湖北省黄冈市重点校2025-2026学年高二下学期4月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖北省黄冈市重点校2025-2026学年高二下学期4月月考数学试卷（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据基本初等函数的导数和求导法则判断．
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：B.
2. 已知函数的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是+2,则的值等于
A. 0B. 1C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数定义，求得的值；根据点在切线方程上，求得的值，进而求得的值．
【详解】点M(1,f(1))在切线上，所以
根据导数几何意义，所以
所以
所以选D
【点睛】本题考查了导数的几何意义及点在曲线上的意义，属于基础题．
3. 从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有（ ）种
A. B. C. 30D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】从除了甲乙外的人中任选一人，再将甲，乙和所选的人进行全排列，即可求出甲、乙两人都入选的不同选法的种数.
【详解】由题意，
甲乙两人都入选，还要先在其他5人里选一人有种，再和甲乙一起全排列有，
∴甲乙两人都入选的不同选法有（种）.
故选：C.
4. 函数的大致图像为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用排除法，先利用函数值正负的分布判断B错误，再利用特殊值判断D错误,根据极值点确定C错误，即得答案.
【详解】函数中，，当时,,看图像知B选项错误；
函数中，，当时,, 看图像知D选项错误；
解得，故为函数的极值点，故C选项不符合，A选项正确.
故选：A.
5. 有4封不同的信投入3个不同的信箱，可有不同的投入方法种数为（ ）
A. 81B. 64C. 27D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】利用分步计数原理，每封信独立选择信箱，将各步的方法数相乘得到总方法数。
【详解】每封信都有3种选择，所以将4封不同的信投入3个不同的信箱，共有种方法．
故选：A.
6. 已知函数在存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先得到的定义域，由题意得到在上有解，参变分离得到实数的取值范围.
【详解】由题意得在上有解，
即在上有解，
其中，
所以
故实数的取值范围是.
故选：D
7. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用构造法求导可知是在上单调递增．然后再利用单调性即可解不等式.
【详解】令，因为，所以，
所以在上单调递增．
又，所以，
因此不等式可化为，
所以，解得，
即不等式的解集为．
故选：B.
8. 已知等差数列的前n项和为，且．当取得最大值时n的值为k，使得成立的最大正整数n的值为m．则的值为（ ）
A. 28B. 29C. 30D. 31
【答案】B
【解析】
【分析】由可知，结合等差数列的通项公式及前n项和公式确定，即可得.
【详解】因为，所以，
令数列公差为，所以，
所以是单调递减数列，且，则，
所以，则取得最大值时对应，即，
因为，，
且，在开口向下的抛物线上，
所以成立的最大 ，即 ，故 .
二、多选题
9. 用数字，，，，组成数字，下列说法正确的有（ ）
A. 可以组成个没有重复数字的三位数
B. 可以组成个没有重复数字的四位奇数
C. 可以组成个小于且没有重复数字的三位偶数
D. 可以组成个没有重复数字且十位上的数字最大的三位数
【答案】BCD
【解析】
【分析】考虑各个位置上的选法数，结合两个计数原理逐项分析即可.
【详解】对于A，百位上的数字有种选择，十位上的数字有种选择，个位上的数字有种选择，
由分步乘法计数原理，可以组成个没有重复数字的三位数，故A错误；
对于B，因为是奇数，所以个位上的数字有，，，共种选择，
千位上的数字有种选择，百位上的数字有种选择，十位上的数字有种选择，
由分步乘法计数原理，可以组成个没有重复数字的四位奇数，故B正确；
对于C，因为是偶数，所以个位上的数字有，，共种选择，
若个位上的数字是，因为组成的数小于，所以百位上的数字有，，，共种选择，十位上的数字有种选择，
由分步乘法计数原理，可以组成个小于且没有重复数字的三位偶数，
若个位上的数字是，因为组成的数小于，所以百位上的数字有，，共种选择，十位上的数字有种选择，
由分步乘法计数原理，可以组成个小于且没有重复数字的三位偶数．
由分类加法计数原理，可以组成个小于且没有重复数字的三位偶数，故C正确；
因为十位上的数字最大，所以十位上的数字可以是，，，
当十位上的数字是时，若个位上的数字是，则百位上的数字有种选择，
若个位上的数字不是，则个位上的数字有种选择，百位上的数字有种选择，
所以可以组成个符合要求的三位数；
当十位上的数字是时，个位和百位都有种选择，所以可以组成个符合要求的三位数，
当十位上的数字是时，符合要求的三位数只有，共个，
综上，可以组成个没有重复数字且十位上的数字最大的三位数，故D正确；
故选：BCD．
10. 数列是等比数列，公比，其前项和为，则（ ）
A. 当时，为递增数列
B. 若，，则
C. 若，，成等差数列，则，，成等差数列
D. 若，，成等差数列，则，，成等差数列
【答案】BCD
【解析】
【详解】对于A，当时，时，为递减数列，故A错误；
对于B，若，，，，成等比数列，
则，故B正确；
对于C，若，，成等差数列，则，即，
即，即，即，
所以，，成等差数列，故C正确；
对于D，，，成等差数列，所以，
即，所以，
即，即，
所以，所以，，成等差数列，故D正确.
11. 如果一个函数在其定义区间内对任意，都满足，则称这个函数为下凸函数，下列函数为下凸函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】
定义域内任取，先求出的解析式以及的解析式，利用函数的单调性、基本不等式判断它们的大小关系，再根据“下凸函数”的定义，得出结论．
【详解】A.对于函数，定义域内任取，
有
∴下凸函数．
B. 对函数，在定义域内取，
，
，因为，
即，不满足任意性，所以不是下凸函数.
C.对于函数，定义域内任取，
有,
故不是下凸函数；
D. ，由已知，若满足下凸函数，则任取两个数的中点的函数值应该小于等于两个函数值的中点，反映到图象上则任取两个点的连线应该在所给函数图象的上方或重合，由图象可知，此函数满足下凸函数定义
故选：AD
【点睛】本题考查新定义，考查基本不等式的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
三、填空题
12. 若直线与曲线相切，则实数的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由切线的斜率为可知，进而得切点，代入直线中可得.
【详解】由得，
令得，此时，故切点为，
故，得，
故答案为：
13. 已知在等比数列中，首项，公比，，是函数的两个极值点，则数列的前9项和是______.
【答案】1022
【解析】
【分析】利用导数求出函数的两个极值点，进而求出数列公比，再求出前9项和.
【详解】由，求导得，
当或时，；当时，，
则分别为函数的极大值点和极小值点，
在等比数列中，，公比，则，
又是函数的两个极值点，因此，，
所以数列的前9项和.
故答案为：1022
14. 设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”．若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
令得，设函数，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，利用数形结合思想可求得实数的取值范围.
【详解】令得，设函数，
则直线与函数在区间上的图象有两个交点，
，令，可得，列表如下：
，，如下图所示：
由上图可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数的新定义，本质上考查利用函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
四、解答题
15. 已知函数在处取得极值.
（1）求函数的解析式及单调区间；
（2）求函数在区间的最大值与最小值.
【答案】（1），单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）最大值为2，最小值为.
【解析】
【分析】（1）求导，根据，求出，求出解析式，并解不等式，求出单调区间；
（2）在（1）基础上，得到函数极值情况，和端点值比较后得到答案.
【小问1详解】
，
由题意得，即，解得，
故解析式为，定义域为R，
令，令得或，
令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
显然为极小值点，故，
单调递增区间为，单调递减区间为，
【小问2详解】
由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
表格如下：
又，
故的最大值为2，最小值为.
16. 记为等比数列的前n项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题设结合与的关系可得，进而得到数列的公比为，即可得到，再由题设得到即可求得，进而求解即可；
（2）由（1）可得，进而利用错位相减法求解即可.
【小问1详解】
由，
当时，，
两式相减得，，即，
因为数列为等比数列，所以数列的公比为，
当时，，而，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，则，
所以，
则，
两式相减得，，
则.
17. 已知函数．
（1）若，求函数的极值；
（2）若函数有两个零点，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据导函数判断函数的单调性即可；
（2）将问题转化为直线与曲线有两个交点，利用导函数求出的单调性和取值范围即可.
【小问1详解】
当时，，则，
当变化时，的变化情况如下表所示：
当时，函数取得极大值，极大值为，
当时，函数取得极小值，极小值为0．
【小问2详解】
由题意知方程有两个根，即有两个根，
则直线与曲线有两个交点，
设，则，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
则，
当时，，当时，．
综上，的取值范围是．
18. 已知数列的前n项和为，，是公比为3的等比数列．
（1）求与；
（2）设，求数列的前k项和；
（3）判断是否存在正整数s，t，r（），使得，，成等差数列？若存在，写出s，t，r的一组值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）应用分计算求解；
（2）应用等比数列求和公式计算数列的和；
（3）应用反证法假设，，成等差数列，再计算得出矛盾即可证明.
【小问1详解】
因为是公比为3的等比数列，且，
所以，
当时，，所以
【小问2详解】
因为，
所以当时，是公比为9的等比数列，
因为，所以．
【小问3详解】
假设存在s，t，r（），使得，，成等差数列，
若，则，
是奇数，是偶数，与假设矛盾；
若，则，
两边同时除以，得，
因为，所以，与假设矛盾，
所以不存在正整数s，t，r（），使得，，成等差数列．
19. 已知函数，.
（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；
（2）讨论的单调性；
（3）当时，，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）.
【解析】
【分析】（1）求出，利用导数的几何意义，根据斜率之积为求解即可；
（2）求出函数的导数，分类讨论，解不等式即可得出单调性区间；
（3）利用导数确定，分离参数后，再利用导数求函数最小值即可得解.
【小问1详解】
因为，所以，
所以，
又在处的切线与直线垂直，所以，
即，所以.
【小问2详解】
，.
①当时，，所以在上单调递增.
②当时，令，得，又，所以.
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问3详解】
由，得在上恒成立.
令，，则，令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，即，
则在上恒成立.
令，，
则
.
因为，所以，则，
令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，
所以，即的取值范围是.
极大值
1
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
1
0
0
单调递增
单调递减
0
单调递增