2026年六年级下册奥数培优讲义专题19最大公因数与最小公倍数(知识点梳理+例题讲解+提升练习)(原卷版+解析)

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一、基本概念
最大公因数（GCD）与最小公倍数（LCM）是小升初奥数的重要考点，常用于解决分组、分配、周期等实际问题。
关键要素：
1.公因数：几个数共有的因数，例如8和12的公因数有1、2、4。
2.最大公因数（GCD）：公因数中最大的数，用符号（a,b）表示a和b的最大公因数，如（8,12）=4。
3.公倍数：几个数共有的倍数，例如4和6的公倍数有12、24、36……
4.最小公倍数（LCM）：公倍数中最小的数，用符号[a,b]表示a和b的最小公倍数，如[4,6]=12。
示例：
18的因数：1,2,3,6,9,18；24的因数：1,2,3,4,6,8,12,24。则（18,24）=6（最大公因数）。
18的倍数：18,36,54,72……；24的倍数：24,48,72,96……。则[18,24]=72（最小公倍数）。
二、核心公式（必背）
1.求最大公因数（GCD）的方法
分解质因数法：将各数分解为质因数相乘的形式，取公共质因数的最低次幂相乘。
例：求（12,18）。
12=2²×3，18=2×3²，公共质因数为2¹、3¹，故（12,18）=2×3=6。
短除法：用公有质因数依次去除各数，直到商互质，除数的乘积即为最大公因数。
例：求（12,18）。
2 | 12 18
|_______
3 | 6 9
|_______
2 3 （互质）
除数乘积：2×3=6，故（12,18）=6。
2.求最小公倍数（LCM）的方法
分解质因数法：将各数分解为质因数相乘的形式，取所有质因数的最高次幂相乘。
例：求[12,18]。
12=2²×3，18=2×3²，所有质因数最高次幂为2²、3²，故[12,18]=2²×3²=36。
短除法：用公有质因数依次去除各数，直到商互质，除数与商的乘积即为最小公倍数。
例：求[12,18]。
2 | 12 18
|_______
3 | 6 9
|_______
2 3 （互质）
除数与商乘积：2×3×2×3=36，故[12,18]=36。
3.GCD与LCM的关系公式
对任意两个非零自然数a、b，有：a×b = GCD(a,b)×LCM(a,b)
文字理解：两数乘积等于它们的最大公因数与最小公倍数的乘积。
例：a=12，b=18，12×18=216，GCD=6，LCM=36，6×36=216，等式成立。
三、核心解题方法
1.直接计算法（基础）
已知数直接用分解质因数法或短除法求GCD或LCM，适用于数字较小或结构简单的题目。
2.关系转化法（进阶）
利用公式a×b=GCD(a,b)×LCM(a,b)，已知其中三个量求第四个量（如已知GCD和LCM求两数）。
3.实际应用法（综合）
结合生活场景（如分组、铺砖、周期问题），将实际问题转化为求GCD或LCM的数学问题。
四、常见题型
1.直接计算型：直接求两个或多个数的GCD或LCM。
2.关系应用型：已知两数的GCD和LCM，反求这两个数；或已知其中一个数、GCD和LCM，求另一个数。
3.实际场景型：涉及分组（如按人数分组无剩余，求最大组数）、铺砖（如用长方形地砖铺正方形，求最小边长）、周期（如两人再次同时出现的时间）等。
例题讲解
一、基础题（直接计算法）
例1：用分解质因数法求24和36的最大公因数和最小公倍数。
解题步骤：
分解质因数：24=2³×3，36=2²×3²。
求GCD：取公共质因数最低次幂，2²×3¹=4×3=12。
求LCM：取所有质因数最高次幂，2³×3²=8×9=72。
答案：（24,36）=12，[24,36]=72。
跟踪练习1：用短除法求15和25的GCD和LCM。
答案：（15,25）=5，[15,25]=75。
解析：短除法中除数为5，商为3和5（互质），GCD=5，LCM=5×3×5=75。
二、进阶题（关系转化法）
例2：已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是36，其中一个数是12，求另一个数。
解题步骤：
设另一个数为x，根据公式a×b=GCD(a,b)×LCM(a,b)，得12×x=6×36。
解方程：12x=216，x=216÷12=18。
答案：另一个数是18。
跟踪练习2：两个数的GCD是4，LCM是24，这两个数可能是多少？
答案：4和24或8和12。
解析：设两数为4a和4b（a、b互质），则LCM=4ab=24→ab=6。a、b互质且乘积为6，可能（1,6）→4×1=4，4×6=24；（2,3）→4×2=8，4×3=12。
三、挑战题（实际应用+逆向推理）
例3：有一批糖果，平均分给8个小朋友或10个小朋友都正好分完，这批糖果至少有多少颗？
解题步骤：
问题转化：求8和10的最小公倍数（糖果数是8和10的公倍数，“至少”即最小公倍数）。
分解质因数：8=2³，10=2×5，LCM=2³×5=40。
答案：至少有40颗。
例4：一张长方形纸长24cm、宽18cm，要裁成同样大小的正方形且没有剩余，正方形边长最大是多少？能裁多少个？
解题步骤：
问题转化：正方形边长是24和18的最大公因数（“最大边长”即GCD）。
求GCD：（24,18）=6cm。
裁的个数：（24÷6）×（18÷6）=4×3=12个。
答案：正方形边长最大是6cm，能裁12个。
跟踪练习3：甲每3天去一次图书馆，乙每4天去一次，两人3月1日同时去了图书馆，下次同时去是几月几日？
答案：3月13日。
解析：求3和4的LCM=12，1+12=13，故下次同时去是3月13日。
提升练习
1．甲、乙两数共有的因数中最大的是4，共有的倍数中最小的是60，甲数是12，乙数不是60，乙数是多少？
【答案】20
【详解】60的全部因数是：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30
乙数不是12的因数，所以不是1，2，3，4，6，12．
乙数是4的倍数，所以不是5，10，15，30．
乙数不是60，所以，乙数是20．
答：乙数是20．
2．六年级的学生有60人，五年级的学生有72人，分组去植树．要求两个年级每组的人数相等，每组最多有多少人?两个年级分别分成了多少组?
【答案】12人 5组 6组
【分析】要求两个年级每组的人数相等即求两个年级总人数的最大公因数；确定每组人数，就可以进一步用除法计算出两个年级分别分成多少组．
【详解】解：60=2×2×3×5，72=2×2×2×3×3，所以60和72的最大公因数是2×2×3=12，即每组最多有12人．
六年级：60÷12=5(组)
五年级：72÷12=6(组)
答：每组最多有12人，六年级分成了5组，五年级分成了6组．
3． 两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数是90，另一个数是多少？
【答案】60
【详解】解法一：180＝22×32×5，30＝2×3×5.
对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数中取次数较低的，从22与2就知道，一数中含22，另一数中含2；从32与3就知道，一数中含32，另一数中含3，从一数是90＝2×32×5.就知道另一数是22×3×5＝60.
解法二：另一数一定是最大公约数30的整数倍，也就是在下面这些数中去找
30， 60， 90， 120，….
这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是180，最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是．逐一去检验，有时会较费力．
4．甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少？
【答案】18
【分析】两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子，并且这些质因数的个数为两数中此质因数的个数的最大值，如，，则、的最小公倍数含有质因子2，3，5，7，11，并且它们的个数为、中含有此质因子较多的那个数的个数.即依次含有3个，3个，2个，1个，1个，故。
【详解】对90分解质因数： ，因为126是甲的倍数，又126不是5的倍数，所以甲中不含因数5，如果乙也不含因数5，那么甲、乙的最小公倍数也不含因数5，但90是5的倍数，所以乙含有因数5，因为105不是2的倍数，所以乙也不是2的倍数，即乙中不含因数2，于是甲必含有因数2，因为105不是9的倍数，所以乙也不是9的倍数，即乙最多含有1个因数3，由于甲、乙两数的最小公倍数是90，90中含有2个因数3，所以甲必含有2个因数3，那么甲。
5．于老师买来48本笔记本和36支铅笔作为“泉城童话”绘画比赛的奖品，每样都平均分给每一位获奖同学，而且都正好分完。最多有多少个同学获奖？
【答案】12个
【详解】48＝2×2×2×2×3
36＝2×2×3×3
48和36的最大公因数是2×2×3＝12
答：最多有12个同学获奖。
6．两根钢筋分别长为24米和18米，现把它截成同样长的小段，且无剩余，每段最长可截成多少米？一共可截成多少段？
【答案】6米，7段
【分析】根据题意，可计算出18与24的最大公约数，即是每根小段的最长，然后再用18除以最大公约数加上24除以最大公约数的商，即是一共截成的段数，列式解答即可得到答案．解答此题的关键是利用求最大公约数的方法计算出每小段的长度，然后再计算每根钢筋可以截成的段数，再相加即可．
【详解】解：24=2×2×2×3
18=2×3×3
24和18的最大公因数是2×3=6
24÷6=4
18÷6=3
4+3=7（段）．
答：每段最长可截成6米，一共可截成7段
7．爸爸、妈妈都绕操场跑步，爸爸跑一圈要5分钟，妈妈跑一圈要6分钟．如果同时起跑，至少多少分钟后两人在起点再次相遇？此时，爸爸、妈妈分别跑了多少圈？
【答案】至少30分钟后两人在起点再次相遇．此时，爸爸跑了6圈，妈妈跑了5圈．
【详解】5×6=30（分钟）30÷5=6（圈）
30÷6=5（圈）
答：如果同时起跑，至少30分钟后两人在起点再次相遇．此时，爸爸跑了6圈，妈妈跑了5圈．
8．五（1）班有43个同学，如果每3人分一组，至少再来几人才能正好分完？如果5人分一组，至少去掉几人？
【答案】2人 3人
【详解】如果每3人分一组，那么人数是3的倍数，也就是各个数位上数字之和是3的倍数，这样根据原来数字之和去掉再加上的人数即可；如果每5人分一组，那么人数是5的倍数，也就是末位数字是0或5，由此计算至少去掉的人数即可．
解：4+3=7，7+2=9，至少再加上2才是3的倍数；
43-3=40，至少去掉3人才是5的倍数．
答：至少再来2人才能正好分完；至少去掉3人．
9．如果满天星8天浇一次水，君子兰6天浇一次水，今天两棵花同时浇了水，至少几天后这两种花才可同时浇水？
【答案】24天
【详解】求出8和6的最小公倍数就是至少经过的天数，把8和6都分解质因数，然后把公有的质因数和独有的质因数相乘就是两个数的最小公倍数．
解：8=2×2×2，6=2×3，8和6的最小公倍数是2×2×2×3=24
答：至少24天后这两种花才可同时浇水．
10．王老师要把108个苹果装在小袋子里，如果2个装一袋，能正好装完吗？3个装一袋呢？5个装一袋呢？
【答案】108个苹果，如果2个装一袋能正好装完；3个装一袋能正好装完；5个装一袋不能正好装完．
【详解】略
11．学校植树，每行栽12棵、16棵或20棵三种栽法，都刚好排成整行而无剩余．问至少有多少棵树？
【答案】解：12＝2×2×3，
16＝2×2×2×2，
20＝2×2×5，
2×2×3×2×2×5＝240（棵）；
答：至少有240棵树．
【详解】【分析】此题中的条件为12、16、30棵树都能正好排成行，所以找他们的最小公倍数
12．1路和5路公共汽车早上7时同时从起点站发车．1路车每隔6分发一班，5路车每隔9分发一班．列表找出这两路车同时发车的时间，你发现了什么？
【答案】解：两车同时发车的时候就是它们间隔时间相同的时候，也就是找6和9的公倍数
所以同时发车的时候有18、36、54、
【详解】【分析】解决要用到共倍数的知识，求两数的公倍数要先求出这两个数的最小公因数然后相乘，扩大
13．早锻炼时，爸爸发现路边有一排电线杆每相邻两根间的距离是45m，现在要改成60m，如果起点的那根不动，再隔多远又有一根不必移动？
【答案】
再隔3× 5× 3× 4=180(m)又有一根不必移动．
【详解】略
14．一块砖长2dm，宽12cm，高6cm，要堆成一个正方体，至少需要多少块这样的砖？拼成的正方体的体积是多少立方厘米？
【答案】2dm=20cm
拼成的正方体的棱长是2×2×3×5=60(cm)
(60÷20) ×(60÷12)×(60÷ 6)≡3×5×10=150 (块)
60×60×60=216000 (cm3)
【详解】略
15．甲、乙两数不是倍数关系，也不是互质关系，甲数是27，甲、乙两数的最小公倍数是108，乙数是多少？
【答案】108=2× 2× 3× 3× 3
乙数是 2×2×3=12
或2×2×3×3=36
【详解】略
16．有一块长40 cm，宽30 cm的长方形白色纸板，现在要把它分割成若干块正方形纸板，要求每块纸板是最大的正方形，并且没有剩余，正方形纸板的边长是多少厘米？可以分割成多少块正方形纸板？
【答案】10厘米；12块
【详解】因为40和30的最大公因数是10，所以正方形纸板的边长是10 厘米．可以分割成(40÷10)×(30÷10)＝4×3＝12(块)．
17．有三根小棒，分别长12 cm，42 cm，54 cm。要把它们截成同样长的小段，不许有剩余，每小段最长是多少厘米？一共可以截成多少段这样的小段？
【答案】6cm；18段
【详解】12、42和54的最大公因数是6，所以每小段最长是6 cm。
12÷6＋42÷6＋54÷6
＝2＋7＋9
＝9＋9
＝18（段）
答：每小段最长6cm，一共可以截成18段这样的小段。
18．张老师订了两份报纸，其中《电脑报》每5天出一份新报，《参考消息》每7天出一份新报．9月1日这天正好各到了一份新报，下次两份新报同时到是在几月几日？
【答案】10月6日
【详解】略
19．小红和小雪在同一个舞蹈班学习跳舞，小红每3天去一次，小雪每2天去一次，今天她俩在舞蹈班相遇了，至少再过多少天两人会再次相遇？
【答案】至少再过6天两人会再次相遇．
【详解】由题意可知间隔的天数既是3的倍数，又是2的倍数．同时是3和2的倍数最小是6，所以至少再过6天两人会再次相遇．
20．在一张长60厘米，宽48厘米的长方形红纸上裁出同样大小，面积最大的正方形，并且没有剩余．一共可以裁出多少个这样的正方形？
【答案】20个
【详解】试题分析：要裁出面积最大的正方形，先求出裁成的正方形边长最大是多少，即求60和48的最大公因数；求至少可以裁成多少个这样的正方形，用这张纸的面积除以正方形面积即可．
解：60=2×2×3×5，48=2×2×2×2×3；
60和48的最大公因数是：2×2×3=12．
即裁成的正方形边长最大是12厘米．
（60×48）÷（12×12）
=2880÷144
=20（个）
答：一共可以裁出20个这样的正方形．
【点评】解答本题的关键是把问题转化为求最大公因数问题，再根据求最大公因数方法解答即可．
21．甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆一次．甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次．有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？
【答案】至少再过60天他们三人又在图书馆相会．
【详解】从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会，相隔的天数应该是3、4、5的最小公倍数．3、4、5的最小公倍数是60．
22．同学们打羽毛球，每两人一组．每组分6个羽毛球，少10个球；每组分4个羽毛球，少2个球．问：共有多少个同学打羽毛球？有多少个羽毛球？
【答案】8个同学打羽毛球，有14个羽毛球．
【详解】试题分析：根据题意知：每组多发6﹣4=2个羽毛球，则就需要10﹣2=8个羽毛球，据此用除法可求出组数，用组数乘2即得人数，进而可求出羽毛球数；据此解答．
解：（10﹣2）÷（6﹣4）
=8÷2
=4（组）
4×2=8（人）
6×4﹣10
=24﹣10
=14（个）
答：共有8个同学打羽毛球，有14个羽毛球．
【点评】本题属于盈亏问题，关键是根据数量关系“（大亏﹣小亏）÷两次分数差=份数”求出组数．