2026年周口市高三二诊模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份2026年周口市高三二诊模拟考试数学试卷（含答案解析），共18页。试卷主要包含了设，满足，则的取值范围是，已知与之间的一组数据，已知复数，，则等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在中，，，，若，则实数( )
A．B．C．D．
2．函数，，则“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．设，满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知与之间的一组数据：
若关于的线性回归方程为，则的值为（ ）
A．1.5B．2.5C．3.5D．4.5
5．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以再加1；如果它是偶数，则将它除以；如此循环，最终都能够得到.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入的值为，则输出i的值为（ ）
A．B．C．D．
6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数值的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知复数满足，其中是虚数单位，则复数在复平面中对应的点到原点的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，内接于圆，是圆的直径，，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）种.
A．408B．120C．156D．240
10．已知复数，，则（ ）
A．B．C．D．
11．已知为正项等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则的值是( )
A．29B．30C．31D．32
12．若，则实数的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，则________，________.
14．函数在处的切线方程是____________.
15．已知盒中有2个红球，2个黄球，且每种颜色的两个球均按，编号，现从中摸出2个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好同时包含字母，的概率为________.
16．已知的终边过点，若，则__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列为公差为d的等差数列，，，且，，依次成等比数列，.
（1）求数列的前n项和；
（2）若，求数列的前n项和为.
18．（12分）已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若满足，，，求.
19．（12分）已知动圆恒过点，且与直线相切.
（1）求圆心的轨迹的方程；
（2）设是轨迹上横坐标为2的点，的平行线交轨迹于，两点，交轨迹在处的切线于点，问：是否存在实常数使，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
20．（12分）如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成二面角锐角的余弦值．
21．（12分）已知函数().
（1）讨论的单调性；
（2）若对，恒成立，求的取值范围.
22．（10分）已知函数，若的解集为．
（1）求的值；
（2）若正实数，，满足，求证：．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
将、用、表示，再代入中计算即可.
【详解】
由，知为的重心，
所以，又，
所以，
，所以，.
故选：D
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.
2．B
【解析】
根据函数奇偶性的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
设，若函数是上的奇函数，则，所以，函数的图象关于轴对称.
所以，“是奇函数”“的图象关于轴对称”；
若函数是上的偶函数，则，所以，函数的图象关于轴对称.
所以，“的图象关于轴对称”“是奇函数”.
因此，“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的必要不充分条件.
故选：B.
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数奇偶性的性质判断是解决本题的关键，考查推理能力，属于中等题.
3．C
【解析】
首先绘制出可行域，再绘制出目标函数，根据可行域范围求出目标函数中的取值范围.
【详解】
由题知，满足，可行域如下图所示，
可知目标函数在点处取得最小值，
故目标函数的最小值为，
故的取值范围是.
故选：D.
本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题，属于基础题.
4．D
【解析】
利用表格中的数据，可求解得到代入回归方程，可得，再结合表格数据，即得解.
【详解】
利用表格中数据，可得
又，
．
解得
故选：D
本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.
5．B
【解析】
根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果.
【详解】
输入，不成立，是偶数成立，则，；
不成立，是偶数不成立，则，；
不成立，是偶数成立，则，；
不成立，是偶数成立，则，；
不成立，是偶数成立，则，；
不成立，是偶数成立，则，；
成立，跳出循环，输出i的值为.
故选：B.
本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.
6．C
【解析】
试题分析：根据题意，当时，令，得；当时，令，得
，故输入的实数值的个数为1．
考点：程序框图．
7．B
【解析】
利用复数的除法运算化简z, 复数在复平面中对应的点到原点的距离为利用模长公式即得解.
【详解】
由题意知复数在复平面中对应的点到原点的距离为
故选：B
本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.
8．B
【解析】
根据已知证明平面，只要设，则，从而可得体积，利用基本不等式可得最大值．
【详解】
因为，所以四边形为平行四边形.又因为平面，平面，
所以平面，所以平面.在直角三角形中，，
设，则，
所以，所
以.又因为，当且仅当，即时等号成立，
所以.
故选：B．
本题考查求棱锥体积的最大值．解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为，用建立体积与边长的函数关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值．
9．A
【解析】
利用间接法求解，首先对6门课程全排列，减去“乐”排在第一节的情况，再减去“射”和“御”两门课程相邻的情况，最后还需加上“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻的情况；
【详解】
解：根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有（种），
当“乐”排在第一节有（种），
当“射”和“御”两门课程相邻时有（种），
当“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻时有（种），
则满足“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻的排法有（种），
故选：．
本题考查排列、组合的应用，注意“乐”的排列对“射”和“御”两门课程相邻的影响，属于中档题．
10．B
【解析】
分析：利用的恒等式，将分子、分母同时乘以 ，化简整理得
详解： ，故选B
点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意符号的正、负问题.
11．B
【解析】
设正项等比数列的公比为q，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求．
【详解】
设正项等比数列的公比为q，
则a4=16q3，a7=16q6，
a4与a7的等差中项为，
即有a4+a7=，
即16q3+16q6，=，
解得q=（负值舍去），
则有S5===1．
故选C．
本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题．
12．A
【解析】
将化成以 为底的对数，即可判断 的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出 与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系.
【详解】
依题意，由对数函数的性质可得.
又因为，故.
故选:A.
本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小；若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据诱导公式和二倍角公式计算得到答案.
【详解】
，故.
故答案为：；.
本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于简单题.
14．
【解析】
求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】
，则，，.
因此，函数在处的切线方程是，
即.
故答案为：.
本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.
15．
【解析】
根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数，让两个球颜色不相同的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【详解】
从袋中任意地同时摸出两个球共种情况，其中有种情况是两个球颜色不相同；
故其概率是
故答案为：．
本题主要考查了求事件概率，解题关键是掌握概率的基础知识和组合数计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
16．
【解析】
】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．
【详解】
∵的终边过点，若，
．
即答案为-2.
本题主要考查任意角的三角函数的定义和诱导公式，属基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）
【解析】
（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项求出公差，从而求出，再利用等比数列的前项和公式即可求解.
（2）由（1）求出，再利用裂项求和法即可求解.
【详解】
（1），且，，依次成等比数列，，
即：，，，
，，
；
（2），
.
本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、等比数列的前项和公式、裂项求和法，需熟记公式，属于基础题.
18．（1）；（2）
【解析】
（1）化简得到，取，解得答案.
（2），解得，根据余弦定理得到，再用一次余弦定理解得答案.
【详解】
（1）.
取，解得.
（2）,
因为， 故，.
根据余弦定理：，.
.
本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，余弦定理，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
19．（1）；（2）存在，.
【解析】
（1）根据抛物线的定义，容易知其轨迹为抛物线；结合已知点的坐标，即可求得方程；
（2）由抛物线方程求得点的坐标，设出直线的方程，利用导数求得点的坐标，联立直线的方程和抛物线方程，结合韦达定理，求得，进而求得与之间的大小关系，即可求得参数.
【详解】
（1）由题意得，点与点的距离始终等于点到直线的距离，
由抛物线的定义知圆心的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
则，.∴圆心的轨迹方程为.
（2）因为是轨迹上横坐标为2的点，
由（1）不妨取，所以直线的斜率为1.
因为，所以设直线的方程为，.
由，得，则在点处的切线斜率为2，
所以在点处的切线方程为.
由得所以，
所以.
由消去得，
由，得且.
设，，
则，.
因为点，，在直线上，
所以，，
所以
，
所以.
∴
故存在，使得.
本题考查抛物线轨迹方程的求解，以及抛物线中定值问题的求解，涉及导数的几何意义，属综合性中档题.
20．（1）证明见详解；（2）.
【解析】
（1）取中点为，通过证明//，进而证明线面平行；
（2）取中点为，以为坐标原点建立直角坐标系，求得两个平面的法向量，用向量法解得二面角的大小.
【详解】
（1）证明：取的中点，连结，，如下图所示：
在中，因为 为的中点，
，且，
又为的中点，，
，且，
，且，
四边形为平行四边形，
又平面，平面，
平面，即证.
（2）取中点，连结，，则，平面，
以为原点，分别以，，为，，轴，
建立空间直角坐标系，如下图所示：
则，，，，，
，，，
设平面的一个法向量，
则，则，
令．则，
同理得平面的一个法向量为，
则，
故平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.
本题考查由线线平行推证线面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合中档题.
21．（1）①当时，在上单调递减，在上单调递增；②当时， 在上单调递增；
（2）.
【解析】
（1）求出函数的定义域和导函数， ，对讨论，得导函数的正负，得原函数的单调性；（2）法一: 由得，
分别运用导函数得出函数()，的单调性，和其函数的最值，可得 ，可得的范围;
法二:由得，化为令()，研究函数的单调性，可得的取值范围.
【详解】
（1）的定义域为，，
①当时，由得，得，
在上单调递减，在上单调递增；
②当时，恒成立,在上单调递增；
（2）法一: 由得，
令()，则，在上单调递减，
，，即，
令，
则，在上单调递增，，在上单调递减，所以，即，
(*)
当时，，(*)式恒成立，即恒成立，满足题意
法二:由得，，
令()，则，在上单调递减，
，，即，
当时，由(Ⅰ)知在上单调递增，恒成立，满足题意
当时，令，则，所以在上单调递减，
又，当时，，，使得，
当时，，即，
又，，，不满足题意，
综上所述，的取值范围是
本题考查对于含参数的函数的单调性的讨论，不等式恒成立时，求解参数的范围，属于难度题.
22．（1）；（2）证明见详解.
【解析】
（1）将不等式的解集用表示出来，结合题中的解集，求出的值；
（2）利用柯西不等式证明.
【详解】
解：（1），，
，
因为的解集为，所以，
；
（2）由（1）
由柯西不等式，
当且仅当，，，等号成立．
本题考查了绝对值不等式的解法，利用柯西不等式证明不等式的问题，属于中档题.
1
2
3
4
3.2
4.8
7.5