2024-2025学年内蒙古呼伦贝尔市阿荣旗八年级（下）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年内蒙古呼伦贝尔市阿荣旗八年级（下）期末数学试卷，文件包含数学试题卷答案pdf、数学试题卷pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。
1．（3分）下列不能表示y是x的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．y＝2x+1
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．4+2=6B．23+3=26
C．6÷2=3D．2×6=23
3．（3分）以下列各组数的长度围成的三角形中，是直角三角形的一组是（ ）
A．1、3、5B．1、3、3C．3、4、4D．6、8、10
4．（3分）已知在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象经过点A（2，y1）、B（3，y2），则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1≤y2
5．（3分）如图，在▱ABCD中，若∠B+∠D＝64°，则∠D的度数是（ ）
A．32°B．42°C．52°D．58°
6．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简a2−b2−(a−b)2的结果是（ ）
A．﹣2bB．﹣2aC．2（b﹣a）D．0
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B（0，6），根据图象可知0＜kx+b＜6的解集为（ ）
A．x＜0B．0＜x＜2C．x＞2D．x＜0或x＞2
8．（3分）矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝（ ）
A．2B．3C．2D．43
二、填空题（每小题3分，共12分）
9．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形BCE，则∠BED的度数为 ．
10．（3分）一次函数y=−12x+1的图象向上平移3个单位长度后，与y轴的交点坐标为 ．
11．（3分）如图，菱形ABCD中，O为BD的中点，M为BC的中点，AM⊥BC，OM＝2，则AM的长为 ．
12．（3分）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣4）个数是（用含n的代数式表示） ．
三、解答题
13．（9分）计算：
（1）12+27+1448−1513；
（2）(22−3)(22+3)−(2)2．
14．（9分）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图1，小明据此画出该岛的一个数学模型（如图2的四边形ABCD），AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，CD＝1千米，AD＝7千米．
（1）小溪流AC的长为 千米．
（2）求四边形ABCD的面积．
15．（9分）2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，学校组织“国家安全•青春挺膺”主题演讲比赛，引导青年学生提升国家安全意识和素养，维护国家主权、安全、发展利益．比赛设初赛和决赛两个阶段，初赛有20名选手参加，组委会对两个阶段的选手成绩进行整理，得到如下信息：
信息1：20名选手初赛成绩的频数分布直方图如图（数据分成5组：70≤x＜75，75≤x＜80，80≤x＜85，85≤x＜90，90≤x＜95）：
信息2：初赛成绩在第三组（80≤x＜85）的选手成绩如下：
83 80 81 81 84 81 81 81．
信息3：决赛过程中，由5位教师评委给每位选手打分（百分制），总分排名前3名选手的成绩如表：
根据上述信息回答下列问题：
（1）初赛20名选手成绩的中位数为 分；
（2）组委会规定初赛选手中成绩靠前的一半选手进入决赛，若选手成绩并列且不能确定其是否进入决赛时，组委会对其加试一题，加试前，小文的成绩为81分，小颖的成绩为85分，直接写出他们两人是否能进入决赛；
（3）决赛的排名规则是：计算5位教师评委评分的平均数和方差，平均数较大的选手排名靠前；若平均数相同，则方差较小的选手排名靠前．请补全上表中空缺的数据，给甲、乙、丙三位选手排出名次，并说明理由．
16．（9分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．
（1）判断四边形OBEC的形状，并说明理由；
（2）若BD＝8，AC＝4，求四边形OBEC的周长．
17．（9分）共享电动车作为绿色便捷的交通工具，为短程出行带来很大的便利．如图反映了A，B两种品牌共享电动车的收费y（元）与骑行时间x（分）之间的对应关系，其中A品牌的收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2，请根据相关信息，解答下列问题：（1）当x≥10时，求y2关于x的函数关系式；
（2）小莲每天早上需骑共享电动车到单位上班，已知A，B两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为300米/分，小莲家到单位的路程为4500米，问小莲选择这两种品牌共享电动车中的哪种骑行去单位会更省钱？省多少？
18．（9分）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如53，23，23+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
53=5×33×3=533；
23=2×33×3=63；
23+1=2×(3−1)(3+1)(3−1)=2(3−1)(3)2−12=3−1；
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简：33= ；27= ；15+3= ；
（2）化简：23+1+25+3+27+5+⋯+22025+2023；
（3）已知x=5−35+3，y=5+35−3，求yx+xy的值．
19．（10分）数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同．折出的图形也不同．所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题．
问题解决：
（1）如图1，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使得点C与点A重合，点D落在点D1的位置，连接MC，AN，AC，线段AC交MN于点O，则：
①△CDM与△AD1M的关系为 ；
②小丽说：“图1中的四边形ANCM是菱形”，请你帮她证明；
拓展延伸：
（2）如图2，矩形纸片ABCD中，BC＝2AB＝6cm，BM＝4cm，小明将矩形纸片ABCD沿直线AM折叠，点B落在点B1的位置，MB1交AD于点N，请你求出线段ND的长．
2024-2025学年内蒙古呼伦贝尔市阿荣旗八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下列不能表示y是x的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．y＝2x+1
【答案】B
【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断．
【解答】解：选项A、C、D表示y是x的函数，故A、C、D不符合题意；
选项B的图象，y不是x的函数，故B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．4+2=6B．23+3=26
C．6÷2=3D．2×6=23
【答案】D
【分析】根据二次根式的加法运算对A、B选项进行判断；根据二次根式的除法运算对C选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对D项进行判断．
【解答】解：A．4+2=2+2，所以A选项不符合题意；
B．23+3=33，所以B选项不符合题意；
C．6÷2=62，所以C选项不符合题意；
D．2×6=2×6=23，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．
3．（3分）以下列各组数的长度围成的三角形中，是直角三角形的一组是（ ）
A．1、3、5B．1、3、3C．3、4、4D．6、8、10
【答案】D
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项进行判断即可．
【解答】解：A．∵12+(5)2≠32，不可以构成直角三角形，故不符合题意；
B．∵12+(3)2≠32，不可以构成直角三角形，故不符合题意；
C．∵32+42≠42，不可以构成直角三角形，故不符合题意；
D．∵62+82＝100＝102，能构成直角三角形，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．
4．（3分）已知在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象经过点A（2，y1）、B（3，y2），则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1≤y2
【答案】B
【分析】由k＝2＞0，利用一次函数图象的性质可得出y随x的增大而增大，结合2＜3，即可得出答案．
【解答】解：由条件可知一次函数y随x的增大而增大，
∵点A（2，y1）、B（3，y2）均在一次函数的图象上，且2＜3，
∴y1＜y2．
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的图象与性质，牢记：在一次函数y＝kx+b中，若k＞0，y随x的增大而增大；若k＜0，y随x的增大而减小．
5．（3分）如图，在▱ABCD中，若∠B+∠D＝64°，则∠D的度数是（ ）
A．32°B．42°C．52°D．58°
【答案】A
【分析】由平行四边形的性质得∠B＝∠D，而∠B+∠D＝64°，则∠D+∠D＝64°，求得∠D＝32°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠B+∠D＝64°，
∴∠D+∠D＝64°，
∴∠D＝32°，
故选：A．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质，推导出∠B＝∠D是解题的关键．
6．（3分）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简a2−b2−(a−b)2的结果是（ ）
A．﹣2bB．﹣2aC．2（b﹣a）D．0
【答案】A
【分析】由数轴可知a＜﹣1，0＜b＜1，所以a﹣b＜0，化简即可解答．
【解答】解：由数轴可知a＜﹣1，0＜b＜1，
∴a﹣b＜0，
∴a2−b2−(a−b)2=−a﹣b+（a﹣b）＝﹣a﹣b+a﹣b＝﹣2b．
故选：A．
【点评】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B（0，6），根据图象可知0＜kx+b＜6的解集为（ ）
A．x＜0B．0＜x＜2C．x＞2D．x＜0或x＞2
【答案】B
【分析】本题可根据一次函数图象与x轴、y轴交点坐标，结合一次函数的性质，通过分析函数图象来确定不等式0＜kx+b＜6的解集．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B（0，6），
∴当y＝0时，x＝2；当x＝0时，y＝6．
观察图象可知，当y＞0时，图象在x轴上方，此时x＜2；当y＜6时，图象在y＝6这条直线下方，此时x＞0．
∴同时满足0＜y＜6（即0＜kx+b＜6 ）时，x的取值范围是0＜x＜2．
∴不等式0＜kx+b＜6的解集是0＜x＜2，
故选：B．
【点评】本题主要考查一次函数与一元一次不等式的关系，关键在于理解通过一次函数图象来求解不等式解集的方法．通过函数图象与坐标轴交点坐标，结合函数图象的位置确定函数值的范围所对应的自变量取值范围．
8．（3分）矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝（ ）
A．2B．3C．2D．43
【答案】A
【分析】延长GH交AD于M点，由矩形的性质得出CD＝CE＝FG＝1，BC＝EF＝CG＝3，BE∥AD∥FG，推出DG＝CG﹣CD＝2，∠HAM＝∠HFG，由ASA证得△AMH≌△FGH，得出AM＝FG＝1，MH＝GH，则MD＝AD﹣AM＝2，在Rt△MDG中，GM=MD2+DG2=22，即可得出结果．
【解答】解：延长GH交AD于M点，如图所示：
∵四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，
∴CD＝CE＝FG＝1，BC＝EF＝CG＝3，BE∥AD∥FG，
∴DG＝CG﹣CD＝3﹣1＝2，∠HAM＝∠HFG，
∵AF的中点H，
∴AH＝FH，
在△AMH和△FGH中，∠HAM=∠HFGAH=FH∠AHM=∠FHG，
∴△AMH≌△FGH（ASA）．
∴AM＝FG＝1，MH＝GH，
∴MD＝AD﹣AM＝3﹣1＝2，
在Rt△MDG中，GM=MD2+DG2=22+22=22，
∴GH=12GM=2，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共12分）
9．（3分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形BCE，则∠BED的度数为 45° ．
【答案】45°．
【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，得到CD＝CE，∠DCE＝150°，等边对等角求出∠DEC＝15°，角的和差关系求出∠BED的度数即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形，
∴CD＝BC＝CE，∠DCB＝90°，∠BCE＝∠BEC＝60°，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=150°，∠CDE=∠CED=12(180°−∠DCE)=15°，
∴∠DEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°﹣15°＝45°；
故答案为：45°．
【点评】本题考查正方形的性质，掌握等边三角形的性质，等边对等角是解题的关键．
10．（3分）一次函数y=−12x+1的图象向上平移3个单位长度后，与y轴的交点坐标为 （0，4） ．
【答案】（0，4）．
【分析】根据平移规则，求出平移后的解析式，令x＝0，求出y值，即可得解．
【解答】解：根据平移法则平移后的直线解析式为：y=−12x+1+3=−12x+4，
∴与y轴的交点坐标为（0，4）；
故答案为：（0，4）．
【点评】本题考查一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点问题，熟练掌握以上知识点是关键．
11．（3分）如图，菱形ABCD中，O为BD的中点，M为BC的中点，AM⊥BC，OM＝2，则AM的长为 23 ．
【答案】23．
【分析】先利用中位线定理求出菱形的边DC的长，再利用菱形的性质求得AB，从而可得BM，再利用勾股定理求得AM的长．
【解答】解：∵O为BD的中点，M为BC的中点，
∴BM=12BC，
∴DC＝2OM＝2×2＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝4，
∴BM=12BC=2，
∵AM⊥BC，
∴∠AMB＝90°，
在Rt△AMB中，由勾股定理可得AM=AB2−BM2=42−22=23，
故答案为：23．
【点评】本题考查了菱形的性质，中位线定理，勾股定理，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用．
12．（3分）如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣4）个数是（用含n的代数式表示） n2−4 ．
【答案】n2−4．
【分析】观察可知，第n排第n个数为n，而同一排相邻的两个数，右边的那个数的开方数比前面的数的开方数大1，据此求解即可．
【解答】解：第1排，第1个数为1，
第2排第2个数为2，
第3排第3个数为3，
第4排第4个数为4，
第5排第5个数为5，
……，
以此类推可知，第n排第n个数为n，
∴第1排到第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n﹣4）个数是（用含n的代数式表示）n2−4，
故答案为：n2−4．
【点评】本题主要考查了与算术平方根有关的规律探索，发现规律是关键．
三、解答题
13．（9分）计算：
（1）12+27+1448−1513；
（2）(22−3)(22+3)−(2)2．
【答案】（1）3；
（2）3．
【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据平方差公式去括号，同时计算乘方，然后计算减法即可．
【解答】解：（1）12+27+1448−1513
=23+33+14×43−15×33
=23+33+3−53
=3；
（2）(22−3)(22+3)−(2)2
＝8﹣3﹣2
＝3．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．
14．（9分）在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图1，小明据此画出该岛的一个数学模型（如图2的四边形ABCD），AC是四边形岛屿上的一条小溪流，其中∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，CD＝1千米，AD＝7千米．
（1）小溪流AC的长为 52 千米．
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）52；
（2）16平方千米．
【分析】（1）根据勾股定理勾股定理求解即可；
（2）将四边形分成两个三角形，求证∠D为直角，四边形面积为两个直角三角形面积之和即可．
【解答】解：（1）∠B＝90°，AB＝BC＝5千米，CD＝1千米，AD＝7千米．如图，连接AC，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：
AC=AB2+BC2=52+52=52（千米），
故答案为：52；
（2）∵AC=52（千米），CD＝1千米，AD＝7千米．
∴AC2=(52)2=50，AD2＝72＝49，CD2＝12＝1，
∴AC2＝CD2+AD2，
∴△ADC是直角三角形，则∠D＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD=12×5×5+12×1×7=16（平方千米）．
【点评】本题考查勾股定理的应用，勾股定理，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理是解本题的关键．
15．（9分）2025年4月15日是第十个全民国家安全教育日，学校组织“国家安全•青春挺膺”主题演讲比赛，引导青年学生提升国家安全意识和素养，维护国家主权、安全、发展利益．比赛设初赛和决赛两个阶段，初赛有20名选手参加，组委会对两个阶段的选手成绩进行整理，得到如下信息：
信息1：20名选手初赛成绩的频数分布直方图如图（数据分成5组：70≤x＜75，75≤x＜80，80≤x＜85，85≤x＜90，90≤x＜95）：
信息2：初赛成绩在第三组（80≤x＜85）的选手成绩如下：
83 80 81 81 84 81 81 81．
信息3：决赛过程中，由5位教师评委给每位选手打分（百分制），总分排名前3名选手的成绩如表：
根据上述信息回答下列问题：
（1）初赛20名选手成绩的中位数为 81 分；
（2）组委会规定初赛选手中成绩靠前的一半选手进入决赛，若选手成绩并列且不能确定其是否进入决赛时，组委会对其加试一题，加试前，小文的成绩为81分，小颖的成绩为85分，直接写出他们两人是否能进入决赛；
（3）决赛的排名规则是：计算5位教师评委评分的平均数和方差，平均数较大的选手排名靠前；若平均数相同，则方差较小的选手排名靠前．请补全上表中空缺的数据，给甲、乙、丙三位选手排出名次，并说明理由．
【答案】（1）81；
（2）小文不一定进入决赛，小颖一定能进入决赛；
（3）甲和丙的平均数相同，甲的方差较小，乙的平均数小于丙的平均数，所以第一名为甲，第二名为丙，第三名为乙．
【分析】（1）根据中位数的定义，即可求解；
（2）根据题意，小文的成绩为81分，而81分的同学有5名，则小文不一定进入决赛，小颖的成绩为85分，大于中位数，则一定能进入决赛；
（3）先计算甲的方差为1.2，丙的平均数为92，根据甲和丙的平均数相同，甲的方差较小，乙的平均数小于丙的平均数，即可求解．
【解答】解：（1）初赛20名选手成绩中第一组有3人，第二组有4人，
初赛成绩在第三组（80≤x＜85）的选手成绩从小到大排列为：80，81，81，81，81，81，83，84，
第10和11个数据是第三组的第3个和第4个数据，即81，81，
∴初赛20名选手成绩的中位数为81+812=81，
故答案为：81；
（2）因为初赛20名选手成绩的中位数为81，
组委会对其加试一题，加试前，小文的成绩为81分，而81分的同学有5名，则小文不一定进入决赛，
小颖的成绩为85分，大于中位数，则一定能进入决赛，
∴小文不一定进入决赛，小颖一定能进入决赛；
（3）甲的方差为15[（93﹣92）2×2+（92﹣92）2×2+（90﹣92）2]＝1.2，
丙的平均数为15（90×2+94×2+92）＝92，
甲的方差为1.2，丙的平均数为92，甲和丙的平均数相同，甲的方差较小，乙的平均数小于丙的平均数，
∴第一名为甲，第二名为丙，第三名为乙．
【点评】本题考查了中位数的定义，求方差与平均数，掌握中位数，平均数，方差的意义是解题的关键．
16．（9分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．
（1）判断四边形OBEC的形状，并说明理由；
（2）若BD＝8，AC＝4，求四边形OBEC的周长．
【答案】（1）四边形OBEC是矩形，理由见解答；
（2）四边形OBEC的周长为12．
【分析】（1）由菱形的性质得AC⊥BD，由BE∥AC，CE∥DB，证明四边形OBEC是平行四边形，而∠BOC＝90°，则四边形OBEC是矩形；
（2）因为BD＝8，AC＝4，所以OB＝OD＝4，OC＝OA＝2，由矩形的性质得CE＝OB＝4，BE＝OC＝2，求得四边形OBEC的周长为12．
【解答】解：（1）四边形OBEC是矩形，
理由：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴AC⊥BD，
∵BE∥AC，CE∥DB，
∴BE∥OC，CE∥OB，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵∠BOC＝90°，
∴四边形OBEC是矩形．
（2）∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，BD＝8，AC＝4，
∴OB＝OD=12BD＝8＝4，OC＝OA=12AC＝2，
∵四边形OBEC是矩形，
∴CE＝OB＝4，BE＝OC＝2，
∴CE+BE+OB+OC＝4+2+4+2＝12，
∴四边形OBEC的周长为12．
【点评】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质等知识，推导出四边形OBEC是平行四边形，且∠BOC＝90°是解题的关键．
17．（9分）共享电动车作为绿色便捷的交通工具，为短程出行带来很大的便利．如图反映了A，B两种品牌共享电动车的收费y（元）与骑行时间x（分）之间的对应关系，其中A品牌的收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2，请根据相关信息，解答下列问题：（1）当x≥10时，求y2关于x的函数关系式；
（2）小莲每天早上需骑共享电动车到单位上班，已知A，B两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为300米/分，小莲家到单位的路程为4500米，问小莲选择这两种品牌共享电动车中的哪种骑行去单位会更省钱？省多少？
【答案】（1）y2=15x+4(x≥10)；
（2）小莲选择A品牌共享电动车骑行更省钱，省1元．
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据小莲家到单位的距离和共享单车的速度可以求出小莲家到单位需要的时间，再根据两种共享单车的收费标准分别计算出两种共享单车所需要的费用，从而计算求解．
【解答】解：（1）当x≥10时，设y2＝k2x+b（k2≠0），过（10，6）和（20，8）两点
代入数据可得：
10k2+b=620k2+b=8，
解得k2=15b=4，
所以y2=15x+4(x≥10)；
（2）设y1＝k1x（k1≠0），由条件可知20k1＝8，
解得k1=25，所以y1=25x(x≥0)．
因为4500÷300＝15，
∴y1=25x=25×15=6（元），
y2=15x+4=15×15+4=7（元），
7﹣6＝1（元），
所以小莲选择A品牌共享电动车骑行更省钱，省1元．
【点评】本题主要考查一次函数的应用、用待定系数法求一次函数解析式，准确识图，数形结合思想解题是关键．
18．（9分）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如53，23，23+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
53=5×33×3=533；
23=2×33×3=63；
23+1=2×(3−1)(3+1)(3−1)=2(3−1)(3)2−12=3−1；
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简：33= 3 ；27= 147 ；15+3= 5−32 ；
（2）化简：23+1+25+3+27+5+⋯+22025+2023；
（3）已知x=5−35+3，y=5+35−3，求yx+xy的值．
【答案】（1）3，147，5−32；
（2）44；
（3）62．
【分析】（1）仿照材料中提供的解题思路进行分母有理化即可；
（2）仿照材料中提供的解题思路把每一个二次根式分别进行分母有理化，再合并同类二次根式即可；
（3）首先把x=5−35+3，y=5+35−3分别进行分母有理化，再把分母有理化后的值代入代数式中计算求值即可．
【解答】解：（1）33=3×33×3=3×33=3；
27=27=2×77×7=2×77=147；
15+3
=5−3(5+3)(5−3)
=5−35−3
=5−32；
故答案为：3，147，5−32；
（2）原式=2(3−1)(3+1)(3−1)+2(5−3)(5+3)(5−3)+2(7−5)(7+5)(7−5)+⋅⋅⋅+2(2025−2023)(2025+2023)(2025−2023)
=2(3−1)(3)2−12+2(5−3)(5)2−(3)2+2(7−5)(7)2−(5)2+⋅⋅⋅+2(2025−2023)(2025)2−(2023)2
=2(3−1)3−1+2(5−3)5−3+2(7−5)7−5+⋅⋅⋅+2(2025−2023)2025−2023
=2(3−1)2+2(5−3)2+2(7−5)2+⋅⋅⋅+2(2025−2023)2
=3−1+5−3+7−5+⋯+2025−2023
=2025−1
＝45﹣1
＝44；
（3）∵x=5−35+3，y=5+35−3，
∴xy=5−35+3×5+35−3=1，
x=5−35+3
=(5−3)2(5+3)(5−3)
=5−215+35−3
=4−15，
y=5+35−3
=(5+3)2(5−3)(5+3)
=5+215+35−3
=4+15，
∴yx+xy=x2+y2xy
=(4+15)2+(4−15)21
=42+2×4×15+(15)2+42−2×4×15+(15)2
＝16+15+16+15
＝62．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键．
19．（10分）数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同．折出的图形也不同．所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题．
问题解决：
（1）如图1，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使得点C与点A重合，点D落在点D1的位置，连接MC，AN，AC，线段AC交MN于点O，则：
①△CDM与△AD1M的关系为 △CDM≌△AD1M ；
②小丽说：“图1中的四边形ANCM是菱形”，请你帮她证明；
拓展延伸：
（2）如图2，矩形纸片ABCD中，BC＝2AB＝6cm，BM＝4cm，小明将矩形纸片ABCD沿直线AM折叠，点B落在点B1的位置，MB1交AD于点N，请你求出线段ND的长．
【答案】（1）①△CDM≌△AD1M；
②见解析；
（2）238cm．
【分析】（1）①利用翻折变换的性质以及全等三角形的判定定理解决问题即可；
②先证明四边形ANCM是平行四边形，由AM＝CM可证明四边形ANCM是菱形；
（2）由矩形和折叠的性质证明AN＝MN，设AN＝MN＝x（cm），利用勾股定理构建方程求解即可；
【解答】（1）①解：由折叠的性质得AD1＝CD，∠D＝∠D1＝90°，MN垂直平分AC，
∴AM＝CM，
在Rt△CDM和Rt△AD1M中，
CM=AMCD=AD1，
∴Rt△CDM≌Rt△AD1M（HL），
故答案为：△CDM≌△AD1M；
②证明：∵AM∥CN，
∴∠MAO＝∠NCO，
在△AOM和△CON中，
∠MAO=∠NCOAO=CO∠AOM=∠CON，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴AM＝CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∵AM＝CM，
∴四边形ANCM是菱形；
（2）解：∵BC＝2AB＝6cm，
∴AB＝3cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴AD＝BC＝6cm，
∴∠NAM＝∠BMA，
∵将矩形纸片ABCD沿直线AM折叠，点B落在点B1的位置，
∴AB1＝AB＝3，MB1＝BM＝4cm，∠B1＝∠B＝90°，∠BMA＝∠B1MA，
∴∠NAM＝∠NMA，
∴AN＝MN，
设AN＝MN＝xcm，则B1N＝BM﹣NM＝（4﹣x）cm，
由勾股定理得：AB12+B1N2=AN2，
∴32+（4﹣x）2＝x2，
解得：x=258cm，
∴ND＝AD﹣AN＝6−258=238（cm）．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键．
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x
0
5
10
15
y
3
3.5
4
4.5
选手
得分
平均数
方差
评委1
评委2
评委3
评委4
评委5
甲
93
90
92
93
92
92
乙
91
92
92
92
92
91.8
0.16
丙
90
94
90
94
92
3.2
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
D
B
A
A
B
A
x
0
5
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选手
得分
平均数
方差
评委1
评委2
评委3
评委4
评委5
甲
93
90
92
93
92
92
乙
91
92
92
92
92
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丙
90
94
90
94
92
3.2