2026年高考数学一轮专题训练：集合 [含答案]

这是一份2026年高考数学一轮专题训练：集合 [含答案]，共15页。
A．{5}B．{2，5}C．{0，5}D．{2，3，4}
2．（2025•东城区一模）已知集合A={(x，y)|y=x2−1}，B＝{（x，y）|y＝a|x+a|}．如果A∩B有且只有两个元素，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）
C．[0，1]D．[0，1）∪（1，+∞）
3．（2025春•济宁校级月考）已知集合A＝{﹣2，1，3，4}，B＝{x||x﹣2|＜m，x∈R}，若A∩∁RB＝∅，则实数m取值范围为（ ）
A．m＞4B．m≥4C．m≤2D．m＞2
4．（2025春•漳州月考）已知集合A＝{x|2x﹣1＜0}，B＝{x|ex＜2}，则（ ）
A．A∪B={x|x＜12}B．A∩B＝{x|x＜ln2}
C．A∪（∁RB）＝RD．B∪（∁RA）＝R
5．（2025•安徽模拟）若集合A＝{x|（x﹣3）（x﹣20）＜0}，B＝{x|x为质数}，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．（2025•赣州模拟）设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈A，i＝1，2，3，4，5}，那么集合B中满足1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3的元素的个数为（ ）
A．60B．100C．120D．130
7．（2025•沙坪坝区校级模拟）已知集合A∪B∪C＝{b1，b2，b3，b4，b5}，且B∩C＝{b1，b2，b3}，则集合A，B，C所有可能的情况种数为（ ）
A．216B．200C．27D．25
8．（2024秋•昌平区期末）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤4，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数是（ ）
A．49B．62C．109D．77
二．多选题（共4小题）
9．（2025•郫都区校级模拟）对于集合S，若存在集合S的两两不同的子集A1，A2，…，Ak，k≥1满足A1⊆A2⊆…⊆Ak，则称其为集合S的一条“链”，称k为这条“链”的长度．当集合S的元素个数|S|＝n时，下列说法正确的是（ ）
A．集合S的最长“链”的长度为n+1
B．任意两个集合都可以出现在同一个“链”中
C．当|S|＝4时，该集合的任意两条长为4的“链”中一定具有相同集合
D．集合S的最长“链”的总数为n!
10．（2024秋•宜春校级期中）设M，N，P为非空实数集，定义MN＝{z|z＝xy，x∈M，y∈N}，则（ ）
A．M{1}＝MB．M{0}＝{1}
C．MN＝NMD．（MN）P＝M（NP）
11．（2024秋•广安区校级期中）给定实数集A，定义集合M＝{m∈R|任意a∈A，都有m≥a}，若M是非空集合，则称集合M中最小的元素为集合A的上确界，记作supA．以下说法正确的是（ ）
A．若数集A中有2024个元素，则数集A一定有上确界
B．若数集A中没有最大值，则数集A中一定没有上确界
C．若数集A，B有上确界，则数集{a+b|a∈A，b∈B}一定也有上确界，为supA+supB
D．若数集A，B有上确界，则数集{ab|a∈A，b∈B}一定也有上确界，为supAsupB
12．（2024秋•沙坪坝区校级期中）已知集合A＝{a1，a2，a3，…，an，…}，B＝{b1，b2，b3，…，bn，…}，其中a1＜a2＜a3＜…＜an＜…，b1＜b2＜b3＜…＜bn＜…，且满足：A∪B＝N+，A∩B＝∅，若对于B中的元素k，在A中至少存在两个不同元素ai1，ai2，…，aim(m≥2)，使得k=ai1+ai2+⋯+aim，则称集合A具有性质P（k），下列选项正确的有（ ）
A．若集合A是由所有正奇数组成的集合，则集合A具有性质P（4）
B．若集合A是由所有正偶数组成的集合，则集合A具有性质P（3）
C．若a1＝1，b1≥3，则集合A具有性质P（b1）
D．若a1＝1，b1≥4且b2为奇数，则集合A具有性质P（b1）和P（b2），但不具有性质P（b2﹣b1）
三．填空题（共4小题）
13．（2025春•修文县校级期中）设集合M＝{α|α＝（a1，a2，a3，a4），ai∈{0，1}，i＝1，2，3，4}，对α＝（a1，a2，a3，a4）∈M和β＝（b1，b2，b3，b4）∈M，定义：α⊗β=i=14 aibi．已知集合N是M的子集，对任意α∈N，β∈N满足：当ai＝bi，∀i∈{1，2，3，4}时，α⊗β为偶数，否则α⊗β为奇数，则N中元素个数的最大值为 ．
14．（2025•虹口区二模）记|A|为有限集合A中的元素个数．设ω＞0，Sω＝{θ|22025+ω•θ能被7整除}，若对于任意实数a和任意正整数n，恒有|Sω∩（a，a+ne﹣0.5n）|≤3，则实数ω的取值范围是 ．
15．（2025•江苏模拟）已知非空集合M满足M⊆{0，1，2，…n}（n≥2，n∈N+）．若存在非负整数k（k≤n），使得当a∈M时，均有2k﹣a∈M，则称集合M具有性质P．设具有性质P的集合M的个数为f（n），求f（9）﹣f（8）的值为 ．
16．（2024秋•江宁区校级期末）设n正整数，集合A={x|x=cs2kπn，k∈N}，当n＝3，集合A有 个元素．
四．解答题（共4小题）
17．（2025•泰安模拟）全集Q＝{a0，a1，a2，⋯，an}，a∈N*，n∈N，若Q中存在两个非空子集M，N，满足M∩N＝∅，M∪N＝Q，则称M，N是Q的一个“组合分拆”，用T（C）表示集合C的所有元素的和．
（1）若a＝3．
①若n＝5，M＝{x|x＝32k，k＝0，1，2}，求T（N）；
②若n为偶数，证明：T（M）≠T（N）；
（2）若a＝2，n为给定的偶数，关于x的方程x2+T（M）x+T（N）＝0存在有理数解，求T（M）的最小值，并写出取得最小值时的一个集合M．
18．（2025•武汉模拟）已知集合A＝{x|x＝m+3n，m∈Z，n∈Z}，集合B满足B＝{x|x∈A且1x∈A}．
（1）判断2+3，3−3，0，7+43中的哪些元素属于B；
（2）证明：若x∈B，y∈B，则xy∈B；
（3）证明：若x＝m+3n∈B，则m2﹣3n2＝1．
19．（2025春•闵行区校级期中）已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数a、c∈M，b∉M且a＜b＜c时，称M为“间断整数集”．进一步地，若“间断整数集”M中任意两个元素的差的绝对值最小为t，则称M为“t﹣间断整数集”．已知集合N＝{x|1≤x≤10，x∈Z}．
（1）若集合N的三元子集{a，5，8}是“2﹣间断整数集”，求符合条件的元素a所构成的集合；
（2）若集合N的四元子集A＝{a1，a2，a3，a4}是“1﹣间断整数集”，求集合A的个数；
（3）求集合N的所有子集中，“间断整数集”的个数．
20．（2025•嘉兴模拟）记集合A，B为集合S＝{1，2，3，…，n}（n∈N*）的两个子集，且满足A∪B＝S，A∩B＝∅．定义：f(A，B)=|a∈A a−b∈B b|(a∈A a，b∈B b分别表示集合A，B中所有元素的和）．
（1）当n＝4时，求f（A，B）的所有可能的值；
（2）求f（A，B）的最小值；
（3）设k为不超过n(n+1)2的自然数，且k与n(n+1)2的奇偶性相同，证明：存在A，B，使得f（A，B）＝k．
集合
答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025•泰安模拟）若全集U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{1，5}，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．{5}B．{2，5}C．{0，5}D．{2，3，4}
【考点】集合的交并补混合运算．
【专题】集合思想；定义法；集合；运算求解．
【正确答案】A
【分析】求出∁UA，根据交集定义即可得．
解：全集U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{1，5}，
则∁UA＝{0，4，5}，（∁UA）∩B＝{5}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
2．（2025•东城区一模）已知集合A={(x，y)|y=x2−1}，B＝{（x，y）|y＝a|x+a|}．如果A∩B有且只有两个元素，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）
C．[0，1]D．[0，1）∪（1，+∞）
【考点】集合交集关系的应用．
【专题】集合思想；定义法；集合；逻辑思维．
【正确答案】D
【分析】先分析出曲线y=x2−1表示的是双曲线x2﹣y2＝在x轴上及上方的所有点，再分情况讨论当a取不同值时，y＝a|x+a|表示的不同曲线，及与曲线y=x2−1的交点个数情况即可得到结果．
解：因为A∩B有且只有两个元素，
所以曲线y=x2−1与y＝a|x+a|有且只有两个交点，
对于曲线y=x2−1变形可得x2﹣y2＝1（y≥0），
表示的是双曲线x2﹣y2＝在x轴上及上方的所有点，
对于曲线y＝a|x+a|，
（1）当a＝0时，如图所示，y＝a|x+a|表示的是一条直线y＝0，
与x2﹣y2＝1（y≥0）交于（1，0），（﹣1，0）两点，符合题意；
（2）当a＜0时，y＝a|x+a|≤0，与x2﹣y2＝1（y≥0）至多有一个交点，不符合题意；
（3）当a＞0时，y＝a|x+a|表示的是两条射线，
y=a(x+a)(x≥−a)−a(x+a)(x＜−a)，
①当a＝1时，y＝a|x+a|表示的是y＝x+1（x≥﹣1）和y＝﹣（x+1）（x＜﹣1）两条射线，
与x2﹣y2＝1（y≥0）仅有（﹣1，0）一个交点，如下图所示，所以a＝1不符合题意；
②当0＜a＜1时，y＝a|x+a|与x轴的交点为（﹣a，0），﹣a∈（﹣1，0），
且y＝a（x+a）的斜率a∈（0，1），y＝﹣a（x+a）的斜率﹣a∈（﹣1，0），
而双曲线x2﹣y2＝1的两条渐近线为y＝±x，斜率分别为1和﹣1，
所以y＝a|x+a|与x2﹣y2＝1（y≥0）的左右两支各有一个交点，
如下图所示，所以0＜a＜1符合题意；
③当a＞1时，y＝a|x+a|与x轴的交点为（﹣a，0），﹣a＜﹣1，
且y＝a（x+a）的斜率a＞1，y＝﹣a（x+a）的斜率﹣a＜﹣1，
而双曲线x2﹣y2＝1的两条渐近线为y＝±x，斜率分别为1和﹣1，
所以y＝a|x+a|与x2﹣y2＝1（y≥0）的右支没有交点，与左支有两个交点，
如下图所示，所以a＞1符合题意．
综上，实数a的取值范围为[0，1）∪（1，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查集合的综合应用，属于难题．
3．（2025春•济宁校级月考）已知集合A＝{﹣2，1，3，4}，B＝{x||x﹣2|＜m，x∈R}，若A∩∁RB＝∅，则实数m取值范围为（ ）
A．m＞4B．m≥4C．m≤2D．m＞2
【考点】集合的交并补混合运算．
【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．
【正确答案】A
【分析】根据集合B计算∁RB，利用A∩∁RB＝∅求参数的取值范围．
解：由B＝{x‖x﹣2|＜m，x∈R}得，B＝{x|2﹣m＜x＜2+m}，
∴∁RB＝{x|x≤2﹣m或x≥2+m}，
由A∩∁RB＝∅得，B≠∅，m＞0．
集合A＝{﹣2，1，3，4}，
则2−m＜−22+m＞4，解得m＞4．
故选：A．
【点评】本题主要考查集合的混合运算，属于中档题．
4．（2025春•漳州月考）已知集合A＝{x|2x﹣1＜0}，B＝{x|ex＜2}，则（ ）
A．A∪B={x|x＜12}B．A∩B＝{x|x＜ln2}
C．A∪（∁RB）＝RD．B∪（∁RA）＝R
【考点】集合的交并补混合运算；指、对数不等式的解法．
【专题】方程思想；转化法；集合；运算求解．
【正确答案】D
【分析】求得集合A，B，利用交并补的意义逐项计算判断即可．
解：因为B＝{x|ex＜2}＝{x|x＜ln2}，集合A={x|2x−1＜0}={x|x＜12}，
12=12lne=lne12=lne＜ln4=ln2，所以A∪B＝{x|x＜ln2}，故A错误．
A∩B={x|x＜12}，故B错误．
A∪(∁RB)={x|x＜12}∪{x|x≥ln2}=∅≠R，故C错误．
B∪(∁RA)={x|x＜ln2}∪{x|x≥12}=R，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的混合运算，属于中档题．
5．（2025•安徽模拟）若集合A＝{x|（x﹣3）（x﹣20）＜0}，B＝{x|x为质数}，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【考点】求集合的交集．
【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．
【正确答案】C
【分析】结合交集的定义，即可求解．
解：集合A＝{x|（x﹣3）（x﹣20）＜0}＝{x|3＜x＜20}，B＝{x|x为质数}，
则A∩B＝{5，7，11，13，17，19}，
故A∩B中元素的个数为6．
故选：C．
【点评】本题考查一元二次不等式的解集与集合的交集，属于基础题．
6．（2025•赣州模拟）设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈A，i＝1，2，3，4，5}，那么集合B中满足1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3的元素的个数为（ ）
A．60B．100C．120D．130
【考点】集合中元素个数的最值；元素与集合关系的判断．
【专题】整体思想；综合法；集合；排列组合；运算求解．
【正确答案】D
【分析】明确集合B中满足1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3的含义，结合组合数的计算，即可求得答案．
解：由题意知集合B中满足1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3的元素的个数，
即指x1，x2，x3，x4，x5中取值为﹣1或1的个数和为1或2或3，
故满足条件的元素的个数为C51×2+C52×22+C53×23=10+40+80=130（个），
故选：D．
【点评】本题以集合为载体，主要考查了组合数的应用，属于中档题．
7．（2025•沙坪坝区校级模拟）已知集合A∪B∪C＝{b1，b2，b3，b4，b5}，且B∩C＝{b1，b2，b3}，则集合A，B，C所有可能的情况种数为（ ）
A．216B．200C．27D．25
【考点】求集合的交集．
【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．
【正确答案】B
【分析】设初始状态为b1，b2，b3∈B，b1，b2，b3∈C，A＝∅，将b1，b2，b3，b4，b5放入三个集合，得出b1，b2，b3，b4，b5每一个元素的放法数，根据分步计数原理，即可得答案．
解：集合A∪B∪C＝{b1，b2，b3，b4，b5}，且B∩C＝{b1，b2，b3}，
设初始状态为b1，b2，b3∈B，b1，b2，b3∈C，A＝∅，
现将b1，b2，b3，b4，b5放入三个集合，
b1有两种放法，放在集合A或不放集合A；
b2，b3同b1，有两种放法；
对于b4，分两种情况：放在集合A或不放集合A；
当b4放在集合A，可以不放集合B与集合C中，也可以放在其中一个集合，但不能同时放在集合C，B中，共3种放法；
当b4不放在集合A，必须放在集合B或集合C中，共2种放法；
故对于b4，共有5种放法；
b5同b4，共有5种放法；
由分步乘法计数原理得，共有2×2×2×5×5＝200种．
故选：B．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于中档题．
8．（2024秋•昌平区期末）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤4，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数是（ ）
A．49B．62C．109D．77
【考点】判断元素与集合的属于关系．
【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用；逻辑思维．
【正确答案】C
【分析】作出集合A、集合B表示的整点图形，结合向量的线性运算及其坐标表示可求解．
解：在坐标系内作出集合A、集合B的整点图形，则集合A⊕B中元素为图中虚线格子格点去掉四个角上的（5，5），（5，4），（4，5），（﹣5，﹣5），（﹣5，﹣4），（﹣4，﹣5），（5，﹣5），（5，﹣4），（4，﹣5），（﹣5，5），（﹣5，4），（﹣4，5）共12个点，
所以集合A⊕B中元素个数为11×11﹣12＝109个．
故选：C．
【点评】本题主要考查平面向量的线性运算及数形结合思想的运用．
二．多选题（共4小题）
9．（2025•郫都区校级模拟）对于集合S，若存在集合S的两两不同的子集A1，A2，…，Ak，k≥1满足A1⊆A2⊆…⊆Ak，则称其为集合S的一条“链”，称k为这条“链”的长度．当集合S的元素个数|S|＝n时，下列说法正确的是（ ）
A．集合S的最长“链”的长度为n+1
B．任意两个集合都可以出现在同一个“链”中
C．当|S|＝4时，该集合的任意两条长为4的“链”中一定具有相同集合
D．集合S的最长“链”的总数为n!
【考点】元素与集合的属于关系的应用．
【专题】计算题；集合思想；集合；运算求解．
【正确答案】AC
【分析】通过集合的子集链概念，去推断子集包含关系、链的长度及计数．
解：选项A分析：最长链的长度：若集合S有n个元素，则最长链为∅⊆{a1}⊆{a1，a2}⊆⋯⊆S，
共n+1个子集，长度为n+1．因此A正确；
选项B分析：若两集合无包含关系（如{a}和{b}，则无法出现在同一条链中．因此B错误；
选项C分析：长为4的链的唯一性：当|S|＝4时，长为4的链必须包含空集、单元素集、双元素集、三元素集和全集．
例如，链0⊆{a}⊆{a，b}⊆{a，b，c}⊆S与0⊆{d}⊆{d，c}⊆{d，c，b}⊆S均包含相同的集合．因此C正确；
选项D分析：最长链的总数：如果每个元素不同，则每个元素添加顺序不同对应不同链，总数为n!．
例如，|S|＝3时，链的总数为3!＝6，如果有两个元素相同则不成立，因此D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查元素与集合的属于关系的应用，属于中档题．
10．（2024秋•宜春校级期中）设M，N，P为非空实数集，定义MN＝{z|z＝xy，x∈M，y∈N}，则（ ）
A．M{1}＝MB．M{0}＝{1}
C．MN＝NMD．（MN）P＝M（NP）
【考点】元素与集合的属于关系的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；运算求解．
【正确答案】ACD
【分析】根据定义逐项判断可得答案．
解：对于选项A，由MN＝{z|z＝xy，x∈M，y∈N}得，M{1}＝M显然成立，故选项A正确；
对于选项B，由MN＝{z|z＝xy，x∈M，y∈N}得，M{0}＝{0}≠{1}，故选项B错误；
对于选项C，设x∈M，y∈N，则MN＝{z|z＝xy，x∈M，y∈N}，
NM＝{z|z＝xy，x∈M，y∈N}，所以MN＝NM成立，故选项C正确；
对于选项D，设x∈M，y∈N，z∈P，则MN＝{n|n＝xy，x∈M，y∈N}，
所以（MN）P＝{t|t＝nz＝xyz，x∈M，y∈N，z∈P}，
又NP＝{m|m＝yz，y∈N，z∈P}，
所以M（NP）＝{h|h＝xm＝xyz，x∈M，y∈N，z∈P}，
所以（MN）P＝M（NP）成立，故选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查集合的性质，注意赋值法的运用，考查运算能力，属于中档题．
11．（2024秋•广安区校级期中）给定实数集A，定义集合M＝{m∈R|任意a∈A，都有m≥a}，若M是非空集合，则称集合M中最小的元素为集合A的上确界，记作supA．以下说法正确的是（ ）
A．若数集A中有2024个元素，则数集A一定有上确界
B．若数集A中没有最大值，则数集A中一定没有上确界
C．若数集A，B有上确界，则数集{a+b|a∈A，b∈B}一定也有上确界，为supA+supB
D．若数集A，B有上确界，则数集{ab|a∈A，b∈B}一定也有上确界，为supAsupB
【考点】元素与集合的属于关系的应用．
【专题】转化思想；综合法；集合；运算求解；新定义类．
【正确答案】AC
【分析】根据上确界的定义即可判断AC；举出反例即可判断BD．
解：对于A，若数集A中有2024个元素，则数集A中的元素一定有最大值，
所以数集A一定有上确界，故A正确；
对于B，若A＝{x|x=1n，n＞1}，当n＞1时，x=1n＜1，
则数集A中的元素没有最大值，
因为∀a∈A，都有m≥a，所以m≥1，
所以supA＝1，即数集A中有上确界，故B错误；
对于C，若数集A，B有上确界，设supA＝m，supB＝n，
由上确界的定义可知：对于∀a∈A，b∈B，都有a≤m，b≤n，
所以a+b≤m+n，
即sup{a+b|a∈A，b∈B}＝m+n＝supA+supB，故C正确；
对于D，若A＝{﹣2，﹣1}，B＝{1，2}，
则数集A，B有上确界，且supA＝﹣1，supB＝2，
此时{ab|a∈A，b∈B}＝{﹣4，﹣2，﹣1}，
则sup{ab|a∈A，b∈B}＝﹣1≠﹣2＝supAsupB，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查新定义的应用，集合的综合应用，属中档题．
12．（2024秋•沙坪坝区校级期中）已知集合A＝{a1，a2，a3，…，an，…}，B＝{b1，b2，b3，…，bn，…}，其中a1＜a2＜a3＜…＜an＜…，b1＜b2＜b3＜…＜bn＜…，且满足：A∪B＝N+，A∩B＝∅，若对于B中的元素k，在A中至少存在两个不同元素ai1，ai2，…，aim(m≥2)，使得k=ai1+ai2+⋯+aim，则称集合A具有性质P（k），下列选项正确的有（ ）
A．若集合A是由所有正奇数组成的集合，则集合A具有性质P（4）
B．若集合A是由所有正偶数组成的集合，则集合A具有性质P（3）
C．若a1＝1，b1≥3，则集合A具有性质P（b1）
D．若a1＝1，b1≥4且b2为奇数，则集合A具有性质P（b1）和P（b2），但不具有性质P（b2﹣b1）
【考点】元素与集合的属于关系的应用．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解；新定义类．
【正确答案】ACD
【分析】对于ABC：根据性质P（k）的定义直接判断即可；对于D：结合选项C判断性质P（b1），分b2＝b1+1和b2＞b1+1两种情况，判断P（b2）；分b2＜2b1和b2＞2b1两种情况，判断P（b2﹣b1）．
解：对于B中的元素k，在A中至少存在两个不同元素ai1，ai2，…，aim(m≥2)，k=ai1+ai2+⋯+aim，则称集合A具有性质P（k），
A选项，显然A＝{1，3，5，…}，B＝{2，4，6，…}，4∈B且4＝1+3，所以A正确；
B选项，A＝{2，4，6，…}，B＝{1，3，5，…}，但A中没有两个或两个以上元素和为3，所以B错误；
C选项，因为a1＝1，b1≥3，b1是B中元素的最小者，
可知集合A中一定有1，2，3，…，b1﹣1这些元素，
且b1＝1+（b1﹣1），则集合A具有性质P（b1），所以C正确；
D选项，因为a1＝1，b1≥4且b2为奇数，b1是B中元素的最小者，
可知集合A中一定有1，2，3，…，b1﹣1这些元素，
且b1＝1+（b1﹣1），则集合A具有性质P（b1），
b2是B中元素的第二小者，
1．若b2＝b1+1，因为b1≥4，则b2＝（b1﹣1）+2，所以集合A具有性质P（b2）；
2．若b2＞b1+1，则A集合中一定有1，2，3，…，b1﹣1，b1+1，…，b2﹣1这些元素，
且b2＝（b2﹣1）+1，则集合A具有性质P（b2）；
综上所述：集合A具有性质P（b2）．
因为b2为奇数，则b2≠2b1
①若b2＜2b1，则b2﹣b1＜b1，此时b2﹣b1∈A⇒b2﹣b1∉B；
②若b2＞2b1，则b1＜b2﹣b1＜b2，此时b2﹣b1∈A⇒b2﹣b1∉B；
综上：集合不具有性质P（b2﹣b1），所以D正确．
故选：ACD．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了元素与集合关系的应用，属于难题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025春•修文县校级期中）设集合M＝{α|α＝（a1，a2，a3，a4），ai∈{0，1}，i＝1，2，3，4}，对α＝（a1，a2，a3，a4）∈M和β＝（b1，b2，b3，b4）∈M，定义：α⊗β=i=14 aibi．已知集合N是M的子集，对任意α∈N，β∈N满足：当ai＝bi，∀i∈{1，2，3，4}时，α⊗β为偶数，否则α⊗β为奇数，则N中元素个数的最大值为 5 ．
【考点】集合中元素个数的最值．
【专题】计算题；新定义；转化思想；分析法；集合；逻辑思维；新定义类．
【正确答案】5．
【分析】先列举出两个元素α和β的取值，再结合条件，进行分类讨论，即可求解．
解：集合M中任取两个元素α和β对应坐标计算结果如下表：
当ai＝bi，（i＝1，2，3，4）时，α⊗β为偶数，所以集合N中任一元素含有1的个数为0，2或4，分别如下，
①（0，0，0，0）；
②（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1），（0，1，1，0），（0，1，0，1），（0，0，1，1）；
③（1，1，1，1），根据题意，可知集合N中至多含以上8个元素，
当α和β不同时，因为α⊗β为奇数，所以α和β的四个对应位置都为1的恰有1个或3个，
若N中不含第②类元素，则N中至多1个元素，
若N中含第②类元素，不妨设（1，1，0，0）∈N，则第①和③类的两个元素不在N中，
对于第②类元素，（0，0，1，1）不在N中，其余都可以是N的元素，
所以集合N中元素个数的最大值为5，
故5．
【点评】本题考查新定义问题，侧重考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．
14．（2025•虹口区二模）记|A|为有限集合A中的元素个数．设ω＞0，Sω＝{θ|22025+ω•θ能被7整除}，若对于任意实数a和任意正整数n，恒有|Sω∩（a，a+ne﹣0.5n）|≤3，则实数ω的取值范围是 (0，21e2] ．
【考点】集合中元素个数的最值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；运算求解；新定义类．
【正确答案】(0，21e2]．
【分析】分析可知，集合Sω中的元素θ只需满足ωθ+1能被7整除即可，设ωθ+1＝7k（k∈Z），则θ需取以7ω为间隔的等间隔分布的实数，可知区间（a，a+n−12n）中最多只能找到三个θ值，即求ne−12x的最大值，利用导数求出函数f(x)=xe−12的最大值为2e，则任意一段长度不超过2e的区间里最多只能找到三个θ值，由此可得出关于ω的不等式，解之即可．
解：由于22025=820253=(1+7)675=1+C6751⋅7+C6752⋅72+⋯+C675674⋅7674+7675．
所以，22025被7除余数为1，
因此，结合题意ω＞0，Sω＝{θ|22025+ω•θ能被7整除}，
可得集合Sω中的元素θ只需满足ωθ+1能被7整除即可，
设ωθ+1＝7k（k∈Z），从而可得θ=7k−1ω，
即θ需取以7ω为间隔的等间隔分布的实数，
不论实数a和正整数n如何选取，区间（a，a+n−12n）中最多只能找到三个θ值，
考虑到任意性，考虑区间长度最长的情况，即求ne−12n的最大值，
设f(x)=xe−12，其中x∈R，则f′(x)=(1−12x)e−12x，
由f'（x）＞0可得x＜2，由f'（x）＜0可得x＞2，
所以，函数 f（x） 的减区间为（2，+∞），增区间为（﹣∞，2），
所以，f(x)max=f(2)=2e，
因此，问题的要求是在任意一段长度不超过2e的区间里最多只能找到三个θ值，
而θ的取值是以7ω为间隔的，故临界情况是：长度为2e的区间刚好对应3个间隔，
因此，只需3×7ω≥2e，解得0＜ω≤21e2．
故(0，21e2]．
【点评】本题考查了集合元素的个数问题，新定义问题，是中档题．
15．（2025•江苏模拟）已知非空集合M满足M⊆{0，1，2，…n}（n≥2，n∈N+）．若存在非负整数k（k≤n），使得当a∈M时，均有2k﹣a∈M，则称集合M具有性质P．设具有性质P的集合M的个数为f（n），求f（9）﹣f（8）的值为 31 ．
【考点】集合交并补混合关系的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．
【正确答案】见试题解答内容
【分析】当n＝k时，具有性质P的集合M的个数为f（t），当n＝k+1时，f（t+1）＝f（t）+g（t+1），其中g（t+1）表达t+1∈M也具有性质P的集合M的个数，计算g（t+1）关于t的表达式，此时应有2k≥t+1，即k≥t+12，故对n＝t分奇偶讨论，利用集合M具有性质P即可得出．
qev：当n＝2时，M＝{0}，{1}，{2}，{0，2}，{0，1，2}具有性质P，
对应的k分别为0，1，2，1，1，故f（2）＝5．n＝k时，具有性质P的集合M的个数为f（t），
则当n＝k+1时，f（t+1）＝f（t）+g（t+1），
其中g（t+1）表达t+1∈M也具有性质P的集合M的个数，
下面计算g（t+1）关于t的表达式，
此时应有2k≥t+1，即k≥t+12，故对n＝t分奇偶讨论，
①当t为偶数时，t+1为奇数，故应该有k≥t+22，
则对每一个k，t+1和2k﹣t﹣1必然属于集合M，且t和2k﹣t，…，k和k共有t+1﹣k组数，每一组数中的两个数必然同时属于或不属于集合M，
故对每一个k，对应的具有性质P的集合M的个数为Ct+1−k0+Ct+1−k1+Ct+1−k2+⋯+Ct+1−kt+1−k=2t+1﹣k，
所以g（t+1）=2t2+2t−22+⋯+2+1=2×2t2−1．
②当t为奇数时，t+1为偶数，故应该有k≥t+12，
同理g（t+1）=2t+12+2t−12+⋯+2+1=22×2t2−1，
∴f（t+1）=f(t)+2×2t2−1，t为偶数f(t)+22×2t2−t−5，t为奇数，
由累加法得：f（n）=6×2n2−n−5，n为偶数4×2n+12−n−5，n为奇 数，
∴f（9）﹣f（8）＝4×25﹣9﹣5﹣（6×24﹣8﹣5）＝31．
故31．
【点评】本题考查了集合的运算性质、元素与集合之间的关系、组合数的计算公式、新定义，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．
16．（2024秋•江宁区校级期末）设n正整数，集合A={x|x=cs2kπn，k∈N}，当n＝3，集合A有 2 个元素．
【考点】集合中元素个数的最值．
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；运算求解．
【正确答案】2．
【分析】利用余弦函数的周期性求解．
解：由x=cs2kπ3，k∈Z，
令k＝0，1，2，可分别得x＝1，−12，−12，
当k＝3，4，5……，重复刚才出现的函数值，
故A＝{1，−12}，即A有2个元素．
故2．
【点评】本题考查余弦函数的周期性，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025•泰安模拟）全集Q＝{a0，a1，a2，⋯，an}，a∈N*，n∈N，若Q中存在两个非空子集M，N，满足M∩N＝∅，M∪N＝Q，则称M，N是Q的一个“组合分拆”，用T（C）表示集合C的所有元素的和．
（1）若a＝3．
①若n＝5，M＝{x|x＝32k，k＝0，1，2}，求T（N）；
②若n为偶数，证明：T（M）≠T（N）；
（2）若a＝2，n为给定的偶数，关于x的方程x2+T（M）x+T（N）＝0存在有理数解，求T（M）的最小值，并写出取得最小值时的一个集合M．
【考点】元素与集合的属于关系的应用；求函数的最值．
【专题】应用题；集合思想；集合；运算求解．
【正确答案】（1）①T（N）＝3+27+243＝273；②证明见解析；
（2）T（M）最小值为2n+22+2n+42−2，M={1，2，22，⋯，2n2−2，2n2−1，2n2+2}．
【分析】（1）①由题可得集合N，据此可得答案；②注意到T(M)+T(N)=3n+1−12，
通过二项式定理证明3n+1−14不是整数可完成证明；
（2）由题可得T（M）+T（N）＝2n+1﹣1，据此可将方程化为x2+T（M）x+[2n+1﹣1﹣T（M）]＝0，结合其判别式为完全平方数可得T(M)=2x+2y2−2，结合基本不等式及函数知识可得T（M）最小值，最后由题意可得满足条件的M．
解：（1）根据题目全集Q＝{a0，a1，a2，⋯，an}，a∈N*，n∈N，若Q中存在两个非空子集M，N，
满足M∩N＝∅，M∪N＝Q，则称M，N是Q的一个“组合分拆”，用T（C）表示集合C的所有元素的和．
①此时Q＝{1，3，9，⋯，243}，M＝{1，9，81}，
由题可得N＝{3，27，243}，则T（N）＝3+27+243＝273；
②证明：由题可得T(M)+T(N)=1+3+32+⋯+3n=3n+1−13−1=3n+1−12，
T（M），T（N）∈N．
若T（M）＝T（N），则T(M)=T(N)=3n+1−14．
当n为偶数，设n＝2k，k∈N*，则T(M)=32k+1−14=(4−1)2k+1−14．
注意到(4−1)2k+1−1=C2k+1042k+1(−1)0+C2k+1142k(−1)1+C2k+1242k−1(−1)2+⋯
+C2k+12k41(−1)2k+C2k+12k+140(−1)2k+1−1=4T−2，其中T∈N*，
则T（M）不为整数，这与题意不合，故T（M）≠T（N）．
（2）由题：a＝2，n为给定的偶数，关于x的方程x2+T（M）x+T（N）＝0存在有理数解，
此时Q＝{1，2，22，⋯，2n}，n＝2k，k∈N，
则T(M)+T(N)=1+2+22+⋯+2n=2n+1−12−1=2n+1−1．
则x2+T（M）x+T（N）＝0⇔x2+T（M）x+[2n+1﹣1﹣T（M）]＝0，
要使方程存在有理数解，则方程判别式T2（M）﹣4[2n+1﹣1﹣T（M）]＝K2，K∈Q．
注意到T2（M）﹣4[2n+1﹣1﹣T（M）]＝T2（M）+4T（M）+4﹣2n+3＝K2，
则[T（M）+2]2﹣K2＝2n+3⇒[T（M）+2﹣K][T（M）+2+K]＝2n+3，
因T（M），2n+3∈N，则K∈N，
则T(M)+2−K=2xT(M)+2+K=2y，其中x+y＝n+3，x，y∈N，
则2T(M)+4=2x+2y⇒T(M)=2x+2y2−2，
注意到2x+2y=2x+2n+32x，若x，y，n+3为正实数，
则2x+2y=2x+2n+32x≥22n+3=2⋅2n+32，当且仅当x=y=n+32时取等号，
且f(x)=2x+2n+32x在(0，n+32)单调递减，在(n+32，+∞)时单调递增．
则当x，y，n+3为正整数时，x取离n+32最近的整数，
即x=n+22或x=n+42时取最小值，则2x+2y−2≥2n+22+2n+42−2．
T（M）的最小值为2n+22+2n+42−2．
2n+22+2n+42−2=2n2+1−2+2n2+2=2(2n2−1)+2n2+2，
又2n2−1=1+2+22+⋯+2n2−1，
则2n+22+2n+42−2=1+2+22+⋯+2n2−2+2n2−1+2n2+2，
即T（M）取得最小值时的一个集合M可以为：
M={1，2，22，⋯，2n2−2，2n2−1，2n2+2}．
【点评】本题考查元素与集合的属于关系的应用，属于中档题．
18．（2025•武汉模拟）已知集合A＝{x|x＝m+3n，m∈Z，n∈Z}，集合B满足B＝{x|x∈A且1x∈A}．
（1）判断2+3，3−3，0，7+43中的哪些元素属于B；
（2）证明：若x∈B，y∈B，则xy∈B；
（3）证明：若x＝m+3n∈B，则m2﹣3n2＝1．
【考点】元素与集合的属于关系的应用．
【专题】应用题；综合法；集合；运算求解．
【正确答案】（1）2+3∈B，7+43∈B；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析．
【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于A即可；
（2）先证明若x∈A，y∈A，则xy∈A，即可得到1xy∈A从而得证；
（3）依题意可得1x=mm2−3n2+−nm2−3n23∈A从而求出m2﹣3n2＝±1，再说明m2﹣3n2≠﹣1即可．
解：（1）因为12+3=2−3∈A，所以2+3∈B；
因为13−3=3+3(3−3)(3+3)=3+36∉A，所以3−3∉B；
因为0没有倒数，所以0∉B；因为17+43=7−43(7+43)(7−43)=7−43∈A，
所以7+43∈B；综上可得2+3∈B，7+43∈B⋅；
（2）证明：若x∈A，y∈A，则xy∈A；设x=s+3t，y=p+3q，S，t，p，q为整数，
所以xy=(p+3q)(s+3t)=sp+3tq+(sq+tp)3，
由于sp+3tq，sq+tp 都是整数，所以xy∈A，当x∈B，y∈B时，1x∈A，1y∈A，
所以1x⋅1y=1xy∈A，所以 xy∈B；
（3）证明：因为x=m+3n∈B，
所以1x=1m+3n=m−3n(m+3n)(m−3n)=mm2−3n2+−nm2−3n23∈A，
所以mm2−3n2，−nm2−3n2都是整数，
所以(mm2−3n2)2−3(−nm2−3n2)2=m2−3n2(m2−3n2)2=1m2−3n2为整数，
所以m2﹣3n2＝±1，假如m2﹣3n2＝﹣1，则m2+1＝3n2，则m2+1应为3的倍数，
设k为整数，若 m＝3k，则m2+1＝9k2+1不是3的倍数；若 m＝3k+1，
则m2+1＝9k2+6k+2＝3（3k2+2k）+2不是3的倍数；
若 m＝3k+2，则m2+1＝9k2+12k+5＝3（3k2+4k+1）+2不是3的倍数；
所以m2﹣3n2≠﹣1即m2﹣3n2＝1．
【点评】本题考查元素与集合的属于关系的应用，属于中档题．
19．（2025春•闵行区校级期中）已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数a、c∈M，b∉M且a＜b＜c时，称M为“间断整数集”．进一步地，若“间断整数集”M中任意两个元素的差的绝对值最小为t，则称M为“t﹣间断整数集”．已知集合N＝{x|1≤x≤10，x∈Z}．
（1）若集合N的三元子集{a，5，8}是“2﹣间断整数集”，求符合条件的元素a所构成的集合；
（2）若集合N的四元子集A＝{a1，a2，a3，a4}是“1﹣间断整数集”，求集合A的个数；
（3）求集合N的所有子集中，“间断整数集”的个数．
【考点】元素与集合的属于关系的应用．
【专题】应用题；综合法；集合；逻辑思维．
【正确答案】（1）{3，10}；
（2）168；
（3）968．
【分析】（1）根据“2﹣间断整数集”的定义列方程求解即可；
（2）先求所有四元子集的个数，然后减去四个元素都不连续和四个元素连续的个数可得；
（3）用总的子集个数减去空集和单元集合，以及所有元素都连续的子集可得．
解：（1）因为集合{a，5，8}是“2﹣间断整数集”，且8﹣5＝3＞2，
所以|a−5|=2|a−8|≥2或|a−8|=2|a−5|≥2，解得 a＝3，10，所以符合条件的元素a所构成的集合为{3，10}．
（2）因为集合A是1﹣间断整数集”，所以集合A至少有两个连续整数，
且不能四个元素连集合N的四元子集有c104=10×9×8×74×3×2×1=210个，
其中无连续整数的四元子集个数等价于“从6个元素产生的7个空位中插入4个元素”，
所以无连续整数的四元子集个数为C74=35个，又四个元素都连续的集合有7个，
所以，满足条件的集合A的个数为210﹣35﹣7＝168个．
（3）集合N的子集个数为210＝1024个，根据间断整数集的定义可知，0和单元集合不满足题意，共11个；
连续的二元集合有9个，连续的三元集合有8个，连续的四元集合有7个，
连续的五元集合有6个，连续的六元集合有5个，连续的七元集合有4个，连续的八元集合有3个，
连续的九元集合有2个，连续的十元集合有1个，
综上，非间断整数集共有1+2+3+4+5+6+7+8+9+11＝56个，
所以合N的所有子集中，“间断整数集”的个数为1024﹣56＝968个．
【点评】本题考查元素与集合的属于关系的应用，属于中档题．
20．（2025•嘉兴模拟）记集合A，B为集合S＝{1，2，3，…，n}（n∈N*）的两个子集，且满足A∪B＝S，A∩B＝∅．定义：f(A，B)=|a∈A a−b∈B b|(a∈A a，b∈B b分别表示集合A，B中所有元素的和）．
（1）当n＝4时，求f（A，B）的所有可能的值；
（2）求f（A，B）的最小值；
（3）设k为不超过n(n+1)2的自然数，且k与n(n+1)2的奇偶性相同，证明：存在A，B，使得f（A，B）＝k．
【考点】子集与真子集．
【专题】应用题；整体思想；集合；运算求解．
【正确答案】（1）所有可能值为：0，2，4，6，8，10；
（2）f（A，B）min＝1；
（3）证明见解析．
【分析】（1）由题意分类讨论写出集合A，B，求出相应的f(A，B)=|a∈A a−b∈B b|即可；
（2）首先计算n＝4k时，f（A，B）的最小值为0，然后依次讨论当n＝4k+1，n＝4k+2，n＝4k+3时，相应的f（A，B）的最小值即可得出答案；
（3）首先证明 f（A，B）与n(n+1)2的奇偶性相同，然后用数归法证明：当k与n(n+1)2奇偶性相同且k＜n(n+1)2时，存在A，B满足 f（A，B）＝k，即可得出证明．
解：（1）若S＝{1，2，3，4}，由于A，B的对称性，
只需考虑以下情况：A＝∅，B＝S，f（A，B）＝10；A＝{1}，B＝{2，3，4}，f（A，B）＝8；
A＝{2}，B＝{1，3，4}，f（A，B）＝6；A＝{3}，B＝{1，2，4}，f（A，B）＝4；
A＝{4}，B＝{1，2，3}，f（A，B）＝2；A＝{1，2}，B＝{3，4}，f（A，B）＝4；
A＝{1，3}，B＝{2，4}，f（A，B）＝2；A＝{1，4}，B＝{2，3}，f（A，B）＝0．
所以f（A，B）的所有可能值为：0，2，4，6，8，10．
（2）首先计算n＝4k时：令A＝{1，3，5，…2k﹣1，2k+2，2k+4，…，4k}，B＝{2，4，6，…，2k，2k+1，2k+3，…，4k﹣1}，
观察可知A∪B＝S，A∩B＝0，且集合A，B均有2k项，且这2k首尾相加为4k+1，
所以a∈A a=b∈B b=k(4k+1)，所以 f（A，B）＝0，即此时f（A，B）的最小值为0．对于其它情况：当n＝4k+1时，
由n(n+1)2=(4k+1)(4k+2)2=(4k+1)(2k+1)为奇数，
由（1）知f（A，B）为奇数，考虑S的子集S1＝{2，3，4，⋯，4k+1}，S1中有4k项，
那么参照上面证明存在A1，B1满足f（A1，B1）＝0，
对于其它情况：当n＝4k+1时，由n(n+1)2=(4k+1)(4k+2)2=(4k+1)(2k+1)为奇数，
由（1）知f（A，B）为奇数，考虑S的子集S1＝{2，3，4，⋯，4k+1}，S1中有4k项，
那么参照上面证明存在A1，B1满足f（A1，B1）＝0，现令A＝A1∪{1}，B＝B1，可知f（A，B）＝1，
即此时f（A，B）最小值为1；当n＝4k+2时，n(n+1)2=(4k+2)(4k+3)2=(2k+1)(4k+3)为奇数，f（A，B）为奇数．
考虑S的子集S1＝{3，4，5，⋯，4k+2}S1中有4k项，那么参照上面证明存在A1，B1满足f（A1，B1）＝0，
现令A＝A1∪{1}，B＝B1∪{2}，可知f（A，B）＝1，即此时f（A，B）最小值为1；
当n＝4k+3时，n(n+1)2=(4k+3)(4k+4)2=(4k+3)(2k+2)为偶数，f（A，B）为偶数，
考虑S的子集S1＝{4，5，6，⋯，4k+3}，S1中有4k项，
那么参照上面证明存在A1，B1满足f（A1，B1）＝0，现令A＝A1∪{1，2}，B＝B1∪{3}，
可知f（A，B）＝0，即此时f（A，B）最小值为0．
综上所述可知当n＝4k或n＝4k+3时，f（A，B）min＝0，n＝4k+1或n＝4k+2时，f（A，B）min＝1．
（3）证明：首先证明 f（A，B）与n(n+1)2的奇偶性相同：由题意知a∈A a+b∈B b=n(n+1)2，
所以f(A，B)=|n(n+1)2−2b∈B b|，因为2b∈B b是偶数，所以对于任意的A，B，f（A，B）与n(n+1)2的奇偶性相同．
下面用数归法证明：当k与n(n+1)2奇偶性相同且k＜n(n+1)2时，
存在A，B满足 f（A，B）＝k．当k＝0或k＝1时，由（2）可知存在A，B满足 f（A，B）＝k，
假设k＝m时成立（m为小于n(n+1)2−2且与其奇偶性相同自然数），
即此时存在A，B满足f（A，B）＝m，由于A∪B＝{1，2，3，…，n}，
不妨令a∈A a＞b∈B b若此时1∈B，则可令A1＝A∪{1}，那么f（A1，B1）＝m+2，
即说明 k＝m+2时命题成立，若此时1∈A，必存在正整数i满足i∈A且i+1∈B（否则有A＝S，B＝∅），
此时有f(A，B)=n(n+1)2)，令A1＝（∁A{i}）∪{i+1}，B1＝（∁B{i+1}）∪{i}，
此时A1，B1满足：f（A1，B1）＝m+2，即k＝m+2时命题立，由归纳法可知命题成立．
当k=n(n+1)2时，令A＝S，B＝Q，f（A，B）＝k，综上所述命题成立．
【点评】本题考查子集与真子集，属于难题．
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