广东省深圳市坪山区2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷(含答案)
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这是一份广东省深圳市坪山区2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷(含答案),共14页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.(3分)下列标志是轴对称图形的是( )
A.B.
C.D.
2.(3分)如图,直线a被直线b,c所截,下列是内错角的是( )
A.∠1和∠5B.∠4和∠7C.∠3和∠5D.∠3和∠8
3.(3分)64的立方根是( )
A.2B.4C.8D.16
4.(3分)第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门三地共同举办,极大地提升了国民对运动的热情.某高校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选出一位,参加射击比赛,如表记录了四位同学平时成绩的平均数(单位:环)及方差,若要选出一个成绩好且状态稳定的同学去参加比赛,则应选择是( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
5.(3分)一次函数y=2x﹣1( )平移1个单位长度能得到正比例函数y=2x.
A.向上B.向下C.向左D.向右
6.(3分)生活经验表明,靠墙摆放梯子时,若梯子底端到墙的距离约为梯子长度的13,则梯子比较稳定.当梯子稳定摆放时,它的顶端离地4m,则梯子长度约为( )
A.2mB.4mC.32mD.22m
7.(3分)小山打算买一件甲商品和一件乙商品,到店后得知这两种商品的原价加起来是200元.过了几天商店调整定价:甲商品单价上涨10%,乙商品单价下调20%.等小山再次到店购买这两种商品各一件时,发现这次的总价比最初的200元多了8%.若设甲商品原来的单价为x元,乙商品原来的单价为y元,可列出的方程组是( )
A.x+y=2000.8x+1.1y=200×1.08
B.x+y=2001.1x=200×1.08+0.8y
C.x+y=2001.1x+0.8y=200×1.08
D.x+y=2001.1x+0.8y=200×1.8
8.(3分)在学习课本“问题解决策略——逐步确定”时,我们曾用该策略解决过“一个数三三数之余二,五五数之余三,七七数之余二,这个数最小是多少”的问题,最终得出答案为23.现在请你解决以下问题:已知一个正整数满足以下条件:除以3余2,除以5余4,除以7余3,满足条件的最小正整数是( )
A.23B.38C.59D.86
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,满分15分)
9.(3分)点(﹣1,2)在坐标系上第 象限.
10.(3分)平方根等于本身的数是 .
11.(3分)如图,直线l1与l2的交点坐标(3,5)可以看成是二元一次方程组 的解.
12.(3分)如图,小正方形的边长为1,剪一剪,并拼成一个正方形,这个正方形的边长是 .
13.(3分)如图,在五边形ABCDE中,∠B=∠BCD=∠D=90°,AB=2,BC=6,CD=4,连接AC,恰好平分∠BAE,求AE的长度 .
三、解答题(本大题共7小题,其中第14题8分,第15题8分,第16题8分,第17题8分,第18题9分,第19题10分,第20题10分,共61分,解答应写出文字说明或演算步骤)
14.(8分)(1)计算:2−8+16;
(2)数学课上,小坪在解二元一次方程组2x+3y=4①3x−3y=6②时,写下了解答过程.
①请问第二步到第三步的目的是 .
②小山看完小坪的解题过程后,认为还存在其他解题思路,请你用其他方法求解这个方程组.
15.(8分)为落实《国家学生体质健康标准》,某校重点监测八、九年级男生身体素质.本次校内模拟体测设1000米(40%)、50米(30%)、引体向上(30%)三项,得分均为百分制(综合分四舍五入,保留整数).为优化教学,学校从八、九年级各抽12名男生的模拟数据进行分析.
信息1:八年级12名男生体测单项得分表(单位:分)
信息2:九年级12名男生体测综合得分数据(单位:分)
信息3:九年级12名男生综合得分箱线图
信息4:八、九年级抽取男生体测(综合得分)统计表:
根据以上信息,解答下列问题:
(1)m= ,n= ,x= ;
(2)请求出八年级编号为3的学生的综合得分(四舍五入,保留整数);
(3)根据抽查的数据,请判断哪个年级的体测成绩更好,并说明理由.
16.(8分)如图,在平面直角坐标系中,点A(﹣3,1),B(﹣2,4),C(﹣4,5).
(1)将△ABC向右平移4个单位长度,得到△A1B1C1,请在图中画出△A1B1C1;
(2)画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2;
(3)求△ABC的面积.
17.(8分)如图,将△AEC绕点C顺时针旋转90°得△BDC,连接AD后发现A、D、B三点共线.
(1)求证:∠ADE=∠ACE.
(2)当BD=2,AD=6时,求DE的长度.
18.(9分)综合与实践:根据下面素材,探索完成任务.
19.(10分)【知识回顾】
如图1,AD是△ABC的中线,在图中过点A作AE⊥BC于点E.
∵AD是△ABC的中线,
∴S△ABD=12BD×AE=12×12BC×AE=12S△ABC.
据此可得结论:
三角形的一条中线平分该三角形的面积.
【定义运算】
一条直线将一个三角形的面积分成两部分,若两部分的面积比为1:2时,我们称这条直线整分三角形.
例如,如图2,在△ABC中,直线m交边AC于点D,交边BC于点E,若S四边形ABED:S△CDE=1:2,我们则称直线m整分△ABC.
【理解内化】
(1)如图3,在△ABC中,经过点B的直线m交边AC于点D,若S△ABD:S△CBD=1:2,若△ABC的面积是24,则S△ABD= .
【综合应用】
(2)如图4,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴、y轴分别交于A(6,0),B(0,8)两点,过点O的直线m整分△OAB,求直线m对应的函数表达式.
【拓展延伸】
(3)在(2)问题中,若直线m平行于直线AB,且直线m整分△OAB,你认为直线m是否存在?若存在,请直接写出所有符合条件的直线m对应的函数表达式;若不存在,请说明理由.
20.(10分)【思考与尝试】
在勾股定理的学习中,老师留了一道思考题:如何求平面直角坐标系中两点A(x1,y1)、B(x2,y2)之间的距离?
【合作与交流】
坪坪和山山进行了合作讨论学习.
首先,坪坪在坐标系中任意点出了A点(x1,y1)和B点(x2,y2).山山若有所思:勾股定理的使用条件是需要一个直角三角形,如何构造直角三角形呢?
坪坪灵机一动:过点A向y轴作垂线AN、过点B向x轴作垂线BM,垂足分别为N(0,y1)和M(x2,0),直线AN和BM相交于点Q,这样就形成了一个直角三角形!
山山想到:BQ=|yB﹣yQ|=|y2﹣y1|,AQ=|xA﹣xQ|=|x1﹣x2|
坪坪高兴地说道:就是这样,所以AB的长度是…
(1)已知A(﹣1,2),B(2,﹣2),根据坪坪和山山的思考过程,AB= .
(2)得知坪坪和山山顺利得出平面直角坐标系中两点之间距离公式,数学老师大为赞扬,随后又布置了一道思考题:求解16+(12−x)2+x2+4的最小值?
坪坪在观察后将其联系到了平面直角坐标系中两点之间距离公式,觉得这个式子是平面直角坐标系中两个距离的和…
而山山持有不同的思路,他觉得这个式子跟勾股定理相关,于是他构建了一个数学模型:A、E两点在直线同侧,分别过点A、E作AB⊥BD,ED⊥BD,C为线段BD上一动点,连接AC、EC.已知AB=4,DE=2,BD=12,设CD=x.这个问题转化为了如何求AC+CE的值最小.
请你顺着坪坪或山山的思路完成这道题.
(3)求出代数式(x+1)2+9+1+(4−x)2的最小值.
2025-2026学年广东省深圳市坪山区八年级(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共8小题)
一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分,每小题给出4个选项,其中只有一个是符合题目要求的)
1.【答案】D
【解答】解:由题意知,A,B,C三个选项中的图形均不是轴对称图形,只有选项D中的图形是轴对称图形.
故选:D.
2.【答案】C
【解答】解:A、∠1与∠5是同位角,故此选项不符合题意;
B、∠4与∠7不是内错角,故此选项不符合题意;
C、∠3与∠5是内错角,故此选项符合题意;
D、∠3与∠8是同旁内角,故此选项不符合题意;
故选:C.
3.【答案】B
【解答】解:∵43=64,
∴64的立方根是4.
故选:B.
4.【答案】D
【解答】解:∵丁的平均数最大,方差最小,
∴丁成绩好且状态稳定,
故选:D.
5.【答案】A
【解答】解:根据“上加下减”的平移法则可知,
将一次函数y=2x﹣1的图象向上平移1个单位长度得到自变量函数y=2x.
故选:A.
6.【答案】C
【解答】解:设梯子底端到墙的距离为xm,则梯子长度为3xm,
由勾股定理得:(3x)2﹣x2=42,
解得:x=2(负值舍去),
则3x=32,
∴梯子长度为32m,
故选:C.
7.【答案】C
【解答】解:依题意得:x+y=2001.1x+0.8y=200×1.08.
故选:C.
8.【答案】C
【解答】解:方法一:∵23÷3=7……2,23÷5=4……3,故选项A不符合题意;
∵38÷3=12……2,38÷5=7……3,故选项B不符合题意;
∵59÷3=19……2,59÷5=11……4,59÷7=8……3,故选项C符合题意;
∵86÷3=28……2,86÷5=17……1,故选项D不符合题意;
故选:C.
方法二:设这个正整数最小是x,
∵一个正整数满足以下条件:除以3余2,除以5余4,除以7余3,
∴假设这个数在1≤x≤10内,没有符合题意的数字;
假设这个数在11≤x≤20内,没有符合题意的数字;
假设这个数在21≤x≤30内,没有符合题意的数字;
假设这个数在31≤x≤40内,没有符合题意的数字;
假设这个数在41≤x≤50内,没有符合题意的数字;
假设这个数在51≤x≤60内,这个数字为59;
故选:C.
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,满分15分)
9.【答案】二.
【解答】解:∵点的坐标是(﹣1,2),
∴这个点在第二象限,
故答案为:二.
10.【答案】0
【解答】解:∵02=0,
∴平方根等于本身的是0;
故答案为:0
11.【答案】y=56x+52y=52x−52.
【解答】解:根据题意得直线l1与l2的交点坐标(3,5)可以看成是二元一次方程组y=56x+52y=52x−52的解.
故答案为:y=56x+52y=52x−52.
12.【答案】6.
【解答】解:∵小正方形的边长为1,
∴一个小正方形的面积是1,
∴六个小正方形的面积和是6,
根据题意得拼成的正方形的边长是6,
故答案为:6.
13.【答案】2.5.
【解答】解:由题意,过C作CF⊥AE于F,连接CE,作AH⊥CD于H,作EG⊥AH于G,
又∵AC平分∠BAE,CB⊥AB,
∴BC=FC=6.
∴AB=AF=AC2−BC2=2.
设EF=x,
∴CE=CF2+EF2=62+x2=36+x2.
∴DE=CE2−CD2=20+x2.
∵EG⊥AH,GH⊥CD,∠D=90°,
∴四边形EGHD为矩形,同理可得四边形ABCH为矩形.
∴GH=DE=20+x2,GE=HD=CD﹣CH=4﹣2=2.
又AH=BC=6,
∴AG=AH﹣GH=6−20+x2.
又∵AE=AF+EF=x+2,
∴结合AG2+EG2=AE2,则(6−20+x2)2+22=(x+2)2.
∴x=12或 x=﹣4(不合题意,舍去).
∴AE=x+2=2.5.
故答案为:2.5.
三、解答题(本大题共7小题,其中第14题8分,第15题8分,第16题8分,第17题8分,第18题9分,第19题10分,第20题10分,共61分,解答应写出文字说明或演算步骤)
14.【答案】(1)4−2;
(2)①代入消元;
②2x+3y=4①3x−3y=6②,
①+②得:5x=10,
解得:x=2,
将x=2代入①得:4+3y=4,
解得:y=0,
故原方程组的解为x=2y=0.
【解答】解:(1)原式=2−22+4
=4−2;
(2)①由解方程的步骤可得第二步到第三步的目的是代入消元,
故答案为:代入消元;
②2x+3y=4①3x−3y=6②,
①+②得:5x=10,
解得:x=2,
将x=2代入①得:4+3y=4,
解得:y=0,
故原方程组的解为x=2y=0.
15.【答案】(1)88,84,86;
(2)76分;
(3)(3)九年级的体测成绩更好,理由如下:
因为九年级的体测成绩的平均数比八年级高,方差比八年级小成绩更稳定,所以九年级的体测成绩更好.
【解答】解:(1)由题意可知,九年级的中位数m=88+882=88,下四分位数为83+852=84,
八年级的众数x=86,
故答案为:88,84,86;
(2)78×40%+75×30%+75×30%=76.2≈76(分),
答:八年级编号为3的学生的综合得分为76分;
(3)九年级的体测成绩更好,理由如下:
因为九年级的体测成绩的平均数比八年级高,方差比八年级小成绩更稳定,所以九年级的体测成绩更好.
16.【答案】(1)
;
(2)
;
(3)3.5.
【解答】解:(1)如图,△A1B1C1为所作;
(2)如图,△A2B2C2为所作;
(3)△ABC的面积=2×4−12×3×1−12×4×1−12×2×1=3.5.
17.【答案】(1)证明:如图,设AC,DE交于F,
∵将△AEC绕点C顺时针旋转90°得△BDC,
∴CE=CD,AC=BC,∠DCE=∠ACB=90°,
∴∠CED=∠CDE=∠CAB=∠B=45°,
∴∠CAE=∠B=45°,
∵∠AFE=∠DFC,
∴∠ADE=∠ACE.
(2)解:由(1)知∠CAE=∠CAB=45°,
∴∠EAD=90°,
∵将△AEC绕点C顺时针旋转90°得△BDC,
∴AE=BD=2,
∵AD=6,
∴DE=AD2+AE2=22+62=210.
【解答】(1)证明:如图,设AC,DE交于F,
∵将△AEC绕点C顺时针旋转90°得△BDC,
∴CE=CD,AC=BC,∠DCE=∠ACB=90°,
∴∠CED=∠CDE=∠CAB=∠B=45°,
∴∠CAE=∠B=45°,
∵∠AFE=∠DFC,
∴∠ADE=∠ACE.
(2)解:由(1)知∠CAE=∠CAB=45°,
∴∠EAD=90°,
∵将△AEC绕点C顺时针旋转90°得△BDC,
∴AE=BD=2,
∵AD=6,
∴DE=AD2+AE2=22+62=210.
18.【答案】(方案1)H型新能源汽车的每辆进货价格为15万元,Q型新能源汽车的每辆进货价格为10万元;
(方案2)该销售企业共有3种采购方案,
方案1:购进6台H型新能源汽车,3台Q型新能源汽车;
方案2:购进4台H型新能源汽车,6台Q型新能源汽车;
方案3:购进2台H型新能源汽车,9台Q型新能源汽车;
(任务3)采购方案3获利最大,最大利润是4.15万元.
【解答】解:(任务1)设H型新能源汽车的每辆进货价格为x万元,Q型新能源汽车的每辆进货价格为y万元,
根据题意得:2x+5y=803x+2y=65,
解得:x=15y=10.
答:H型新能源汽车的每辆进货价格为15万元,Q型新能源汽车的每辆进货价格为10万元;
(任务2)设购进m台H型新能源汽车,n台Q型新能源汽车,
根据题意得:15m+10n=120,
∴m=8−23n,
又∵m,n均为正整数,
∴m=6n=3或m=4n=6或m=2n=9,
∴该销售企业共有3种采购方案,
方案1:购进6台H型新能源汽车,3台Q型新能源汽车;
方案2:购进4台H型新能源汽车,6台Q型新能源汽车;
方案3:购进2台H型新能源汽车,9台Q型新能源汽车;
(任务3)方案1可获得的利润为0.5×6+0.35×3=4.05(万元);
方案2可获得的利润为0.5×4+0.35×6=4.1(万元);
方案3可获得的利润为0.5×2+0.35×9=4.15(万元),
∵4.05<4.1<4.15,
∴采购方案3获利最大,最大利润是4.15万元.
19.【答案】(1)8;
(2)y=83x或y=23x;
(3)y=−43x+833或y=−43x+863.
【解答】解:(1)∵S△ABD:S△CBD=1:2,
∴设S△ABD=m,S△CBD=2m,
∴S△ABC=S△ABD+S△CBD=3m,
∵△ABC的面积是24,
∴3m=24,
解得:m=8,
∴S△ABD=m=8,
故答案为:8;
(2)∵直线AB与x轴、y轴分别交于A(6,0),B(0,8)两点,
∴OA=6,OB=8,
∴S△OAB=12×OA×OB=12×6×8=24,
设过点O的直线m与AB相交于点E,
设直线m的表达式为:y=kx,
过点E作EF⊥OA于点F,EH⊥OB于点H,
∵直线m整分△OAB,
∴有以下两种情况:
①当S△OBE:S△OAE=1:2时,如图4①所示:
设S△OBE=t,S△OAE=2t,
∴S△OAB=S△OBE+S△OAE=3t=24,
解得:t=8,
∴S△OBE=t=8,S△OAE=2t=16,
∴12×OB×EF=8,12×OA×EH=16,
∴12×8×EF=8,12×6×EH=16,
∴EF=2,EH=163,
∴点E的坐标为(2,163),
∵点E(2,163)在直线y=kx上,
∴163=2k,
解得:k=83,
∴直线m的表达式为:y=83x;
②当S△OAE:S△OBE=1:2时,如图4④所示:
同①得S△OAE=8,S△OBE=16,
∴12×OB×EF=8,12×OA×EH=16,
∴12×8×EF=16,12×6×EH=8,
∴EF=4,EH=83,
∴点E的坐标为(4,83),
∵点E(4,83)在直线y=kx上,
∴83=4k,
解得:k=23,
∴直线m的表达式为:y=23x,
综上所述:直线m对应的函数表达式为y=83x或y=23x;
(3)∵在(2)问题中,
∴S△OAB=24,
设直线AB的表达式为:y=kx+b,
将点A(6,0),B(0,8)代入y=kx+b,
得:6k+b=0b=8,
解得:k=−43b=8,
∴直线AB的表达式为:y=−43x+8,
∵直线m平行于直线AB,
∵设直线m的表达式为:y=−43x+t,其中t>0,
设直线m交OB于点M,交OA于点N,
对于y=−43x+t,当x=0时,y=t,
当y=0时,−43x+t=0,
解得:x=3t4,
∴点M的坐标为(0,t),点N的坐标为(3t4,0),
∴OM=t,ON=3t4,
∴S△OMN=12×OM×ON=12×t×3t4=3t28,
∵直线m整分△OAB,
∴有以下两种情况:
①当S△OMN:S四边形ABMN=1:2时,如图5①所示:
设S△OMN=n:S四边形ABMN=2n,
∴S△OAB=S△OMN+S四边形ABMN=3n=24,
解得:n=8,
∴S△OMN=8,
∴3t28=8,
解得:t=833,t=−833(不合题意,舍去),
∴设直线m的表达式为:y=−43x+833;
②当S四边形ABMN:S△OMN=1:2时,如图5②所示:
同①得:S△OMN=16,
∴3t28=16,
解得:t=863,
∴设直线m的表达式为:y=−43x+863,
综上所述:直线m的表达式为y=−43x+833或y=−43x+863.
20.【答案】(1)5;(2)65;(3)41.
【解答】解:(1)过点A向x轴作垂线AN、过点B向y轴作垂线BM,垂足分别为N(﹣1,0)和M(0,﹣2),直线AN和BM相交于点Q,这样就形成了一个直角三角形AQB,如图,
则AQ=4,BQ=3,
∴AB=AQ2+BQ2=5.
故答案为:5;
(2)构建了一个数学模型:A、E两点在直线同侧,分别过点A、E作AB⊥BD,ED⊥BD,C为线段BD上一动点,连接AC、EC.已知AB=4,DE=2,BD=12,设CD=x,则BC=12﹣x,如图,
∵AB⊥BD,ED⊥BD,
∴AC=AB2+BC2=16+(12−x)2,CE=CD2+DE2=x2+4,
∴AC+CE=16+(12−x)2+x2+4,
∴当AC+CE取得最小值时,16+(12−x)2+x2+4的最小值=AC+CE的最小值.
作点E关于直线BD的对称点E′,连接AE′,交BD于点C,则此时AC+CE取得最小值,最小值为AE′,过点E′作E′H⊥AB,交AB的延长线于点H,如图,
则DE=DE′=2,四边形BHE′D为矩形,
∴BH=DE′=2,E′H=BD=12,∴AH=AB+BH=6,
∴AE′=62+122=65,
∴AE的最小值为65,
∴16+(12−x)2+x2+4的最小值为65;
(3)在平面直角坐标系中找出点A(﹣1,3),B(4,1),C(x,0),过点A作AD⊥x轴于点D,过点B作BE⊥x轴于点E,如图,
则AD=3,CD=x+1,BE=1,CE=4﹣x,
∴AC=AD2+DC2=(x+1)2+9,BC=CE2+BE2=1+(4−x)2,
∴代数式(x+1)2+9+1+(4−x)2的最小值=AC+BC的最小值,
作点B关于x轴的对称点B′(4,﹣1),连接AB′,交x轴于点C,则此时AC+B取得最小值,最小值为AB′,过点B′作B′F⊥AD,交AD的延长线于点H,如图,
∴BE=B′E=1
则四边形DHB′E为矩形,
∴DH=B′E=1,B′H=DE=OD+OE=1+4=5,
∴AH=AD+DH=4,
∴AB′=42+52=41,
∴代数式(x+1)2+9+1+(4−x)2的最小值为41.甲
乙
丙
丁
平均数
9.1
8.6
7.9
9.1
方差
2.02
0.85
0.85
0.96
解:由①得2x=4﹣3y③…第一步
x=2−32y…第二步
把③代入②中得3(2−32y)﹣3y=6…第三步
6−92y﹣3y=6…第四步
−152y=0…第五步
y=0④…第六步
把④代入③中得x=2…第七步
所以,原方程组的解是为x=2y=0第八步
学生编号
1000米得分
50米得分
引体向上得分
综合得分
1
65
60
62
63
2
72
70
70
71
3
78
75
75
a
4
80
80
80
80
5
84
82
80
82
6
88
85
82
85
7
88
85
85
86
8
88
85
85
86
9
100
100
60
88
10
90
100
78
89
11
95
92
90
93
12
98
96
95
97
学生编码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
综合得分
75
80
83
85
88
88
88
90
92
93
99
100
年级
综合得分平均分
中位数
众数
方差
八年级
83
85.5
x
81.83
九年级
88
m
88
47.91
背景
作为深圳建设“新一代世界一流汽车城”的核心承载区,坪山区正全力聚焦智能网联新能源汽车的研发创新与智能制造,构建起“核心研发+智能制造”的双轮驱动产业生态.为抢抓新能源汽车市场机遇,某汽车销售企业计划从坪山区新能源汽车产业集群中批量采购新能源汽车,开展市场销售布局.
素材1
采购2辆H型新能源汽车、5辆Q型新能源汽车,累计需支付进货成本80万元.
素材2
采购3辆H型新能源汽车、2辆Q型新能源汽车,累计需支付进货成本65万元.
解决问题
任务1
计算H型,Q型两种新能源汽车的每辆进货价格分别为多少万元?
任务2
若该销售企业计划正好用120万元购进以上两种型号的新能源汽车(每种型号至少1台),请帮助该公司设计出所有满足预算要求的采购方案.
任务3
结合市场销售数据,销售1辆H型新能源汽车可获利0.5万元,销售1辆Q型新能源汽车可获利0.35万元.在任务2拟定的采购方案中,若所有采购的汽车均能顺利售出,哪种采购方案获利最大?最大利润是多少万元?
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
B
D
A
C
C
C
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