2026年六年级下册奥数培优讲义专题38牛吃草问题(知识点梳理+例题讲解+提升练习)(原卷版+解析)

这是一份2026年六年级下册奥数培优讲义专题38牛吃草问题(知识点梳理+例题讲解+提升练习)(原卷版+解析)，文件包含生物试题docx、生物试题答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。
一、 基本概念
牛吃草问题是由伟大的科学家牛顿提出的，因此也叫“牛顿问题”。
核心逻辑：这是一个 “在原有存量的基础上，一边消耗（牛吃草），一边生长（草生长）” 的动态过程。
三大核心要素：
1.原有草量：牧场最开始有的草的总量（这是固定的，我们需要求的或利用的）。
2.草的生长速度：每天新长出来的草量（假设匀速生长）。
3.牛的吃草速度：通常假设每头牛每天吃1份草。
关键特征：
变中有不变：虽然草在长，牛在吃，但 “原有草量” 是不变的。
双重变化：草的总量 = 原有草量 + 新长草量 - 牛吃掉的草量。
二、 常见题型分类
1.求时间型：已知牛的数量和草的生长情况，求多少天能把草吃完。
2.求牛数型：已知吃完草的时间，求需要多少头牛。
3.极值型（可持续发展）：求最多放多少头牛，才能保证草永远吃不完（即牛吃的速度 ≤ 草长的速度）。
4.变形问题：如“检票口进人问题”、“水库蓄水/放水问题”、“漏船舀水问题”。
三、 核心公式（必背）
牛吃草问题的本质是 “工程问题” 与 “行程问题（追及问题）” 的结合。
基础公式：
原有草量=牛的数量−每天草的生长量×天数
(解释：牛一边吃，草一边长，实际上牛是在“追”那堆原有的草)
推导公式（用于求草的生长速度）：
草的生长速度=对应时间较长的牛头数×时间较长的天数−对应时间较短的牛头数×时间较短的天数时间较长的天数−时间较短的天数
极值公式：
最多牛数=草的生长速度
(如果牛的数量超过这个数，草迟早会被吃完；等于这个数，草量保持不变；小于这个数，草会越长越多)
四、 解题三大步骤（万能模板）
解决牛吃草问题，只需要按以下三步走：
1.列方程求生长量：
利用两组不同的“牛数”和“天数”数据，列出两个方程，通过相减消去“原有草量”，先求出“每天草的生长量”。
2.代入求原有量：
将求出的“生长量”代入任意一个方程，求出“原有草量”。
3.根据问题求解：
根据题目问的是“天数”、“牛数”还是“极值”，利用公式进行计算。
五、 核心解题方法
1.公式法（基础）：
直接套用上述核心公式，适合标准的牛吃草模型。
2.假设法（进阶）：
假设一部分牛专门吃每天新长的草，剩下的牛去吃原有的草。这种方法在解决“极值型”问题时非常直观。
3.方程法（通用）：
设草的生长速度为 x，原有草量为 y，根据题意列二元一次方程组求解。这是最不容易出错的方法。
例题讲解
一、 基础题（标准模型）
例 1： 一片牧场，草每天都在均匀地生长。如果放牧 24 头牛，则 6 天吃完牧草；如果放牧 21 头牛，则 8 天吃完牧草。那么，如果放牧 16 头牛，多少天可以吃完牧草？
解题步骤：
1.设变量：
设每头牛每天吃 1 份草，草每天生长 x 份。
2.找不变量（原有草量）列方程：
第一种情况：原有草量 = 24×6−6x=144−6x
第二种情况：原有草量 = 21×8−8x=168−8x
因为原有草量不变，所以： 144−6x=168−8x
3.解方程求 x：
8x−6x=168−144
2x=24
x=12
(说明草每天生长 12 份)
4.求原有草量：
代入第一种情况： 144−6×12=144−72=72 (份)
5.求 16 头牛吃完的时间：
设需要 t 天。
原有草量=牛数−每天生长量×天数
72=16−12×t
72=4t
t=18
6.答案：放牧 16 头牛，18 天可以吃完牧草。
跟踪练习 1：
牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长。这片牧场可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天。那么，可供 25 头牛吃多少天？
答案提示：先求草生长速度为 5 份/天，原有草量为 100 份。25 头牛吃 100÷25−5=5 天。
二、 进阶题（极值型）
例 2： 画展 9 点开门，但早有人来排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众一样多。如果开了 3 个入场口，则 9 分钟后就不再有人排队；如果开 5 个入场口，则 5 分钟后就不再有人排队。那么第一个观众到达的时间是几点几分？
(注：这是牛吃草的变形题。“开门”相当于“牛开始吃草”，“排队的人”相当于“草”，“新来的人”相当于“生长的草”，“入场口”相当于“牛”。)
解题步骤：
1.转化模型：
设每个入场口每分钟进 1 人。
设每分钟新来的人数为 x。
设开门前已经排队的人数（原有草量）为 y。
2.列方程：
3 个口 9 分钟： y+9x=3×9=27 ... ①
5 个口 5 分钟： y+5x=5×5=25 ... ②
3.解方程组：
① - ② 得：
y+9x−y+5x=27−25
4x=2
x=0.5
(每分钟来 0.5 个人)
代入 ② 求 y：
y+5×0.5=25
y+2.5=25
y=22.5
(开门前有 22.5 个人在排队)
4.求第一个观众到达时间：
既然每分钟来 0.5 个人，那么要积攒 22.5 个人，需要的时间为：
22.5÷0.5=45分钟
5.答案：画展 9 点开门，往前推 45 分钟，第一个观众到达的时间是 8 点 15 分。
跟踪练习 2：
一片牧场，草每天都在匀速减少（假设冬天）。如果放牧 10 头牛，20 天吃完；如果放牧 15 头牛，10 天吃完。那么如果放牧 25 头牛，几天吃完？（提示：此时草是负增长）
答案提示：设草每天减少 x 份。方程： 10×20+20x=15×10+10x。解得 x=5，原有草量 300。25 头牛吃 300÷25+5=10 天。
三、 挑战题（多人型与复杂逻辑）
例 3： 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 16 头牛吃 6 天。那么，可供 11 头牛吃几天？
解题步骤：
1.调整模型：
这是一个 “草在枯萎” 的问题。公式变为：
原有草量=牛的数量+每天草的减少量×天数
(因为草在减少，相当于牛不仅要吃掉原有的，还要“补上”草减少的量)
2.列方程求减少量：
设每天草减少 x 份。
20×5+5x=16×6+6x (两边都等于原有草量)
100+5x=96+6x
100−96=6x−5x
x=4
3.求原有草量：
代入第一组数据： 20×5+5×4=100+20=120 (份)
4.求 11 头牛的时间：
设吃 t 天。
120=11+4×t
120=15t
t=8
5.答案：可供 11 头牛吃 8 天。
跟踪练习 3：
一个水池安装有排水量都相同的排水管若干根。一根进水管不断地往池里放水，每分钟的水量都相同。如果开放 3 根排水管，45 分钟可以把池中水排完；如果开放 5 根排水管，25 分钟可以把池中水排完。现在开放 8 根排水管，几分钟可以把水排完？
答案提示：这是“进水（草生长）+ 排水（牛吃草）”模型。设进水管每分钟进水 x，一根排水管每分钟排水 1 份。方程： 3×45−45x=5×25−25x。解得 x=1，原有水量 90。8 根管排 90÷8−1≈12.86 分钟。
提升练习
1．4头牛、4匹马和4只羊每天共吃草84千克，6头牛、4匹马和5只羊每天共吃草96千克，7头牛、4匹马和6只羊每天共吃草103千克；1头牛、1匹马和1只羊每天各吃草多少千克？
2．一个牧场上的青草每天都匀速生长，这片青草可供15头牛吃24天，或供20头牛吃14天，现有一群牛吃了6天后卖掉1头，余下的牛又吃了3天将草吃完，这群牛原有多少头？
3．有一片草地，草每天的生长速度不变，可供8只羊吃20天或14只羊吃10天。这片草地原有若干只羊吃了4天后又加入了6只羊，这样又吃了两天便将草吃完，求原有羊多少只？
4．有一片牧场上的草均匀地减少，如果24头牛6天或12头牛10天可以把草吃完，那么牧场上每天减少的草可供几头牛吃一天？
5．一艘轮船行驶在大海上，船长发现船底破了个小洞，发现时船舱中已经进了不少水，水还在不断地涌入船舱内，每分钟涌入的水量相等。如果让5个船员来排水，40分钟可以排完；如果让8个船员来排水，20分钟可排完。现在船长要求12分钟内必须把水排完，需要多少个船员？
6．一个农夫有面积为2公顷、4公顷和6公顷的三块牧场。三块牧场上的草长得一样密，而且长得一样快。农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草；如果农夫将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草。问：若农夫将这8头牛赶到6公顷的牧场，这块牧场可供这些牛吃几天？
7．三块牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是3公顷、10公顷和24公顷。第一块牧场饲养12头牛，可以维持4周；第二块牧场饲养25头牛，可以维持8周。问第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18周？
8．画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队．求第一个观众到达的时间．
9．建筑工地开工前已经运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖。如果派36个工人砌墙，24天可以把砖用完；如果派40个工人砌墙，20天可以把砖用完。现派工人若干名，砌8天后，有5名工人参加表彰大会，其余工人又工作两天，才把场上的砖用完，问原来派多少名工人？
10．一片牧草，每天在匀速生长，现在这片牧草可供120只羊吃20天或36头牛吃15天。如果一头牛吃的草量相当与4只羊的吃草量，那么这片牧场可供40头牛和32只羊吃多少天？
11．春天养殖厂在2004年的夏天严重缺水，需要从离养殖厂2000米处的河里抽水，如果用3台抽水机抽6天水量刚好充足；如果用4台抽水机抽4天水量刚好充足，那么要在2天内把水量抽足，需要多少台抽水机？（途中每天水蒸发量相等）
12．红旗农场有三块草地，面积分别是5、15、36公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供12头牛吃28天，第二块草地可供21头牛吃63天，第三块草地可供36头牛吃多少天？
13．由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少，如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？
14．一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？
15．某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派250个工人砌砖墙，6天可以把砖用完，如果派160个工人，10天可以把砖用完，现在派120名工人砌了10天后，又增加5名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？
16．一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，则30分钟能把一池水排空，如果同时打开进水阀和两个排水阀，则10分钟能把水池的水排空，问关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要几分钟能排空水池的水？
17．一个牧场，草每天匀速生长，每头牛每天吃的草量相同，17头牛30天可以将草吃完，19头牛只需要24天就可以将草吃完，现有一群牛，吃了6天后，卖掉4头牛，余下的牛再吃2天就将草吃完．问没有卖掉4头牛之前，这一群牛共有多少头？
18．12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草．多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？
19．快、中、慢三车同时从地出发沿同一公路开往 地，途中有骑车人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑车人。已知快车每分钟行800米，慢车每分钟行600米，中速车的速度是多少？
20．北京密云水库建有个泄洪洞，现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在以一个不变的速度增加，为了防洪，需要调节泄洪的速度，假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，个小时以后水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，个小时后水位降至安全线。根据抗洪形势，需要用个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为多少个？
21．画展8：30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点就不再有人排队；如果开5个入场口，8点45分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。
22．有一个蓄水池，池中已经有一些水，一个进水管不断向池内匀速进水．如果打开10个相同的出水管放水，3小时放完；如果打开5个相同的出水管放水，8小时放完．如果要求在2小时放完，要安排多少个相同的出水管？