广东省深圳南方科技大学附属中学2025-2026学年高一下学期4月学情调研数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份广东省深圳南方科技大学附属中学2025-2026学年高一下学期4月学情调研数学试卷含解析（word版+pdf版），共3页。
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上. 将条形码粘贴在答题卡左上角 “条形码粘贴处”.
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.
3. 考试结束后，请将试卷妥善保管，答题卡统一交回.
一、选择题 (本大题包括 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题列出的四个选项中, 只有一个选 项是正确的.)
1. 若 AB=3,4,A 点的坐标为 −2,−1 ，则 B 点的坐标为( )
A. 1,3 B. 1,−3 C. −5,−5 D. 5,5
【答案】 A
【详解】设 Bx,y ,故 AB=x+2,y+1 ,而 AB=3,4 ,
故 x+2=3y+1=4 ,故 x=1y=3 ,故 B1,3 ,
故选: A .
2. e1,e2 是平面内向量的一组基，则下面四组向量中，不能作为一组基的是 ( )
A. e1 和 e1+e2 B. e1−2e2 和 e2−2e1
C. e1−2e2 和 4e2−2e1 D. e1+e2 和 e1−e2
【答案】 C
【详解】对于 A ,由向量加法法则知, e1,e2 及 e1+e2 对应的有向线段可围成一个三角形,则 e1 和 e1+ e2 不共线，可作基底， A 不是；
对于 B ，在 e1−2e2 和 −2e1+e2 中， 1−2≠−21 ，则 e1−2e2 和 e2−2e1 不共线，可作基底， B 不是；
对于 C,4e2−2e1=−2e1−2e2,e1−2e2 和 4e2−2e1 共线，不可作基底， C 是；
对于 D,e1+e2 和 e1−e2 是以 e1,e2 为一组邻边的平行四边形的两条对角线向量,不共线,可作基底, D 不是.
故选: C
3. 复数 z 满足 z+1⋅i=1−2i ( i 为虚数单位),则 z 的共轭复数的虚部是 ( )
A. -3 B. −3i C. 1 D. i
【答案】 C
【详解】由题意可得: z=1−2ii−1=1−2ii−1−1=−3−i ,所以 z=−3+i ,所以复数 z 的共轭复数的虚部为 1 .
4. 已知 a=m,−1,b=m−1,2 ，则 “ m=2 ” 是 “ a⊥b ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】 A
【详解】因为 a=m,−1,b=m−1,2 ,若 a⊥b ,则 a⋅b=mm−1−2=0 ,
即 m2−m−2=0 ,解得 m=−1 或 m=2 ,
因为 {2} 是 {−1,2} 的真子集,故 “ m=2 ” 是 “ a⊥b ” 的充分不必要条件.
故选: A .
5. 在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ,若 b=3,c=2,csA=13 ,则 a= ( )
A. 6 B. 7 C. 22 D. 3
【答案】 D
【详解】由余弦定理得 a2=b2+c2−2bccsA=9+4−2×3×2×13=9 ,所以 a=3 .
故选: D
6. 已知向量 a,b 满足 a−2b=a+b ，则 a 在 b 上的投影向量为( )
A. 2b B. 3b C. 12b D. 32b
【答案】 C
【详解】 ∵a−2b=a+b ,
∴a2+b2+2a⋅b=a2+4b2−4a⋅b ,
∴a⋅b=12b2 ,
∴a 在 b 上的投影向量为 a⋅a⋅ba⋅b⋅bb=a⋅bb2b=12b .
故选: C .
7. 已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=π3 ，点 P 在线段 BC 上，点 Q 在线段 DC 上， BP=QC ，则 DP⋅BQ 的最大值为 ( )
A. −32 B. 2 C. 32 D. -2
【答案】 A
【详解】在边长为 2 的菱形 ABCD 中,由 ∠BAD=π3 ,得 ∠BCD=π3 ,由点 Q 在线段 DC 上,
令 CQ=λCD,0≤λ≤1 ,由点 P 在线段 BC 上, BP=QC ,得 CP=1−λCB ,
则 BQ=CQ−CB=λCD−CB,DP=CP−CD=1−λCB−CD ,
而 CB⋅CD=2×2csπ3=2 ,
因此 DP⋅BQ=1−λCB−CD⋅λCD−CB
=λ1−λ+1CB⋅CD−1−λCB2−λCD2=2λ−λ2+1−41−λ−4λ
=−2λ2+2λ−2=−2λ−122−32≤−32 ,当且仅当 λ=12 时取等号, 所以 DP⋅BQ 的最大值为 −32 .
8. O,G 分别为 △ABC 的外心和重心, ∠BAC=30∘ ,若 AO⋅AG=3 ,则 △ABC 的面积的最大值 ( )
A. 2B. 94 C. 52 D. 154
【答案】 B
【详解】设 D 为 BC 边中点,连接 OD ,作 OH⊥AC 于 H ,即 H 为 AC 中点,
因为 AO⋅AC=AO⋅AC⋅cs∠OAC=AH⋅AC=12AC2 ,
同理 AO⋅AB=AO⋅AB⋅cs∠OAB=12AB2 ,
则 AO⋅AG=AO⋅23AD=23AO⋅12AB+AC
=13AO⋅AB+AC=16AB2+16AC2=16b2+c2=3,
所以 b2+c2=18 ,因为 ∠BAC=30∘ ,
所以 △ABC 的面积为 12bcsin30∘=14bc≤14⋅b2+c22=94 ,
当且仅当 b=c=3 时取等号.
故选: B
二、多项选择题 (本大题包括 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题列出的四个选项中, 有多项 符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.)
9. 已知 i 为虚数单位，则以下四个说法中错误的是( )
A. i+i2+i3+i4=0 B. 复数 21+i 的虚部为 -i
C. 若复数 z 为纯虚数，则 z2=z2−4 D. 若 z1,z2 为复数,则 z1⋅z2=z1z2
【答案】 BC
【详解】对于选项 A:i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0 ,故 A 正确；
对于选项 B : 复数 21+i=21−i1+i1−i=1−i 的虚部为 -1,故 B 错误;
对于选项 C: 例如 z=i 是纯虚数，则 z2=−1 ， z2=1 ，即 z2≠z2−4 ，故 C 错误；
对于选项 D: 设 z1=a+bi,z2=c+dia,b,c,d∈R ,
则 z1z2=ac−bd+ad+bci,z1=a2+b2,z2=c2+d2 ,
可得 z1z2=ac−bd2+ad+bc2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=a2+b2⋅c2+d2=z1z2 ,
所以 z1⋅z2=z1z2 ,故 D 正确.
10. 已知 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，则下列说法正确的是 ( ).
A. 若 sinA>sinB ，则 A>B
B. 若 a2+b2>c2 ，则 △ABC 为锐角三角形
C. 若 acsA=bcsB ，则 △ABC 为等腰三角形
D. 若 b=2,A=π3 ,这样的三角形有两解,则 a 的取值范围为 3,2
【答案】 AD
【详解】对于 A ,因为 sinA>sinB ,由正弦定理可得 a>b ,所以 A>B ,故 A 正确;
对于 B ,由余弦定理 csC=a2+b2−c22ab>0 ,可知 C 为锐角,
但是无法判断角 A 和角 B 是否为锐角，所以无法判断 △ABC 是否为锐角三角形，故 B 错误；
对于 C ,因为 acsA=bcsB ,所以 sinAcsA=sinBcsB ,即 sin2A=sin2B ,
又 A,B∈0,π ,所以 2A,2B∈0,2π ,所以 2A=2B 或 2A+2B=π ,
即 A=B 或 A+B=π2 ,即 △ABC 为等腰三角形或直角三角形,故 C 错误;
对于 D ,因为三角形有两解,所以 bsinA