2026年六年级下册奥数培优讲义专题12立体图形的表面积(知识点梳理+例题讲解+提升练习)(原卷版+解析)

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一、基本概念
1.表面积定义：立体图形所有面的面积总和，单位为平方单位（如cm²、dm²）。
2.核心公式及推导：
长方体：6个面（相对面面积相等），表面积=2×(长×宽+长×高+宽×高)，字母表示：( S=2(ab+ah+bh) )（( a )为长，( b )为宽，( h )为高）。
推导：前后面面积=2×(长×高)，左右面面积=2×(宽×高)，上下面面积=2×(长×宽)，总和为三者相加。
正方体：6个面完全相同（正方形），表面积=6×棱长×棱长，字母表示：( S=6a² )（( a )为棱长）。
推导：每个面面积为( a² )，6个面总和为( 6a² )。
圆柱：2个底面（圆形）+1个侧面（展开为长方形，长=底面周长，宽=高），表面积=2×底面积+侧面积，字母表示：( S=2πr²+2πrh )（( r )为底面半径，( h )为高）。
推导：底面积= ( πr² )，侧面积=底面周长×高= ( 2πr×h )，总和为2个底面积加侧面积。
3.关键要素：明确图形类型（长方体/正方体/圆柱/不规则图形），确定面的数量及形状，准确代入公式计算。
二、核心解题方法
1.公式直接应用法（基础方法）
方法要点：针对完整、规则的立体图形，直接代入对应表面积公式计算。
示例：一个长方体长5cm，宽4cm，高3cm，表面积为( S=2×(5×4+5×3+4×3)=2×(20+15+12)=94cm² )。
2.切割/拼接问题转化法（进阶方法）
方法要点：分析切割或拼接后表面积的变化（切割增加面，拼接减少面），先确定增加/减少面的数量及面积，再结合原表面积计算。
示例：棱长4cm的正方体切成两个相同的长方体，切割1次增加2个正方形面，每个面面积=4×4=16cm²，增加表面积=2×16=32cm²。
3.不规则立体图形表面积计算法（综合方法）
方法要点：
三视图法：分别从正面、上面、侧面观察，计算各方向看到的面积总和×2（相对面面积相同），注意重合面不重复计算。
面的分解法：将不规则图形分解为规则图形，计算各面面积总和，减去重叠部分。
示例：3个棱长2cm的正方体拼成“一字型”长方体，长=6cm，宽=2cm，高=2cm，表面积=2×(6×2+6×2+2×2)=56cm²。
三、常见题型
1.基础公式应用型：直接给出规则图形的棱长、长宽高、半径高等数据，计算表面积。
2.切割/拼接变化型：已知切割或拼接方式，求表面积变化量或变化后的表面积。
3.不规则图形计算型：由多个小正方体或规则图形组合而成的不规则立体图形，计算表面积。
例题讲解
一、基础题（公式直接应用法）
例1：一个长方体无盖玻璃鱼缸，长8dm，宽5dm，高6dm，制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？
解题步骤：
1.确定面数：无盖长方体，共5个面（缺少上面）。
2.公式选择：表面积=长×宽+2×(长×高+宽×高)。
3.代入计算：( 8×5 + 2×(8×6 + 5×6) = 40 + 2×(48 + 30) = 40 + 156 = 196dm² )。
易错点：忽略“无盖”导致多算顶面面积。
跟踪练习1：一个正方体礼品盒棱长1.2m，包装它至少需要多少平方米包装纸？（接头处忽略）
答案：( 6×(1.2)²=8.64m² )。
例2：一个圆柱底面直径4cm，高10cm，求表面积。（π取3.14）
解题步骤：
1.分解表面积：2个底面积+侧面积。
2.计算底面积：半径( r=4÷2=2cm )，底面积( =πr²=3.14×2²=12.56cm² )，2个底面积=2×12.56=25.12cm²。
3.计算侧面积：底面周长( C=πd=3.14×4=12.56cm )，侧面积= ( C×h=12.56×10=125.6cm² )。
4.总表面积=25.12+125.6=150.72cm²。
易错点：混淆直径与半径，或侧面积漏乘高。
跟踪练习2：圆柱底面半径3cm，高5cm，表面积是多少？
答案：( 2×3.14×3² + 2×3.14×3×5=56.52+94.2=150.72cm² )。
二、进阶题（切割/拼接问题转化法）
例3：棱长6cm的正方体木块沿水平方向切成3个相同的长方体，表面积增加了多少？
解题步骤：
1.切割次数与增加面数：切成3个长方体需切2次，每切1次增加2个正方形面，共增加( 2×2=4 )个面。
2.单个面面积：( 6×6=36cm² )。
3.增加表面积：( 4×36=144cm² )。
规律总结：切割( n )段需切( n-1 )次，增加( 2(n-1) )个面。
跟踪练习3：长10cm、宽8cm、高6cm的长方体切成两个小长方体，表面积最多增加多少？
答案：最大面面积=10×8=80cm²，增加2个面，( 2×80=160cm² )。
例4：4个棱长2cm的正方体拼成大长方体，哪种拼法表面积最小？
解题步骤：
1.两种拼法：
一字排列：长=8cm，宽=2cm，高=2cm，表面积=2×(8×2+8×2+2×2)=72cm²。
2×2排列：长=4cm，宽=4cm，高=2cm，表面积=2×(4×4+4×2+4×2)=64cm²。
2.比较：64cm²＜72cm²，2×2排列表面积最小。
规律总结：相同体积的长方体，长、宽、高越接近，表面积越小。
跟踪练习4：2个长5cm、宽4cm、高3cm的长方体拼成大长方体，表面积最少减少多少？
答案：最小面面积=4×3=12cm²，减少2个面，( 2×12=24cm² )。
三、挑战题（不规则立体图形表面积计算法）
例5：由5个棱长1cm的小正方体搭成的立体图形，三视图如下（正面3个正方形，上面4个，左面3个），求表面积。
解题步骤：
1.三视图法：正面面积=3×1=3cm²，上面=4×1=4cm²，左面=3×1=3cm²。
2.总表面积=2×(3+4+3)=20cm²。
验证：露在外面的面：正面3、后面3、上面4、下面4、左面3、右面3，总和=3+3+4+4+3+3=20cm²。
易错点：漏算相对面或重复计算重叠面。
跟踪练习5：3个棱长2cm的正方体拼成“L”形，表面积是多少？
答案：露在外面的面共18个（每个面4cm²），( 18×4=72cm² )。
提升练习
1．如图是个柱体，高是20厘米，底面是一个半径为10厘米，圆心角为270°的扇形，求这个柱体的表面积和体积。
2．将12个棱长为1的正方体积木拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积最大是多少？最小是多少？
3．如图，一个正方体的表面积是90平方厘米，如果把这个正方体沿虚线切开得到3个长方体，那么这三个长方体的表面积之和为多少平方厘米？
4．一个长方体，如果高截掉2厘米，表面积就减少了32平方厘米，剩下的正好是一个正方体，原来长方体的体积和表面积分别是多少？
5．两个完全相同的长方体，长6厘米，宽4厘米，高2厘米，拼成一个表面积最大的长方体，拼成后的长方体表面积比原来两个长方体的表面积减少多少平方厘米？
6．把一个长方体截去一个高为8厘米的长方体后，剩下的部分是一个正方体。正方体的表面积比原来长方体的表面积减少320平方厘米。求原来长方体的体积。
7．如果一个小正方体的表面积是6平方厘米，由27个这样的小正方体组成一个大正方体，大正方体的表面积是多少平方厘米？
8．建造一个长方体游泳池，长30米，宽10米，深1.6米，池的四壁和底面用瓷砖铺砌，如果每平方米用瓷砖25块，共需要多少块？
9．一个正方体木块，棱长是15．从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体．这个木块剩下部分的表面积最少是多少？
10．如图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为1/2厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同，棱长为1/4厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？
11．如图，一个正方体形状的木块，棱长1米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么这60块长方体表面积的和是多少平方米？
12．圆柱形的售报亭的高和底面直径相等（如图），开一个边长等于底面半径的正方形售报窗口．问窗口处挖去的圆柱部分的面积占圆柱形侧面积的几分之几？
13．如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积．
14．一个圆柱体的体积是立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ ()
15．有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如下图：圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米。如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？
16．如图，用高都是米，底面半径分别为米、米和米的个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(取)
17．如图所示，一个的立方体，在一个方向上开有的孔，在另一个方向上开有的孔，在第三个方向上开有的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？
18．如图，棱长分别为厘米、厘米、厘米、厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是多少平方厘米？
19．如图，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型．把这个模型的表面(包括底面)都涂上红色，那么，把这个模型拆开以后，有3面涂上红色的小正方体比有2面涂上红色的小正方体多多少块?
20．如图8-4，用4个大小相同的立方体拼成图中的形状．如果用涂料涂立方体中的一个侧面需用工料费3元，那么涂完图中的所有表面，共需要工料费多少元?