2026年六年级下册奥数培优讲义专题43竖式数字谜(知识点梳理+例题讲解+提升练习)(原卷版+解析)

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一、基本概念
竖式数字谜是指在竖式运算（如加法、减法、乘法、除法）中，部分数字被方框、字母或汉字代替，需要根据运算规则、数字特征及逻辑推理，还原出未知数字，使竖式成立的数学问题。
核心逻辑：利用四则运算的基本规则（如加法进位、减法借位、乘法口诀、除法试商）和数字特性（0-9的取值范围、不重复数字等）进行逆向推理。
关键点：找准突破口（通常是首位、末位或有明显进位/借位的位置），关注进位与借位对数字的影响，结合数字特征排除不可能的取值。
二、核心要素（必知）
1.已知数字：竖式中明确给出的固定数字，是推理的基础。
2.未知数字：用□（方框）、字母（如A、B、C）或汉字（如“学”“习”）表示的待求数字，需满足0-9的取值范围（首位数字不能为0）。
3.运算类型：加法、减法、乘法、除法（含有余数除法），或混合运算（如乘加、除减）。
4.限制条件：题目是否要求“数字不重复”“汉字代表唯一数字”“无进位/借位”等特殊规则。
三、常见题型分类
1.按运算类型分
加法竖式谜：已知部分数字，补全加法竖式（含不进位、进位、连续进位）。
减法竖式谜：已知部分数字，补全减法竖式（含不借位、借位、连续借位）。
乘法竖式谜：已知部分数字，补全乘法竖式（含一位数乘多位数、两位数乘两位数）。
除法竖式谜：已知部分数字，补全除法竖式（含整除、有余数除法）。
2.按未知表示形式分
方框数字谜：用□代替未知数字（最基础题型）。
字母数字谜：用字母代替未知数字（如A、B、C，相同字母代表相同数字）。
汉字数字谜（虫蚀算）：用汉字代替未知数字（如“我爱数学+数学爱我=学学学学学”，相同汉字代表相同数字）。
四、核心解题方法（必会）
1.首位分析法：
加法/乘法竖式中，最高位数字不能为0，且两数相加/相乘的最高位进位最多为1（加法）或9（乘法）。
例：加法竖式中，若和的最高位是“3”，则两个加数的最高位可能是“1+2”“2+1”或“3+0”（无进位），或“1+1+1（进位）=3”。
2.末位分析法：
从个位入手，利用加减法末位数字关系（如“□+5=3”需进位，□=8）、乘法口诀末位（如“□×6=□4”，□可能是4或9，因为4×6=24、9×6=54）。
3.进位/借位分析法：
加法中，某一位数字相加≥10则进位1，和的该位数字=加数之和-10；
减法中，某一位被减数＜减数则借位1，被减数该位数字=原数字+10-减数。
4.数字特征法：
奇偶性：奇数+奇数=偶数，偶数×偶数=偶数等；
倍数关系：若乘法竖式中积是某数的倍数，可反推乘数；
数字和：如“数字不重复”时，排除已出现的数字。
5.排除法：
列出某位置可能的数字（如0-9），根据条件逐步排除不可能的取值（如首位不能为0、数字不重复等）。
五、解题步骤（万能模板）
1.观察结构：确定运算类型（加减乘除），标出已知数字和未知位置（用□或字母标记）。
2.找突破口：优先从末位、首位或有进位/借位的位置入手（如加法个位、乘法末位）。
3.逐步推理：利用上述方法推导未知数字，注意进位/借位对相邻数位的影响，记录已确定的数字。
4.验证检查：将推导出的数字填入竖式，按运算顺序重新计算，确保每一步都符合规则（无矛盾、无重复数字等）。
例题讲解
一、基础题（加法竖式谜）
例1：在□中填入适当数字，使竖式成立。
□ 3 □
+ 2 □ 5
= 8 2 3
解题步骤：
1.观察结构：加法竖式，三位数+三位数=三位数，已知数字：第一个加数十位3、第二个加数十位□和个位5、和的百位8、十位2、个位3。
2.找突破口：从个位入手（末位分析法）。
个位：□（第一个加数个位）+ 5 = 3。因5＞3，必有进位，所以□+5=13→□=8（个位写3，向十位进1）。
3.逐步推理：
十位：3（第一个加数十位）+ □（第二个加数十位）+ 1（进位）= 2。3+□+1=12（因和的十位是2，必有进位）→□=12-4=8（十位写2，向百位进1）。
百位：□（第一个加数百位）+ 2（第二个加数百位）+ 1（进位）= 8→□=8-3=5。
4.验证检查：538 + 285 = 823，计算正确。
答案：第一个加数为538，第二个加数为285，填入□后竖式为：
5 3 8
+ 2 8 5
= 8 2 3
跟踪练习1：在□中填入适当数字，使竖式成立。
□ 7
+ □ □
= 9 1
提示：从个位入手，7+□=11（个位1，进位1）→□=4；十位□+□+1=9→两个□之和为8，可能是（1,7）（2,6）（3,5）（4,4）（5,3）（6,2）（7,1）（8,0），需结合首位不为0（第二个加数十位不能为0）。
二、进阶题（乘法竖式谜）
例2：在□中填入适当数字，使竖式成立。
□ □
× 6
= 1 □ 4
解题步骤：
1.观察结构：两位数×一位数=三位数，乘数是6，积的个位是4，百位是1。
2.找突破口：从个位入手（乘法末位分析法）。
乘数个位□×6的末位是4，根据乘法口诀：4×6=24（末位4）、9×6=54（末位4），所以乘数个位可能是4或9。
3.分类讨论：
情况1：乘数个位=4
设乘数为“a4”（a为十位数字，a≠0），则(a×10+4)×6=60a+24=1□4。
积的百位是1，所以60a+24=100+10b+4（b为积的十位数字）→60a=80+10b→6a=8+b。
a是1-9的整数，6a=8+b，b是0-9的整数：
a=2时，6×2=12=8+b→b=4，此时积=60×2+24=144，符合“1□4”（144）。
情况2：乘数个位=9
设乘数为“a9”，则(a×10+9)×6=60a+54=1□4。
60a=1□4-54=△0（积的个位是4，54个位4，所以1□4-54的个位是0），60a=△0→a=1时，60×1=60→60+54=114（积=114），也符合“1□4”。
验证限制条件：题目未说明“数字不重复”，但通常基础乘法竖式谜优先取较小乘数，故选择a=2，乘数=24。
4.验证检查：24×6=144，正确。
答案：乘数为24，积为144，竖式为：
2 4
× 6
= 1 4 4
跟踪练习2：在□中填入适当数字，使竖式成立。
3 □
× □
= 2 8 8
提示：乘数是一位数，3□×□=288，288的因数有32×9=288、36×8=二百八十八（36×8=288），验证36×8=288是否符合。
三、挑战题（汉字数字谜）
例3：下面竖式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字，求“学”“习”“好”各代表什么数字。
学 习
+ 学 习
= 好 学
解题步骤：
1.观察结构：两位数+两位数=两位数，设“学”=a，“习”=b，“好”=c，即(10a+b)+(10a+b)=10c+a（a、b、c为0-9的数字，a≠0，c≠0，a、b、c互不相同）。
2.转化等式：2(10a+b)=10c+a→20a+2b=10c+a→19a+2b=10c。
3.分析取值范围：
a是十位数字，a≥1；c是十位数字，c≥1；19a+2b=10c≤90（c≤9），所以19a≤90→a≤4（19×5=95＞90）。
a=1：19×1+2b=10c→2b=10c-19，10c-19是偶数（2b为偶数），但10c是偶数，19是奇数，偶数-奇数=奇数，矛盾，排除。
a=2：19×2+2b=10c→38+2b=10c→b=5c-19。b≥0→5c-19≥0→c≥4（c=4时，b=5×4-19=1；c=5时，b=6；c=6时，b=11，不符合b≤9）。
c=4，b=1：此时“学”=2，“习”=1，“好”=4，验证：21+21=42，符合“好 学”=42（c=4，a=2），且数字2、1、4互不相同。
a=3：19×3+2b=10c→57+2b=10c→b=5c-28.5，b不是整数，排除。
=4：19×4+2b=10c→76+2b=10c→b=5c-38，c≥8（5×8=40→b=2），此时“学”=4，“习”=2，“好”=8，验证：42+42=84，也符合，但题目要求“不同汉字代表不同数字”，4、2、8互不相同，也是解。但通常优先取较小数字，“21+21=42”更简洁。
4.验证检查：21+21=42，“学=2”“习=1”“好=4”，数字互不重复，正确。
答案：学=2，习=1，好=4。
跟踪练习3：下面竖式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字，求“我”“爱”“数”“学”各代表什么数字。
我 爱
+ 数 学
= 数 学 我
提示：两位数+两位数=三位数，“数”=1（和的百位），则“我+数”=10+“数”（进位）→“我”=10，矛盾，说明个位相加有进位：“爱+学”=10+“我”，十位“我+数+1=10+“学””，结合“数=1”推导。
提升练习
1．算一算，算式中的文字各代表什么数字？
2．下图的竖式中，每个方框内的数字各不相同，这个竖式的得数最大是( )。
3．试一试，填一填。

〇里最小能填( )。 〇里最小能填( )。
4．下面算式中相同的汉字代表相同的数，你知道这些汉字各代表数字几吗？
甲＝( ) 乙＝( ) 丁＝( ) 丙＝( )
5．在下面的各个方框里填入合适的数字，使竖式成立。

6．下面算式中的字母分别代表什么数字？
a＝( )，b＝( )。
7．如图的乘法竖式中，相同的汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字，那么，“迎兔年”代表的三位数是______。
8．下面算式中的“车”“炮”“马”“卒”各代表0～9这十个数字中的某一个，相同的汉字代表相同的数字。这些汉字各代表哪些数字？（填一填）
＝( )＝( )
＝( )＝( )
9．这几个汉字分别代表几？
10．加法算式中，“我们同努力疫情定可防”分别代表0－9中10个不同的数字，要使等式成立，那么这个和的最大值是多少？
11．下面的汉字分别表示什么数字？
12．在方框中填上适当的数，使竖式成立。（不需要写推理过程）
13．将下面的乘法竖式填写完整。
14．如图，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，并且已知三位数BAD不是3的倍数，四位数GOOD不是8的倍数，那么四位数ABGD是多少？
15．在如图所示的算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。如果CHINA所代表的五位数能被24整除，那么这个五位数是多少？
16．已知图所示的乘法竖式成立．那么ABCDE是多少?
17．一个四位数被一个一位数除得图①式，而被另一个一位数除得图②式，求这个四位数．
①②
18．按照图中给出的各数字的奇偶性补全这个除法算式．
读＝（ ）
好＝（ ）
书＝（ ）
第一种情况
第二种情况
① ②；
① ②；