贵州省部分学校联考2025-2026学年高二下学期4月期中素养训练数学试题（含解析）

这是一份贵州省部分学校联考2025-2026学年高二下学期4月期中素养训练数学试题（含解析），文件包含湖北省2024-2025学年高二上学期期末考试化学试卷PDF版pdf、湖北省2024-2025学年高二上学期期末考试化学答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共11页， 欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则在复平面内对应的点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得结果.
【详解】因为，则，故在复平面内对应的点为.
2. 直线的一个法向量为，且过点，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】直线的一个法向量为，且过点，
设直线上任意一点，所以，
所以，即，
直线的方程为：.
3. 在等差数列中，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的性质求解.
【详解】在等差数列中，，，，也构成等差数列.
根据等差中项性质，，
代入数值得，解得.
4. 已知函数则（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【详解】由对数性质得，故，满足分段函数的条件.
当时，因此，
又，符合第一段定义域.
当时，结合对数恒等式得.
因此.
5. 在中，，，为的中点，为线段上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为为的中点，所以，，
因为，所以，
则.
6. 春假期间，某学校安排4名保安在这3天假期值班，每人必须值班1天，每天都有人值班.若4名保安中的甲、乙两人不能安排在同一天值班，则不同的安排方案共有（ ）
A. 18种B. 24种C. 30种D. 36种
【答案】C
【解析】
【分析】先对4人分组，再进行全排列，根据分步计数求解即可.．
【详解】4名保安在这3天假期值班，每人必须值班1天，每天都有人值班，必然是1,1,2的人数分配.
先分组：从4人中选2人分为1组，且甲、乙两人不同组，有种，
再排列：将3组分配到3天，有种，
所以总方案数为：种.
7. 若定义在上的偶函数满足，且，则（ ）
A. B. 0C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性及关系式，可求出函数周期，转化为求，利用赋值法即可得解.
【详解】因为，所以，
又函数为偶函数，所以，则，
两式相减可得，即，
所以函数一个周期为，故，
令，由可得，即，
令，可得，所以，
所以.
故选：A
8. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，为双曲线上位于第二象限的一点，，的内切圆的圆心为，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据内切圆的性质及双曲线定义可得I−a,c−a，再求出，结合直线的斜率得到即可求解．
【详解】由题可知PQ=PN,F1Q=F1M,F2M=F2N，，
∴PF2−PF1=F2M−F1M=2a ，又，
∴F1M=c−a,F2M=c+a ，则I−a,c−a，
当时，，解得，
，为双曲线上位于第二象限的一点，
∴P−c,b2a，又直线的斜率为，
∴kPI=c−a−b2a−a+c=1−b2a−a+c=1−c2−a2a−a+c=1−c+aa=−2 ，
解得，.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.
9. 在某场比赛中，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为、、、、、、，下列说法正确的是（ ）
A. 该组数据的众数为
B. 该组数据的分位数为
C. 变量，则
D. 变量，已知，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用众数的定义可判断A选项，利用百分位数的定义可判断B选项；利用期望的性质可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，由众数的定义可知，这组数据的众数为，A对；
对于B选项，因为，故这组数据的分位数为，B错；
对于C选项，，
因为，故，C对；
对于D选项，变量，所以，D对.
10. 已知数列的前项和，下列说法正确的是（ ）
A. （）
B.
C. 若，则是等差数列
D. 当的项数为时，其奇数项之和为，偶数项之和为，则
【答案】BC
【解析】
【详解】对于A，当时， ，当时， ， ，
所以，
此时当时， ，说明在时不成立，
所以，故A错误；
对于B，因为当时，，所以，，，，所以a5⋅a8=4⋅313=a6⋅a7，故B正确；
对于C，因为，，
所以 ，
这是一个关于的一次式，公差为 的等差数列，故C正确；
对于D，
，
,
所以 ，故D错误.
11. 在四面体中，是正三角形，，，为的中点，点在线段上且满足，则（ ）
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 三棱锥的体积为
C. 点到平面的距离为
D. 四面体的外接球表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】取线段的中点，连接、，则，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断AC选项；利用锥体体积公式可判断B选项；设球心为，求出球心坐标，结合球体表面积公式可判断D选项.
【详解】因为是正三角形，，，则，
即也是等边三角形，取线段的中点，连接、，则，，
且，同理可得，
又因为，所以，所以，
因为，、平面，所以平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
根据题意得、、、、、N−13,233,0，
对于A选项，，MD=−32,−12,3，
所以csAB,MD=AB⋅MDAB⋅MD=−22×2=−12，
故异面直线与所成角的余弦值为，A对；
对于B选项，因为，则，
所以点到平面的距离等于点到平面距离的，
故VN−BCD=13VA−BCD=13VD−ABC=13×13S△ABC⋅OD=13×13×12×2×3×3=13，B错；
对于C选项，设平面的一个法向量为，，，
则m⋅AB=3x+y=0m⋅AD=y+3z=0，取，可得，
又因为，所以点到平面的距离为d=AC⋅mm=235=2155，C对；
对于D选项，设外接球球心为，
由EA2=EB2EA2=EC2EA2=ED2可得a2+b+12+c2=a−32+b2+c2a2+b+12+c2=a2+b−12+c2a2+b+12+c2=a2+b2+c−32，解得a=33b=0c=33，
即外接球球心为E33,0,33，外接球半径为R=EA=332+1+332=153，
故四面体的外接球表面积为，D对.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 抛物线：（）的焦点为，为上一点，比到轴的距离大2，则________.
【答案】4
【解析】
【详解】对于抛物线，准线方程为.
设点的横坐标为，则到轴的距离为，到准线的距离为，
因此，根据题意有，
代入得，解得.
13. 已知，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】先由得到的取值范围，再利用正弦函数的图像性质与的范围可缩小的取值范围，由此求得，利用整体法即可求得的值.
【详解】因为所以，
又因为，所以，
所以，
故.
故答案为：.
14. 已知数列满足，数列中恰有三项使得成立，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】由，化简得到，求得，结合，得到，令，根据题意，得到，求出，即可求解.
【详解】由，得，
所以，
即，所以.
又，则，所以.
令，只需恰好有三个值满足.
又
，
所以是严格递增数列.
又，，，，
因为递增，要恰好有三个值满足，则，即.
故的取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角、、的对边分别为、、，且.
（1）求角的值；
（2）若，，求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）求出、的值，利用正弦定理求出、的值，即可得出该三角形的周长.
【小问1详解】
由及正弦定理可得，
由余弦定理可得，
又因为，故.
【小问2详解】
因为，则为锐角，所以，
所以
，
由正弦定理可得，所以，
，
故的周长为.
16. 某学校为了解学生喜欢动漫是否与性别有关，从该校学生中随机抽取了200人作为样本进行问卷调查，得到如下列联表：
（1）请依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢动漫是否与性别有关；
（2）在上述样本男生中，按是否喜欢动漫进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本男生中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人进行线下访谈，记这2人中“不喜欢动漫”的人数为，求的分布列及数学期望.
附：，其中.
【答案】（1）喜欢动漫与性别无关
（2）的分布列为：
数学期望为：
【解析】
【分析】（1）计算的观测值与临界值比对即可.
（2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望.
【小问1详解】
零假设：喜欢动漫与性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
所以认为成立，即喜欢动漫与性别无关．
【小问2详解】
由题意得，抽取6人中喜欢动漫的人数为，不喜欢动漫的人数为，
则的可能取值为0,1,2.
，，，
则的分布列为：
数学期望为：.
17. 在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面，为的中点.
（1）求证：平面.
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示得到，，结合线面垂直的判定定理证明即可.
（2）求出平面和平面的法向量，根据二面角的向量求法求解即可.
【小问1详解】
取，中点，，连接，.
因为为等边三角形，所以.
因为平面平面，平面平面，所以平面.
又平面，所以.
直角梯形中，，，点，为中点，所以，
所以，，两两垂直.
以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
因为为的中点，所以.
所以，，.
因为，所以，即.
因为，所以，即.
又平面，，
所以平面.
【小问2详解】
由（1）知，，，，
设平面的法向量为，
则，即−2x1−4y1=0−x1−4y1+3z1=0，令，则，，所以.
设平面的法向量为，
则，即−2x2−2y2=0−x2−4y2+3z2=0，令，则，，所以.
设二面角的平面角为（由图可知，为锐角），
所以.
故二面角的余弦值为.
18. 已知函数对任意的，，都有成立，且.
（1）求，.
（2）若令，求证：数列是等差数列.
（3）求证：当时，.
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）通过对抽象函数赋值，令和，代入已知关系式，直接求得和的值；
（2）根据递推关系构造数列，通过计算相邻两项的差为常数，证明其为等差数列；
（3）先求出的通项公式，再利用数学归纳法和放缩法，将放缩为等比数列的项，最后求和证明不等式.
【小问1详解】
已知对任意，恒成立.
令，得，移项得；
令，得，已知，代入得，解得.
【小问2详解】
已知，对，将代入原函数式得，
即（），两边同除以得，即.
首项，因此是首项为、公差为的等差数列，得证.
【小问3详解】
由（2）可得：，即，从而.
首先用数学归纳法证明当时，：
时，，成立；
假设时，则时，，成立.
因此对，，两边乘，得.
对求和式放缩：，
右边是首项为1、公比为的等比数列前项和，计算得：
，
因此，得证.
19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，且在椭圆上，椭圆与椭圆离心率相同.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是椭圆上异于的一点，过点作直线交椭圆于点，作直线交椭圆于点.
（i）证明：为定值；
（ii）若，四边形的面积为，求的最大值.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出焦点坐标和离心率，可得、，进而求出值，即可得到椭圆方程.
（2）（i）设出直线，方程，结合点在椭圆得，然后让直线与椭圆方程联立求出，同理，进而求得为定值；
（ii）先求得，则，结合，利用基本不等式法求出最大值.
【小问1详解】
因为在椭圆上，所以，
因为椭圆的离心率为，所以，所以，
所以，所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
（i）设直线，的斜率分别为，故直线的方程为，
直线的方程为，
设，则，所以，
由得，
设点的坐标分别为，则，．
所以，
同理，所以
，为定值；
（ii）因为四边形的面积为，
所以，当且仅当，等号成立，
所以的最大值为.
喜欢动漫
不喜欢动漫
合计
男生
40
80
120
女生
35
45
80
合计
75
125
200
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
0
1
2
0
1
2