2026年六年级下册奥数培优讲义专题39盈亏问题(知识点梳理+例题讲解+提升练习)(原卷版+解析)

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一、基本概念
盈亏问题是把一定数量的物品平均分给一定数量的人，由于分配标准（每人分得的数量）不同，导致结果出现“盈”（物品有剩余）或“亏”（物品不够分）的一类应用题。
核心逻辑：通过两次不同分配方式下的“盈”“亏”情况，反向推求分配对象的数量（如人数、份数等）和被分配物品的总量。
四大核心要素：
1.分配对象数量：参与分配的人或单位数量（固定不变，通常为未知数）。
2.被分配物品总量：需要分配的物品总数量（固定不变，通常为未知数）。
3.分配标准：每人（或每单位）分得的物品数量（两次分配中不同，为已知条件）。
4.盈亏数：第一次分配的剩余量（盈）或第二次分配的缺少量（亏）（已知条件）。
关键特征：无论分配标准如何变化，“分配对象数量”和“被分配物品总量”始终不变，这是解题的核心突破口。
二、常见题型分类
根据两次分配的盈亏情况，可分为以下五大基本类型及变形问题：
1.一盈一亏型：第一次分配有剩余（盈），第二次分配不够分（亏）。
例：每人分5个苹果，多10个；每人分8个苹果，少2个。
2.两盈型：两次分配均有剩余，且剩余量不同（大盈、小盈）。
例：每人分3本练习本，多20本；每人分5本练习本，多4本。
3.两亏型：两次分配均不够分，且缺少量不同（大亏、小亏）。
例：每人分6块糖，少15块；每人分8块糖，少35块。
4.一盈一尽型：第一次分配有剩余（盈），第二次分配刚好分完（尽）。
例：每人分4支笔，多12支；每人分6支笔，刚好分完。
5.一亏一尽型：第一次分配不够分（亏），第二次分配刚好分完（尽）。
例：每人分7个橘子，少21个；每人分5个橘子，刚好分完。
变形问题：分配对象或物品数量有额外变化，如“部分人分不到”“物品有损耗/补充”等，需转化为基本类型求解。
三、核心公式（必背）
所有盈亏问题的本质是通过两次分配的“差异”求不变量，核心公式基于“分配对象数量=两次分配的总差异÷两次分配标准的差”推导而来：
公式说明：“两次分配标准的差”指第二次分配标准与第一次分配标准的差（若第二次标准大于第一次，差为正数；反之则为负数，计算时取绝对值）。
四、解题三大步骤（万能模板）
1.判断题型：根据题目中两次分配的盈亏情况，确定属于“一盈一亏”“两盈”“两亏”等类型。
2.求分配对象数量：套用对应题型的公式，计算出参与分配的对象数量（如人数、份数）。
3.求物品总量或解决问题：将分配对象数量代入任意一次分配中，求出物品总量；若题目有其他问题（如调整分配标准后是否盈亏），需进一步计算。
五、核心解题方法
1.公式法（基础）：直接套用核心公式，适合标准的基本题型，快速高效。
2.方程法（通用）：设分配对象数量为未知数，根据“物品总量不变”列方程求解，适用于所有题型，尤其适合复杂变形题。
3.图示法（辅助）：通过画线段图表示两次分配的“盈”“亏”关系，直观理解数量差异，适合基础薄弱或抽象思维较弱的学生。
例题讲解
一、基础题（一盈一亏型）
例1：老师给学生分糖果，若每人分5颗，则多10颗；若每人分8颗，则少2颗。求有多少名学生？共有多少颗糖果？
解题步骤：
1.判断题型：第一次“多10颗”（盈），第二次“少2颗”（亏），属于“一盈一亏型”。
2.求分配对象数量（学生人数）：
两次分配标准的差=8-5=3（颗/人），盈数+亏数=10+2=12（颗）。
根据公式：学生人数=（盈数+亏数）÷两次分配标准的差=12÷3=4（名）。
3.求物品总量（糖果总数）：
代入第一次分配：糖果总数=5×4+10=30（颗）；
验证第二次分配：8×4-2=30（颗），结果一致。
4.答案：有4名学生，共有30颗糖果。
跟踪练习1：小朋友分橘子，每人分3个，多16个；每人分5个，少4个。求小朋友人数和橘子总数。
答案提示：一盈一亏型，人数=（16+4）÷（5-3）=10（人），橘子总数=3×10+16=46（个）。
二、进阶题（两盈型与两亏型）
例2：学校给班级发练习本，若每班分20本，则多120本；若每班分25本，则多20本。求有多少个班级？共发多少本练习本？
解题步骤：
1.判断题型：两次分配均“多”（盈），第一次多120本（大盈），第二次多20本（小盈），属于“两盈型”。
2.求分配对象数量（班级数）：
两次分配标准的差=25-20=5（本/班），大盈-小盈=120-20=100（本）。
根据公式：班级数=（大盈-小盈）÷两次分配标准的差=100÷5=20（个）。
3.求物品总量（练习本总数）：
代入第一次分配：总数=20×20+120=520（本）；
验证第二次分配：25×20+20=520（本），结果一致。
4.答案：有20个班级，共发520本练习本。
例3：某工厂给工人分工具，若每人分4套，则少18套；若每人分3套，则少6套。求有多少名工人？共需多少套工具？
解题步骤：
1.判断题型：两次分配均“少”（亏），第一次少18套（大亏），第二次少6套（小亏），属于“两亏型”。
2.求分配对象数量（工人数）：
两次分配标准的差=4-3=1（套/人），大亏-小亏=18-6=12（套）。
根据公式：工人数=（大亏-小亏）÷两次分配标准的差=12÷1=12（名）。
3.求物品总量（工具总数）：
代入第一次分配：总数=4×12-18=30（套）；
验证第二次分配：3×12-6=30（套），结果一致。
4.答案：有12名工人，共需30套工具。
跟踪练习2：学生植树，每人植5棵，少30棵；每人植3棵，少6棵。求学生人数和需植树总数。
答案提示：两亏型，人数=（30-6）÷（5-3）=12（人），树总数=5×12-30=30（棵）。
三、挑战题（变形问题）
例4：同学们去划船，若每条船坐4人，则多10人；若每条船坐6人，则有3条船空着（即3条船没人坐）。求有多少条船？多少名同学？
解题步骤：
1.转化题型：“3条船空着”意味着少了3条船的人数，即亏数=6×3=18（人）（因为每条船坐6人，3条船空着说明少18人才能坐满）。此时题目转化为“一盈一亏型”：盈10人，亏18人。
2.求分配对象数量（船数）：
两次分配标准的差=6-4=2（人/船），盈数+亏数=10+18=28（人）。
根据公式：船数=（盈数+亏数）÷两次分配标准的差=28÷2=14（条）。
3.求物品总量（同学人数）：
代入第一次分配：人数=4×14+10=66（名）；
验证第二次分配：6×（14-3）=6×11=66（名），结果一致。
4.答案：有14条船，66名同学。
跟踪练习3：幼儿园分玩具，若每个小朋友分3个，则多35个；若每个小朋友分5个，则有5个小朋友分不到。求小朋友人数和玩具总数。
答案提示：人数=（35+25）÷2=30人，玩具总数=3×30+35=125个）。
提升练习
1．在一次数学比赛之后，YMO老师准备给获奖同学发金币：如果每人分6个，还能剩下8个；如果每人分8个，最后会缺6个。YMO老师共有________个金币。
【答案】50
【分析】本题属于盈亏问题，第一次分配结果是剩下8个，第二次分配结果是缺6个，因此盈亏总额为：8＋6＝14（个），两种分配方案每人分到的差额为：8－6＝2（个），所以再用盈亏总额除以两种分配方案每人分到的差额即可求出人数为：14÷2＝7（人），最后用人数乘6再加上8即可求出金币总数。
【详解】人数：（8＋6）÷（8－6）
＝14÷2
＝7（人）
金币数：6×7＋8
＝42＋8
＝50（个）
因此YMO老师共有50个金币。
2．幼儿园小朋友分饼干，如果每人分5块，则少27块饼干；如果每人分4块，则正好分完。有几个小朋友？有几块饼干？
【答案】27个；108块
【分析】本题可以列方程来解决，设一共有x个小朋友。如果每人分5块，则少27块饼干，由此可知饼干数为（5x－27）块；如果每人分4块，则正好分完，由此可知饼干数为4x块；最后根据饼干数不会发生变化即可列出方程。解方程即可解决。
【详解】解：设一共有x个小朋友。
解得
饼干：（块）
答：一共有27个小朋友，108块饼干。
3．春游期间，老师带领五年级的同学们去公园划船。如果减少一条船，每条船正好坐8人；如果增加一条船，每条船正好坐7人。一共有多少人去划船？
【答案】112人
【分析】根据题意可知，如果每条船坐8人，则缺8人才能坐满，如果每条船坐7人，则还多7人坐不下，两种坐法相差8＋7＝15（人），每条船相差8－7＝1（人），所以15除以1等于船的条数，船的条数减1的差乘8等于一共去划船的人数，据此即可解答。
【详解】（8＋7）÷（8－7）
＝15÷1
＝15（条）
（15－1）×8
＝14×8
＝112（人）
答：一共有112人去划船。
【点睛】把增加一条船或减少一条船坐的人数转化为多出的或缺少的人数是解答本题的关键。
4．某部队安排新兵宿舍。如果每间房住10人，则缺2个房间；如果每间房住12人，则多1个房间。这批新兵共有多少人？
【答案】180人
【分析】如果“每间房住10人，则缺2个房间”，这意味着按照每间10人住的话，还缺10×2＝20人的位置（因为缺2个房间，每个房间住10人）。“如果每间房住12人，则多1个房间”，也就是按照每间12人住的话，会空出12×1＝12人的位置（多1个房间，每个房间住12人）。
从每间住10人变为每间住12人，每间房多住了12−10＝2人。总共的人数变化是20＋12＝32人（前面算出缺2个房间能多住20人，多1个房间空出12人，所以总人数变化是这两部分之和）。那么房间数就是32÷2＝16间（因为每间房多住2人导致总人数变化32人，所以房间数 ＝ 总人数变化量 ÷ 每间房人数变化量）。
按照第一种住法 “每间房住10人，则缺2个房间”，房间数是16间，那么新兵人数为10×（16＋2）＝180人。
【详解】（20＋12）÷2
＝32÷2
＝16（间）
10×（16＋2）
＝10×18
＝180（人）
答：新兵共有180人。
5．服装店的一批服装，如果每套卖120元，就亏本200元；如果每套卖150元，可以赚400元。要做到不亏本也不赚钱，每套服装应卖多少元？
【答案】130元
【分析】如果每套卖120元，就亏本200元；如果每套卖150元，可以赚400元。由此可知总的差额为：200＋400＝600（元），每套的差额为：150－120＝30（元），然后用总的差额除以每套的差额，即可求出这批服装的数量。然后用亏本的200元除以数量，即可求出每套衣服亏本多少元，由此即可求出每套衣服的成本。要做到不亏本也不赚钱，则按成本价出售即可。
【详解】数量：（200＋400）÷（150－120）
＝600÷30
＝20（套）
成本：200÷20＋120
＝10＋120
＝130（元）
答：每套服装应卖130元。
6．体育课上同学们练习打乒乓球。如果全部进行双打，则多了5张乒乓球桌；如果全部进行单打，则有10名同学没有乒乓球桌可用。问：一共有多少张乒乓球桌？
【答案】15张
【分析】如果全部进行双打，则多了5张乒乓球桌，也就是人数少了：5×4＝20（人）；如果全部进行单打，则有10名同学没有乒乓球桌可用，也就是人数多了10人。因此可以知道两次安排的总差额是（20＋10）人，即总差额是30人。每次单打和双打的差额为（4－2）人，即每次差额是2人，因此用总差额÷每次差额即可求出一共有多少张乒乓球桌。
【详解】（5×4＋10）÷（4－2）
＝（20＋10）÷2
＝30÷2
＝15（张）
答：一共有15张乒乓球桌。
7．五年级学生和老师坐车去春游。原定每车坐30人，现决定每车坐50人（未超载），这样可以少用2辆车。那么一共有多少名学生和老师参加这次春游？
【答案】150名
【分析】每车坐50人和每车坐30人，每车相差：50－30＝20（人），每车坐50人时，少用2辆车，这意味着如果车的数量不变，还能多坐50×2＝100人，而每车坐30人时正好坐满，也就是多坐的人数为0人。所以两种坐法在车辆数不变的情况下，可乘坐总人数的差是100人。
每车相差20人，总共就相差100人，所以车的数量为：100÷20＝5（辆），再用原来每车坐的人数乘5即可解答。
【详解】50×2÷（50－30）
＝100÷20
＝5（辆）
30×5＝150（名）
答：一共有150名学生和老师参加这次春游
8．参加团体操的同学排队，如果每行站9人，则多37人；而每行站12人，则少20人，求参加团体操的同学有多少人？
【答案】208人
【分析】两次站队时的总人数和列数是不变的，第二次相比第一次，每列多了3人，总共要多站57人，可先求出列数，再求出总人数。
【详解】
答：参加团体操的同学有208人。
【点睛】对于盈亏问题，不论是“盈亏型”、“盈盈型”还是“亏亏型”，先要分辨出题目中是将什么东西分配给什么，找出“盈”和“亏”，判断具体的类型，选择合适的公式求解。
9．动物园为猴山的猴买来桃，这些桃如果每只猴分5个，还剩32个；如果其中10只小猴分4个，其余的猴分8个，就恰好分完。问猴山有猴多少只？共买来多少个桃？
【答案】24只；152个
【分析】设出猴子的总数，表示出桃子的数量，根据两次分配桃子的数量不变，列方程求解。
【详解】解：设猴山上有x只猴；
答：猴山上有24只猴；共买来152个桃。
【点睛】本题是盈亏问题中较为复杂的类型，第二次分配，大猴和小猴所分到的数量不一样，用算术方法求解不是很方便，可以考虑列方程求解。
10．人民路小学三、四、五年级的同学乘汽车去春游，如果每车坐45人，有10人不能坐车；如果每车多坐5人，又多出一辆汽车。一共有多少辆汽车？有多少名同学去春游？
【答案】12辆；550名
【分析】将人分给车辆，第二次分配，每车坐50人，“多出一辆汽车”可以看成少50人，这样第二次多用了60人，每辆车多坐5人，先求出车的数量，再求总人数。
【详解】
答：一共有12辆汽车；有550名同学去春游。
【点睛】盈亏问题的变形形式，第二次分配少用一辆车，即少了一辆车所能够乘坐的人数。
11．四年级学生搬砖，有12人每人各搬7块，有20人每人各搬5块，这样最后余下148块；如果有30人每人各搬8块，有8人每人搬9块，其余的每人搬10块，这样分配最后余下20块。学生共有多少人？共有砖多少块？
【答案】38人；332块
【分析】可以先根据第一种情况求出砖的数量，再利用第二种情况求出余下的人数，然后求出总人数。
【详解】
＝332（块）
＝0（块）
30＋8＝38（人）
答：学生有38人，共有332块砖。
【点睛】本题看似麻烦，实则简单，直接计算出总数，接下来就变成了一般的应用题，直接求解即可。
12．有一个班的同学去划船，如果增加一只船，正好每只船坐8人；如果减少一条船正好每只船上坐10人。问：这个班级共有多少人？
【答案】80人
【分析】将“增加一条船”看成是多8人，将“减少一条船”看成是少10人，盈和亏已知，直接套公式求解，先求出船的条数，再求出学生数量。
【详解】
答：这个班共有80人。
【点睛】本道题实质上是典型的盈亏问题，并且是最基础的“盈亏型”，但是要合理进行转化。
13．小华从家到学校，他先用每分钟50米的速度走了2分钟。如果这样走下去，他就要迟到8分钟，后来他改用每分钟60米的速度前进，结果早到5分钟。求小华家到学校的路。
【答案】4000
【分析】将前面行走的100米撇开，先求出后面剩余的距离，最后加上100米，对于后面剩余的距离，按50米/分钟的速度要比按60米/分钟的速度多用13分钟，可以假设以60米/分钟的速度走到学校后继续走13分钟，求出路程差，利用路程差、速度差求出时间，进而求路程。
【详解】
答：小华家到学校距离是4000米。
【点睛】本题也可以考虑列方程求解，设出小华离家时距离上课所剩余的时间，根据两种情况的路程相等列方程求解。
14．测量水面到桥的高度，把绳对折后垂到水面余 6m，把绳三折后垂到水面余 1m，求桥的高度和绳长。
【答案】桥高9米 绳长30米
【详解】2折,绳子多出6×2=12（米）
3折,绳子多出1×3=3（米）
桥高：（12-3）÷（3-2）=9（米）
绳长：（9+6）×2=30（米）
答：桥高9米，绳长30米。
15．一堆桃子分给一群猴子，如果每只猴子分 10 个桃子，则有 3 只猴子没有分到；如果每只猴子分 8个桃子，刚好分完。求有多少只猴？多少个桃子？
【答案】15只 120个
【详解】3×10÷(10-8)=15（只）
15×8＝120（个）
答：有15只猴,120个桃子。
16．货运列车运粮食，每节车厢装 100 吨，还差一节车厢；每节车厢装 120 吨，可空下两节车厢，问：有多少节车厢？有多少吨粮食？
【答案】17节 1800吨
【详解】有车厢：（1×100+2×120）÷（120-100）=17（节）
粮食：100×17+100=1800（吨）
答：有17节车厢，有,1800吨粮食。
17．猴子分桃子，如果 2 只猴子各分 5 个，其余各分 3 个，则还剩余 9 个；如果 4 只猴子各分 3 个，其余各分 6 个，则剩余 10 个，问：猴子有几只？ 桃子有几个？
【答案】5只 28个
【详解】2×（5-3）+9=13（个）
4×（6-3）-10=2（个）
（13+2）÷（6-3）
=15÷3
=5（只）
4×3＋（5－1）×6＋10＝28（个）
答：猴子有5只，桃子有28个。
18．某校安排学生宿舍，如果每间住 12 人，就会有 34 人没有宿舍；如果每间住 14 人，就会空出 4 间宿舍，问：有多少间宿舍？要安排多少个学生？
【答案】45间 574个
【详解】宿舍间数：（34+14×4）÷（14-12）
=（34+56）÷2
=90÷2
=45（间）
学生人数：12×45+34
=540+34
=574（人）
答：这个学校有45间宿舍，要安排574个学生．
19．五(2)班同学去公园划船．如果租来的船每条船坐4人，则有7人不能上船；如果每条船坐5人，则多一条船．五(2)班租了多少条船?共有学生多少人?
【答案】12条船 55人
【分析】解答这道题目，可以用盈亏问题的思路来思考，如果用列方程来解答，同样很合适．前后两种安排座位的方法总人数是不变的．如果设租了X条船，那么总人数既可以表示为(4x+7)人，也可以表示为5(x-1)人，就可以列出方程．
【详解】解答：设租了x条船．
4x+7=5(x-1)
4x+7=5x-5
X=12
4×12+7=55（人）
答：五（2）班租了12条船，共有学生55人．
20．教师给幼儿园小朋友分草莓，如果每个小朋友分5个草莓还剩下14个，如果每个小朋友分7分草莓则差4个，求共有多少草莓？共有多少个小朋友？
【答案】59个草莓，9个小朋友
【详解】设共有x个小朋友
(个)
21．有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够。问第二组有多少人？
【答案】15人
【分析】如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够，说明第一组人数少于（人），多于，即9人；如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够，说明第二组人数少于（人），多于（人）；综上所述，第一组可能有10或11人，第二组可能有13、14、15人，因为已知第二组比第一组多5人，所以，第一组只能是10人，第二组15人。
【详解】（人），则第一组少于12人，
48÷5＝9（人）……3（本），则第一组多于9人，
（人），则第二组少于16人，
（人），则第二组多于12人，
整理以上数据可得，第一组可能有10或11人，第二组可能有13、14、15人，根据第二组比第一组多5人，因此第一组只能是10人，第二组15人。
【点睛】关键是根据图书的总数以及具体分配情况，利用除法算式推理出每组人数的大致范围。并由两组人数之间的关系，最终确定每组人数是多少。
22．巧克力每盒9块，软糖每盒11块，要把这两种糖分发给一些小朋友，每种糖每人一块．由于又来了一位小朋友，软糖就要增加一盒，两种糖分发的盒数才一样多．现在又来了一位小朋友，巧克力还要增加一盒．最后共有多少位小朋友？
【答案】46个
【详解】新来了一位小朋友，就要增加一盒软糖，说明在此之前，软糖应该是刚好分完几整盒，所以原来的小朋友人数是的倍数．增加了第二位小朋友之后，巧克力糖也要再来一盒了，说明原有的小朋友分几整盒巧克力糖之后还剩下一块，也就是说，原有的小朋友人数是9的倍数减．符合这两个条件的最小的数是，而且它刚好满足原有的巧克力比软糖多一盒的条件，所以原有个小朋友，最后有个小朋友．
题型
公式（分配对象数量）
物品总量公式
一盈一亏型
（盈数+亏数）÷两次分配标准的差
分配对象数量×第一次分配标准+盈数（或-亏数）
两盈型
（大盈数-小盈数）÷两次分配标准的差
分配对象数量×第一次分配标准+大盈数（或小盈数）
两亏型
（大亏数-小亏数）÷两次分配标准的差
分配对象数量×第一次分配标准-大亏数（或小亏数）
一盈一尽型
盈数÷两次分配标准的差
分配对象数量×第二次分配标准（或第一次分配标准+盈数）
一亏一尽型
亏数÷两次分配标准的差
分配对象数量×第二次分配标准（或第一次分配标准-亏数）