿子的年龄。再根据父亲与儿子年龄加起来是51岁，用51减去儿子的年龄，即可得出父亲的年龄。
【详解】母亲：87－51＝36（岁）
儿子：47－36＝11（岁）
父亲：51－11＝40（岁）
答：父亲40岁，母亲36岁，儿子11岁。
14．三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，第一小组比第二小组少2人，求第一小组的人数．
【答案】49人
【详解】先将一、二小组视为整体，记为A组，则A组与第三组的人数之和为180人，A组比第三组多20人，则A组有(180+20)÷2＝100人，第三组有(180－20)÷2＝80人．
而A组为第一、二两个小组人数之和为100人，第一小组比第二小组少2人．
那么第一小组有(100－2)÷2＝49人．
15．某小学有学生975人．全校男生人数是六年级学生人数的4倍少23人，全校女生人数是六年级学生人数的3倍多11人．问全校有男、女生各多少人？
【答案】男生541人 女生434人
【详解】解：设六年级学生人数是“1份”，那么男生是4份-23人，女生是3份+11人，全校是7份-（23-11）人．
每份是（975+12）÷7＝141（人）
男生人数：141×4-23＝541（人）
女生人数：975-541＝434（人）
答：有男生541人、女生434人.
16．有两堆棋子，第一堆有87个，第二堆有69个．那么从第一堆拿多少个棋子到第二堆，就能使第二堆棋子数是第一堆的3倍．
【答案】48个
【详解】两堆棋子共有：87＋69＝156（个）
为了使第二堆棋子数是第一堆的3倍，就要把156个棋子分成1＋3＝4（份），即每份有棋子：156 ÷（1＋3）＝39（个）.
第一堆应留下棋子39个，其余棋子都应拿到第二堆去.因此从第一堆拿到第二堆的棋子数是：87-39＝48（个）
答：应从第一堆拿48个棋子到第二堆去.
17．一群蚂蚁搬家，蚁洞内原来存放着一些食物，第一次运出的比原来的一半少80克，第二次运出的比剩下的一半多50克，第三次运出的比再剩下的一半多20克，这时蚁洞内还剩250克食物，蚁洞内原来有多少克食物？
【答案】2200克
【详解】第二次运出余下：(250＋20)×2＝540(克)，第一次运出余下：
(540＋50)×2＝1180(克)，那么在第一次没运之前有食物(1180－80)×2．即：
[(250＋20)×2＋50]×2－80＝1100(克)
1100×2＝2200(克)
18．一次口算比赛共20道题，做对一道题得5分，做错一道题倒扣5分，不做不得分也不扣分．东东在比赛中每道题都做了，最后考了60分．你知道东东做对了几道题吗？
【答案】(20×5－60)÷(5＋5)＝4(道)
20－4＝16(道)
答：东东做对了16道题．
【详解】略
19．抽干一口井，在无渗水的情况下，用甲抽水机要20分钟，用乙抽水机要30分钟．现因井底渗水，且每分钟渗水量相等，用两台抽水机合抽18分钟正好抽干．如果单独用甲抽水机抽水，多少分钟把水抽干？
【答案】45分钟
【详解】，所以每分钟的渗水量是，甲抽水单独抽完水45分钟．
20．有若干盒卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人至少可以得到7张；如果每人分8张卡片，则还缺少5张．现在把所有卡片都分完，每人分到60张，而且还多出4张．问：共有多少个小朋友？
【答案】11个
【分析】首先由题意，一盒卡片每人分7张则有剩余，每人分8张则少5张，证明总人数多于5个．
如果一共有7盒卡片，则所有人每人要想分到（张）卡片，还缺35张，卡片张数比题中所述要少．
如果一共有9盒卡片，则只要再添上（张）卡片，就能使所有人每人分到（张），人数为，不满足总人数多于5个的要求．
类似地，当卡片总盒数多于9时，都不满足总人数多于5个的要求．
【详解】因此卡片一共有8盒，添上（张）卡片，就能使所有人每人分到（张），所以总人数为：（人）．
(二解)，，说明卡片的盒数是8盒，“若都分8张则还缺少5张”，即如果我们在每盒中加5张（8盒共加40张），每人就可以得到（张），现在实际每人得到60张，即每人需要退出4张，其中要有4张是每人60张后多下来的，还有40张是我们一开始借来的要还出去，即要退出44张，（人），说明有11人．