河南许昌市襄城县实验高级中学等校2025-2026学年高一下册3月阶段检测数学试卷（含答案）

这是一份河南许昌市襄城县实验高级中学等校2025-2026学年高一下册3月阶段检测数学试卷（含答案），共29页。试卷主要包含了 已知向量，，若，则实数， 若，则的最小值为， 已知函数，且对任意的， 已知函数，其中，则等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 函数的最小正周期为（ ）
A. 1B. 2C. D.
【正确答案】A
【详解】函数的最小正周期为.
2. 命题“”的否定是
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题分析：特称命题的否定需要将特称量词改为全称量词，并对满足的条件加以否定，的否定为，所以的否定为
考点：特称命题的否定
点评：特称命题的否定为
3. 已知向量，，若，则实数（ ）
A. B. C. 4D. 9
【正确答案】B
【详解】由题设及，则，可得.
4. 若是平面内一个基底，则下列四组向量中能作为平面的基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【详解】选项A：，故中两向量共线，故A不能作为基底；
选项B：，故中两向量共线，故B不能作为基底；
选项C：，故中两向量共线，故C不能作为基底；
选项D：假设两向量共线，则存在实数，
使得，即，
若是基底，故不共线，
系数必须同时为0，即，方程组无解，假设不成立，
故两向量不共线，可以作为基底．
5. 在中，内角的对边分别为，若，则的面积为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【正确答案】A
【详解】由余弦定理得，则，
故面积为.
6. 若，则的最小值为（ ）
A. 16B. 32C. 64D. 128
【正确答案】C
【分析】由指数函数运算性质可得，由对数函数的性质可得，再由基本不等式求解即可.
【详解】因为，且，所以，
因为，当且仅当，即，时等号成立，
故的最小值为.
7. 在中，为边上一点，为边的中点，且与相交于点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据向量共线及向量的线性表示求解即可.
【详解】
设，则，
又，所以.
设，，
则，
又，
所以，解得，所以.
8. 已知函数，且对任意的（且），总存在，使得，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】由题意，，对任意，存在使得，
即（因为，区间内的数同号，乘积为正），所以必须在区间内，
因此，对于所有，有，由于且，分两种情况讨论：
若，则，函数递减，值域为，需满足，
即且，得且，故；
若，则，同样递减，值域为，需满足，
需满足且，同样得.
因此，.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 向量与的夹角为
D. 存在非零实数，使得
【正确答案】ABC
【分析】先求得向量，的坐标表示，再由向量数量积，共线，垂直的坐标运算求解即可.
【详解】因为，，所以，所以，，
对于A选项，， ，所以，故A正确；
对于B选项，，所以，故B正确；
对于C选项，，，设向量与夹角为，
则，所以向量与的夹角为，故C正确；
对于D选项，若，则，，，
则，解得，故D错误.
10. 已知函数，其中，则（ ）
A. 可能有最大值
B. 当时，若有定义，则其值域为
C. 在定义域内的区间上一定单调递减
D. 当时，一定存在最小值
【正确答案】BD
【详解】A选项，令，则，其中，
因为外层函数为，而在定义域上单调递增，
且在定义域内可以取到任意大的正数，所以在定义域内没有最大值，
因此也没有最大值，A选项错误；
B选项，的定义域为R，，
则与x轴有交点，且开口向上，所以在定义域内能取遍所有大于0的实数，
则的值域为，B选项正确；
C选项，对称轴为：，且开口向上，
所以在上单调递减，
若，则在该区间上最小值为，
则在该区间上无定义，因此C选项说法不准确；
D选项，若，则，即与x轴无交点，且开口向上，
的最小值为：且，
所以最小值为：，D选项正确.
11. 已知函数的图象连续不断，且，均有，，当时，，若，则（ ）
A. 的图象关于直线对称B. 的图象关于点对称
C. D.
【正确答案】ABD
【分析】根据推出的图象关于点对称，根据推出的图象关于直线对称，进而推导出函数的周期，结合函数的周期性及对称性求出、的值，进而求出的值.
【详解】选项A：由得，，则的图象关于直线对称，故A正确.
选项B：由得，，则的图象关于点对称，
又的图象关于直线对称，所以的图象关于点对称，
由，可得，，即，
所以，即的周期为4，所以的图象关于点对称，故B正确.
选项C：由B知，的图象关于点对称，所以，
又，所以，又的周期为4，所以，
又，所以，，
则，.
当时，，所以，解得，
所以，故C错误.
选项D：因为的周期为4，
所以，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知一扇形的半径为，周长为，则该扇形的圆心角为______rad．
【正确答案】3
【详解】设扇形的弧长为，则扇形的周长为，所以，所以扇形的圆心角.
13. 函数的定义域为______．
【正确答案】
【分析】分母不能为零和被开方数大于等于零求解即可.
【详解】要使有意义，，解得.
的定义域为.
14. 已知向量，，为单位向量，则的最大值为______．
【正确答案】9
【分析】因为单位向量模长为1，则可设，结合三角函数恒等变换与值域即可求解.
【详解】设，则，
整理得，
易得，所以，
即的最大值为9.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量满足，，且与的夹角为．
（1）若，求实数的值；
（2）求与的夹角的余弦值．
【正确答案】（1）．
（2）
【分析】（1）根据两个向量垂直，则它们的数量积为0，并利用向量数量积公式计算.
（2）先计算，再计算，最后根据向量夹角的余弦公式求解.
【小问1详解】
由题意可得，
因为，所以，
即，
解得．
【小问2详解】
设与的夹角为，由（1）可知，，
由题意可得，
由，得，
所以．
16. 已知函数，．
（1）若，求在上的值域；
（2）若的最小正周期为，且在上恰有3个零点，求的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用余弦型函数的性质结合条件即得；
（2）求出在上的零点，然后根据在上恰有3个零点，得到介于第三个零点与第四个零点之间，列不等式，可得答案.
【小问1详解】
当时，，
当时，，
因为在上的最大值为，最小值为，
所以在上的值域为．
【小问2详解】
由最小正周期为，得，所以，即．
令，得，即，
所以在上的零点为．
若在上恰有3个零点，则，
所以的取值范围是．
17. 已知锐角的内角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）若，，求的值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由题设结合正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）先根据余弦定理求得，再结合正弦定理求解.
【小问1详解】
由，
根据正弦定理可得，
中，，则，
即，
又因为为锐角，所以．
【小问2详解】
由余弦定理可知，
即，
化简得，解得（舍去）或，则，
由正弦定理可知，即，得.
18. 已知为奇函数，且．
（1）求实数的值；
（2）求的值域；
（3）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
【正确答案】（1），
（2）
（3）
【分析】（1）利用奇函数性质和已知条件列方程组，并进行验证即可求解；
（2）根据函数解析式分析时的值域，再由奇函数对称性得整体值域即可；
（3）利用函数单调性和奇偶性将不等式转化为，求在上的最大值即可得解.
【小问1详解】
由题可知的定义域为．
因为为奇函数，所以，即，
又，所以，则．
所以，
验证可知，为奇函数．
【小问2详解】
由（1）可知．
当时，，所以，
则，，所以，
即时，．
又为奇函数，所以当时，，
所以的值域为．
【小问3详解】
因为单调递增，则单调递增，单调递减，单调递增，
所以既是奇函数又是增函数，
所以不等式即，
等价于，即，即，
所以原问题等价于在时有解．
因为，当时，，
所以，则，
所以，即，所以实数的取值范围是．
19. 已知函数．
（1）证明的图象为中心对称图形，并求出其对称中心；
（2）判断的单调性，并用定义证明；
（3）求不等式的解集．
【正确答案】（1）证明见解析，对称中心
（2）在上单调递增，证明见解析
（3）．
【分析】（1）证明即可；
（2）由单调性的定义进行证明；
（3）由单调性及对称性进行求解不等式．
【小问1详解】
由题可知，解得，所以的定义域为．
若的图象为中心对称图形，则其对称中心的横坐标为2．
因为，
所以的图象为中心对称图形，且对称中心为点．
【小问2详解】
在上单调递增，证明如下：
任取，且，
则
．
因为，所以，
则，即，
所以，
所以，所以，
于是，所以在上单调递增．
【小问3详解】
由（1）可知，，则，
由（2）可知，在上单调递增，
所以不等式即，
等价于，
于是解得，
故所求不等式的解集为．