江苏扬州部分地区2026届高三下学期4月联考数学试题解析版

这是一份江苏扬州部分地区2026届高三下学期4月联考数学试题解析版，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 ，则 中元索的个数为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】 共 5 个元素.
2. 若复数 满足 ,则在复平面内 对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】 ,则 位于第一象限.
3.已知椭圆 的焦距为 ，则
A. B. 3 C. 5 D.
【答案】B
【解析】椭圆 的焦距为 , , .
4.一组样本数据依次为 ，关于这组数据的数字特征，下列结论正确的是
A. 极差为 -6 B. 平均数小于 0 C. 中位数是 1 D. 方差为 3
【答案】C
【解析】极差 错,平均数 1 大于 0, B 错,中位数 , C 对.
5.已知函数 ,则 “ ” 是 “ 为奇函数” 的
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】 时 为奇函数,充分 为奇函数, 可取 ,不必要.
6.某智能物流车的“实际配送向量 ”，“规划路线向量 ”，“交通拥堵修正向量 ”，满足关系式: 已知条件如下:实际配送向量 ，交通拥堵修正向量 与向量 垂直, 、配送效率等级通过 “规划路线向量 的模(单位:km)”判定，标准如下表(一般情况下，认定“停滞”属于无效配送):
若此次配送为有效配送，则此次配送的效率等级为
A. 超高效 B. 高效 C. 常规 D. 低效
【答案】B
【解析】 与 垂直,则 或 或 或 高效.
7.已知圆 ,直线 上存在点 ,过点 作圆 的两条切线, 切点分别为 ,使得 ,则实数 的取值范围为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】 ， ， 在以 为圆心， 为半径的圆上
又在直线 上, .
8.若实数 满足 ,则 的大小关系不可能是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ,则 令 ,如图
① ，A 对；② ，C 对；③ ，D 对.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.正方体 中， 为 中点， 为 中点，以下结论正确的是
A. OM // BC B. OM // 平面
C. 平面 D. 平面 平面
【答案】BD
【解析】如图建系,设 ,则
与 不平行, A 错.
平面 对.
与平面 不垂直,则 与平面 不垂直, 错.
设平面 的法向量
,不妨设 ,则
,平面 的法向量
平面 平面 ，D 对.
10.已知函数 ,则下列结论正确的是
A. 有两个极值点
B. 直线 是曲线 的切线
C. 若 在区间 上单调递增,则实数 的取值范围为
D. 若 在区间 上有最大值,则实数 的取值范围为
【答案】ABD
【解析】 或 3, 在 单调递增, 单调递减, 单调递增, 有 2 个极值点, 对.
切点 ,则 切点 ,切线 对.
在 单调递增, 在 上有最大值 对.
11.一个袋中装有 2 个红球和 3 个白球, 这些球除了颜色以外完全相同. 每次从袋中随机取出一个球, 取出的球不放回. 则下列结论正确的是
A. 第二次取出的是红球的概率为
B. 前两次取出的球的颜色相同的概率为
C. 若第三次取球时发现取出的是红球,则此时袋中没有红球的概率为
D. 设 2 个红球都被取出时,已经取出的白球个数为 ,则 的期望为 2
【答案】ACD
【解析】第二次抽到红球的概率 , A 对.
前两次取出的球的颜色相同的概率为 , B 错.
记 “第二次取球时发现取出的是红球” 为 ，记 “此时袋中没有红球” 为
对.
可取
对.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 ________.
【答案】0.6
【解析】 , .
13.写出一个同时满足下列条件①②的 的值_______.
① ②
【答案】
【解析】 , 可取 .
14.已知点 是双曲线 的右焦点; 过点 作 的一条渐近线的垂线,垂足为点 ,直线 交双曲线 于点 ,若 ,则双曲线 的离心率为________.
【答案】
【解析】双曲线焦点到渐近线距离为 ，
设左焦点
化简得 ,则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.在 中,角 的对边分别为 ,若 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 边上的高 .
【解析】(1) ,
由正弦定理
(2)
,
边上的高为 .
16.已知数列 是等差数列,且 ,数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的通项公式；
(3)记数列 满足 ，求数列 的前 10 项和 .
【解析】(1)设 公差为 ，由 .
(2) ①， 时， ②
①-② ，而 也满足上式， .
(3)
17.如图，在四棱台 中，已知 ，
(1)证明: ；
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 .
① 求线段 的长度及四棱台 的体积;
②求二面角 的余弦值.
【解析】
(1)证明:连接 ，在 中， ，
又 平面 .
(2)① ，由(1)知 ，
平面 平面 平面 平面 过 作 于点 平面 ,
即为 与平面 所成角, ,设
② ， ， ， 平面
过 作 于点 ,连接 即为二面角 的平面角在直角梯形 中，由 ，
.
18.如图,已知抛物线 的焦点为 ,点 在 上,
(1)求 的方程；
(2)设点 ，直线 过焦点 ，与 交于 两点，直线 分别交 于另两点 .
①若 的面积为 ，求直线 的方程:
②是否存在定点 使得 三点共线? 若存在,求出点 的坐标; 若不存在, 请说明理由.
【解析】(1)由题意知 的方程为:
(2)①设直线 方程为
直线 的方程为: ,即 .
方法一: ② 设 方程为
同理 ,设 方程为
直线 恒过定点 ,即存在定点 使 三点共线.
方法二: ② 设
由 三点共线,得直线 方程为
又
同理 ,于是
直线 方程为
令 ,得
存在定点 ,使得 三点共线.
19.已知函数
(1)若 ，求证: ；
(2)讨论函数 的零点个数；
(3)令 ，若 ，求证:
【解析】(1)
当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增
,得证.
(2)
① 当 时， 在 上单调递增，注意到 在 上有唯一的零点.
②当 时， 无零点.
③ 当 时， 在 上单调递减； 上单调递增
(i) 当 时, 恒成立, 无零点
(ii) 当 时, 有唯一的零点
(iii) 当 时, 且 时, 时,
在 和 上各有一个零点,共两个零点.
综上: (i) 当 时, 无零点; (ii) 当 或 时, 有唯一的零点; (iii) 当 时, 恰有两个零点.
(3) ，当 时，所证不等式显然成立.
当 时,由对称性,不妨设 ,令
证: ,即证: ,其中
,下证
即证 ,令 ,
当 时,
当 时,
对 ,得证 .配送效率等级
超高效
高效
常规
低效
停滞
模的大小
0.0-2.0
2.1-4.0
4.1-6.0
6.1-8.0
> 8.0