2026年六年级下册奥数培优讲义专题07利润和折扣问题(知识点梳理+例题讲解+提升练习)(原卷版+解析)

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一、基本概念
利润和折扣问题是百分数应用题的重要类型，涉及成本、售价、利润、利润率、折扣等核心概念，需明确各量之间的关系。关键要素：
1.成本（进价）：商品购进时的价格，即商家买入商品所花费的钱数。
2.售价（卖价）：商品卖出时的价格，分为原价（定价）和现价（打折后的价格）。
3.利润：商家卖出商品后赚的钱，公式：利润=售价-成本。
4.利润率：利润占成本的百分比，公式：利润率=（利润÷成本）×100%。
5.折扣：商家为促销降低售价，几折表示现价是原价的十分之几（或百分之几十），公式：折扣=现价÷原价×10（如八折即现价是原价的80%，折扣=8）。
二、核心解题方法
1.公式法（基础方法）
直接利用利润、利润率、折扣的基本公式，代入已知量计算未知量。
常用公式：
利润=售价-成本
利润率=（售价-成本）÷成本×100%
售价=成本×（1+利润率）=原价×折扣÷10
成本=售价÷（1+利润率）=售价-利润
原价=现价÷（折扣÷10）
示例：一件商品成本50元，售价70元，利润=70-50=20元，利润率=20÷50×100%=40%。
2.方程法（进阶方法）
当未知量较多时，设关键未知量为x，根据等量关系（如利润、利润率关系）列方程求解。
示例：某商品按定价八折出售仍获利20%，成本100元，求定价。设定价为x元，现价=0.8x，利润=0.8x-100，由利润率20%可得（0.8x-100）÷100=20%，解得x=150元。
3.假设法（辅助方法）
当成本或原价未知时，假设成本为100元（或单位“1”），简化计算。
示例：某商品利润率25%，成本提高20%，售价不变，求新利润率。假设成本100元，原售价=100×1.25=125元，新成本=120元，新利润=5元，新利润率=5÷120×100%≈4.17%。
三、常见题型
1.直接计算型：已知成本、售价求利润/利润率；已知成本和利润率求售价；已知售价和折扣求原价等。
2.折扣相关型：已知原价、折扣求现价；已知成本、折扣、利润率求原价；已知现价和折扣求原价等。
3.综合应用型：涉及多个商品利润比较、成本/售价变化对利润的影响、利润率与折扣结合的复杂问题等。
例题讲解
一、基础题（公式法）
例1：一件商品进价80元，售价100元，求利润和利润率。
解题步骤：
1.利润=售价-成本=100-80=20元；
2.利润率=（利润÷成本）×100%=20÷80×100%=25%。
验证：利润20元，成本80元，20÷80=0.25=25%，正确。
跟踪练习1：一件商品成本120元，按30%利润率定价，售价是多少元？
答案：120×（1+30%）=156元。
解析：利用售价=成本×（1+利润率），120×1.3=156元。
例2：某商品原价150元，打八折出售，求现价；若成本100元，此时利润是多少？
解题步骤：
1.现价=原价×折扣÷10=150×8÷10=120元；
2.利润=现价-成本=120-100=20元。
易错点：折扣“八折”即80%，需用原价×80%，避免误算为150×8。
跟踪练习2：商品原价200元，打七五折出售，成本120元，利润率是多少？
答案：现价=200×75%=150元，利润=150-120=30元，利润率=30÷120×100%=25%。
二、进阶题（方程法）
例3：某商品按定价九折出售，仍获利20%，成本180元，求定价。
解题步骤：
1.设定价为x元，现价=0.9x；
2.利润=0.9x-180，利润率=（0.9x-180）÷180=20%；
3.解方程：0.9x-180=36→0.9x=216→x=240元。
验证：定价240元，九折后216元，利润36元，利润率36÷180=20%，正确。
跟踪练习3：商品按定价出售获利50元，打八折出售亏损10元，求成本。
答案：设成本x元，定价=x+50，0.8（x+50）=x-10→0.8x+40=x-10→x=250元。
三、挑战题（综合应用）
例4：商店同时卖出两件商品，售价均120元，一件盈利20%，一件亏损20%。总体盈亏情况如何？
解题步骤：
1.盈利商品成本：设成本a元，a×1.2=120→a=100元，利润20元；
2.亏损商品成本：设成本b元，b×0.8=120→b=150元，亏损30元；
3.总成本=100+150=250元，总售价=240元，亏损250-240=10元。
易错点：售价相同但成本不同，需分别计算成本再比较。
跟踪练习4：商品按30%利润率定价，售出80%后，剩下打五折。实际利润率是多少？
答案：假设成本100元，数量10件，总成本1000元。定价130元，售出8件收入1040元；剩下2件半价65元，收入130元。总售价1170元，利润170元，利润率17%。
提升练习
1．元宵节当天，某灯笼店举行“买5送1”活动，即每买5只灯笼送1只灯笼，每只灯笼15元。四（1）班辅导员要给班上42人每人买一只灯笼，她最少需花__________元。
2．某商人要出售5台电脑，先按20%的利润定价，每台电脑定价3600元，售出2台电脑后剩下的电脑按定价打9折出售，全部售出后盈利_____元。
3．小丁丁在自己的鞋店出售的两双鞋，售价都是300元，一双可赚20%，另一双要赔20%。就这两双鞋而言，丁丁( )（填“赚”或“赔”）了( )元。
4．果品公司购进苹果5.2万千克，每千克进价是0.98元，付运费等开支1840元，预计损耗为1%，如果希望全部进货销售后能获利17%。每千克苹果零售价应当定为( )元。
5．电视机厂接到生产一批电视机的订单，订单价每台2000元，预计可以获利30万元，实际上，由于生产成本提高了，所以利润减少了25%，则此次订单需要电视机( )台。
6．某商店举行促销活动，原价15元的笔记本，现在买4本送1本。王老师需要100本笔记本，如果在促销活动中购买，只要付( )元钱。
7．华宜超市举行饮料促销活动，活动公告牌：20元/瓶，买4瓶送1瓶。妈妈付了240元钱，可以买到( )瓶这样的饮料。照这样计算，每瓶单价比原来便宜了( )元？
8．新希望服装店以每套45元的价格购进了一批童装，再以每套120元售出，当卖到还剩下30套时，除去购进这批童装的全部成本外还盈利3900元。这批童装共有多少套？
9．平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元。
（1）甲种商品每件进价为40元，每件乙种商品利润率为（ ）。
（2）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？
10．某百货商店销售一批服装，商店按的利润定价。当卖出这批服装的多30件时不仅收回了全部成本，还获得预计利润的一半。这批服装一共有多少件？
11．一种商品按定价出售，每个可以获得36元钱的利润。现在按定价打八折出售5个，所能获得的利润与按定价每个减价28元出售10个所能获得的利润相同。这种商品每个定价是多少元？
12．有一批商品，按的利润定价，当售出这批服装的以后，决定换季减价售出，剩下的商品全部按定价的八折出售，这批商品全部售完后实际可以获利百分之几？
13．某商品按原价的八折出售，仍能获利，由于该商品成本降低，按原价的七五折出售，能获利，该商品成本降低了多少？
14．某超市购进一批练习本，按的利润定价。当出售这批练习本的后，为了尽早销完，超市把这批练习本按售价的一半出售。那么销完后超市实际获得的利润是多少？
15．李师傅以2元钱1个苹果的价格买进苹果若干个，以5元钱2个苹果的价格将这些苹果卖出，卖出一半后，因为苹果降价只能以3.8元钱2个苹果的价格将剩下的苹果卖出，不过最后他不仅赚了21元钱，还剩下了2个苹果，那么他买了多少个苹果？
16．王老板以2元/个的成本买入菠萝若干个，按照定价卖出了全部菠萝的后，被迫降价为：5个菠萝只卖2元，直至卖完剩下的菠萝，最后一算，发现居然不亏也不赚，那么王老板一开始卖出菠萝的定价为每个多少元？
17．某种皮衣定价是1150元，以8折售出仍可以盈利，某顾客再在8折的基础上要求再让利150元，如果真是这样，商店是盈利还是亏损？
18．一批商品，按期望获得 50％的利润来定价.结果只销掉 70％的商品.为尽早销掉剩下的商品，商店决定按定价打折扣销售.这样所获得的全部利润，是原来的期望利润的82％，问：打了多少折扣？
19．某商品按定价出售，每个可以获得45元钱的利润.现在按定价打85折出售8个，所能获得的利润，与按定价每个减价35元出售12个所能获得的利润一样.问这一商品每个定价是多少元？
20．原来将一批水果按100%的利润定价出售，由于价格过高，无人购买，不得不按38%的利润重新定价，这样出售了其中的40%，此时因害怕剩余水果会变质，不得不再次降价，售出了全部水果．结果实际获得的总利润是原来利润的30.2%，那么第二次降价后的价格是原来定价的百分之几？
打折前一次性购物总金额
优惠措施
少于等于450元
不优惠
超过450元，但不超过600元
按售价打九折
超过600元
其中600元部分八点二折优惠，超过600元的部分打三折优惠