北师大版八年级下册数学第三章单元测试（含答案含解析）

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第三章 图形的平移与旋转 单元测试卷 一、单选题（共20分）1．（本题2分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ）A．B．C．D．2．（本题2分）如图，在中，．将沿的方向平移，得到．若，则阴影部分的面积为（    ）A．B．C．D．3．（本题2分）如图，在正方形ABCD中，点A（0，2），点B（3，0），点C和点D均在第一象限内，将正方形ABCD绕点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第51秒时点D的坐标为（　　）A．（5，﹣2）B．（﹣3，﹣5）C．（﹣3，5）D．（﹣2，﹣5）4．（本题2分）如图，将绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是（　　）A．B．C．D．5．（本题2分）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换依次得到三角形（1），（2），（3），（4），…，则第（6）个三角形的直角顶点的坐标是（    ）．A．B．C．D．6．（本题2分）如图，第一象限内有两点，将线段平移使点分别落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是（    ）A．B．C．或D．或7．（本题2分）将的三个顶点的横坐标不变，纵坐标乘，则所得图形（   ）A．与原图形关于轴对称B．与原图形关于轴对称C．与原图形关于原点对称D．向轴的负方向平移了一个单位长度8．（本题2分）课外兴趣小组的同学们在由的小正方形组成的网格纸上将某些图形进行平移操作，发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形．如图所示，现在将四边形（四个顶点都在格点上）从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的四边形的顶点也在格点上，则使平移前后的两个四边形组成轴对称图形的平移方向有（    ）A．4种B．5种C．6种D．无数种9．（本题2分）数学课上，老师画出了线段，并通过数学软件中的几何变换得到四条线段（①－④），让同学们对这四条线段进行讨论，下列结论错误的是（   ）A．线段①与线段关于轴对称B．线段①，③，④是由线段连续旋转得到的C．线段④与线段②关于点成中心对称D．线段③绕点，逆时针旋转，得到线段④10．（本题2分）如图，在中，，，是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转90°后，得到，连接，下列结论：①；②；③；④。其中正确的有（    ）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共20分）11．（本题2分）点与点B关于原点成中心对称，则点B的坐标为 ．12．（本题2分）如图所示的四角风车至少旋转 °就可以与原图形重合．13．（本题2分）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在第 象限．14．（本题2分）如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，，线段（点在点右侧）在轴上移动，且，连接、．则的最小值为 ．15．（本题2分）如图，是由沿射线方向平移得到的，若的周长为，则四边形的周长为 ．  16．（本题2分）如图，在中，点为的中点，将沿着的方向平移得到，若，则的长为 ．  17．（本题2分）如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标为（3，4），底边OB在x轴正半轴上．将△AOB绕点O按逆时针方向旋转一定角度后得△A'OB'，点A的对应点A'在x轴负半轴上，则点B的对应点B'的坐标为 ．18．（本题2分）将一副三角尺和按如图所示方式摆放，已知，，，将三角尺沿射线平移，平移的过程中，的延长线与射线相交于点F，作的平分线，交直线于点，则的度数为 ．19．（本题2分）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点到的距离是 ．20．（本题2分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为 ．三、解答题（共60分）21．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，．（1）画出△ABC关于y轴对称的图形；（2）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的，并写出的坐标．22．（本题10分）如图，将绕点逆时针旋转得到，连接．  (1)求证：为等边三角形；(2)若，求证：．23．（本题10分）在平面直角坐标系中，已知线段，点A的坐标为，点B的坐标为，如图1所示．(1)平移线段到线段，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为，求点D的坐标；(2)动点（不与点B重合）是x轴上一动点，的面积为S，直接写出S与t之间的关系式（即用t表示S），并写出对应的t的取值范围；(3)平移线段到线段，使点A的对应点为F，点B的对应点为E，且点E在y轴的正半轴上，点F在第二象限内，连接，，如图2所示．若（表示的面积），求点E、F的坐标，并直接写出与y轴的交点坐标．24．（本题10分）【证明体验】如图1，向外作等边三角形和等边三角形，连接，求证：；【思考探究】如图2，已知，以为边作等边，连接. 若，，，求的长；【拓展延伸】如图3，在中，，以为边作等腰，，连接. 若，，直接写出的面积.  25．（本题10分）如图1，已知在中，，连接．(1)求的度数；(2)如图2，点E在内部，满足，求证：；(3)在（2）的条件下，连接CE，若，求的面积．26．（本题10分）如图，平面直角坐标系中有一矩形平台，平台下边缘与x轴重合，高度为1，平台上的点光源A发射的光线经过屏幕的下端点后照射到y轴平面镜上的点处，屏幕轴，点N的坐标为．(1)求点光源A的坐标．(2)①直接写出屏幕的中点的坐标：______．②若将屏幕向右平移，使得光线经过平面镜反射后恰好能照射到屏幕的中点处，求需将屏幕向右平移的距离．(3)将②中平移后得到的屏幕所在位置再向左平移1个单位长度至屏幕，并调整点光源A的发射方向，使得光线经过平面镜反射后恰好经过屏幕的上端点，求此时光线与平面镜的交点的坐标．参考答案1．D【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可．【详解】解∶A是中心对称图形，但不是轴对称图形，则A不符合题意；B是轴对称图形，但不是中心对称图形，则B不符合题意；C是中心对称图形，但不是轴对称图形，则C不符合题意；D是轴对称图形又是中心对称图形，则D符合题意．故选∶ D．2．C【分析】本题考查了平移，根据平移的性质得出，然后利用梯形面积公式求解即可．【详解】解：∵平移，∴，，，∴，，∴，故选：C．3．D【分析】过点D作DE⊥y轴于E，根据正方形的性质得到AD＝AB，∠DAB＝90°，求得∠EAD＝∠ABO，根据全等三角形的性质得到DE＝AO＝2，EA＝OB＝3，得到D（2，5），根据将正方形ABCD绕点O逆时针旋转，每秒旋转60°，360°÷60°＝6，得到每秒一个循环，求得第51秒时点D的位置和第3秒时位置相同，于是得到结论．【详解】解:过点D作DE⊥y轴于E，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∵∠AED＝∠AOB＝90°，∴∠EAD+∠OAB＝∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠EAD＝∠ABO，在△ADE与△ABO中，，∴△ADE≌△ABO（AAS），∴DE＝AO＝2，EA＝OB＝3，∴OE＝5，∴D（2，5），∵将正方形ABCD绕点O逆时针旋转，每秒旋转60°，360°÷60°＝6，∴每秒一个循环，∵51÷6＝8余3，∴第51秒时点D的位置和第3秒时位置相同，∵第3秒时，正方形ABCD绕点O逆时针旋转180°，此时，点D与初始位置关于原点对称，∴第51秒时点D的坐标为（﹣2，﹣5），故选:D．【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．4．B【分析】本题主要考查旋转中心的确定，两组对应点连成的线段的垂直平分线的交点就是旋转中心．分别找到两组对应点A与，C与，然后作线段的垂直平分线，它们的交点即为所求．【详解】解：如图，由图可知，点；故选：B．5．C【分析】先计算出AB，然后根据旋转的性质观察△OAB连续作旋转变换，得到△OAB每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动3+4+5=12个单位，于是判断三角形（6）和△OAB的状态一样，△OAB向前移动了24个单位，由此可解．【详解】解：∵点A(−4,0)，B(0,3)，∴OB=3，OA=4，∴根据勾股定理得：．∵对△OAB连续作如图所示的旋转变换，∴△OAB每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了3+4+5=12个单位，∴三角形（6）和的状态一样，∴三角形（6）的直角顶点的横坐标为2×12=24，纵坐标为0，∴三角形（6）的直角顶点的坐标为（24，0）．故选C．【点睛】本题考查了坐标与图形变化−旋转，勾股定理的应用，观察图形，发现每3个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键．6．D【分析】设平移后点、的对应点分别是、．分两种情况进行讨论：①在轴上，在轴上；②在轴上，在轴上．【详解】解：设平移后点、的对应点分别是、．分两种情况：①在轴上，在轴上，则横坐标为0，纵坐标为0，，，点平移后的对应点的坐标是；②在轴上，在轴上，则纵坐标为0，横坐标为0，，，点平移后的对应点的坐标是；综上可知，点平移后的对应点的坐标是或．故选：D．【点睛】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．7．A【分析】利用关于轴对称点的性质，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即点关于轴的对称点 P '的坐标是，进而得出答案，此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确把握横纵坐标关系是解题关键．【详解】解：∵将的三个顶点坐标的横坐标保持不变，纵坐标都乘以，∴所得图形与原图形的关系是关于轴对称，故选：A．8．B【分析】本题考查平移与轴对称图形的结合，掌握判断图形形状，分析不同平移方向下图形的轴对称性是解题的关键．先判断四边形的形状，再分析其平移后能与原图形组成轴对称图形的方向数量．【详解】解：由题图可知，四边形为正方形，正方形可以向左、向右、向上、向右上和向左上平移，使平移前后的两个四边形组成轴对称图形的平移方向有5种．故选：B．9．B【分析】本题考查了旋转的图形，轴对称的图形．根据旋转的图形，轴对称的图形的性质判断即可．【详解】解：A、线段①与线段关于轴对称，正确，该选项不符合题意；B、线段①与线段关于轴对称，不是旋转得到的，原说法错误，，该选项符合题意；C、线段④与线段②关于点成中心对称，正确，该选项不符合题意；D、线段③绕点，逆时针旋转，得到线段④，正确，该选项不符合题意；故选：B．10．C【分析】依据旋转的性质，即可得到∠BAF=∠CAD，AF=AD，BF=CD，进而得出△AED≌△AEF，根据AE与AD不一定相等，可得△ABE与△ACD不一定全等，再根据全等三角形的性质得到DE=EF，BF=CD，结合三角形的三边关系可得BE+DC＞DE；再判断出∠EBF=90°，利用勾股定理得到BE2+DC2=DE2．【详解】解：∵△ADC绕A顺时针旋转90°后得到△AFB，∴△ABF≌△ACD，∴AF=AD，∠CAD=∠BAF，∵∠BAC=90°，即∠CAD+∠BAD=90°，∴∠BAF+∠BAD=90°，即∠FAD=90°，∵∠DAE=45°，∴∠DAE=∠FAE=45°，在△AED和△AEF中，，∴△AED≌△AEF（SAS），故①正确，∵AE与AD不一定相等，∴△ABE与△ACD不一定全等，②错误；∵△AED≌△AEF，∴DE=EF，由旋转可知：△ADC≌△AFB，∴BF=CD，∵BE+BF＞DE，∴BE+DC＞DE，③正确；∵在Rt△ABC中，AB=AC，∴∠BAC=90°，∠ABC=∠C=45°，由旋转可知：∠ABF=∠C=45°，∴∠EBF=90°，∴BE2+BF2=EF2，∴BE2+DC2=DE2，④正确；故选C．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、旋转变换、等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，掌握全等三角形的判定定理与性质定理、图形旋转的性质等知识是解题的关键．11．（4，-1）【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y）．【详解】解：点A（-4，1）关于原点中心对称的点的坐标是（4，-1），故答案为：（4，-1）．【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．12．90【分析】如图所示，∠AOB即为所求，由题意得∠AOB=90°，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，∠AOB即为所求，由题意得，∠AOB=90°，∴四角风车至少旋转90°就可以与原图形重合，故答案为：90．【点睛】本题主要考查了图形的旋转，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的意义．13．一【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）确定m、n的值，即可得出答案．【详解】解：∵点P（m，m-n）与点Q（-2，3）关于原点对称，∴，解得：则点M（m，n）坐标为：（2，5）在第一象限．故答案为：一【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是熟练掌握点的变化规律．14．【分析】平移CD使点D落在点B处，连接B'C，则点C的对应点为B'，即B'C=BD，进而得出B'（-1，2），再作点A关于x轴的对称点A'，则A'（0，-1），进而得出AC+BD的最小值为A'B'，即可求解答案．【详解】解：如图，平移CD使点D落在点B处，连接B'C，则点C的对应点为B'，即B'C=BD，∵CD=1，B（0，2），∴点B'（-1，2），作点A关于x轴的对称点A'，当点A'，C，B'在同一条线上时，AC+BD最小，∵A（0，1），∴A'（0，-1），连接A'B'，则AC+BD的最小值为A'B'=，故答案为：．【点睛】此题主要考查了对称的性质，平移的性质，将AC+BD的最小值转化为A'B'是解本题的关键．15．【分析】本题主要考查了平移的性质，熟知图形平移的性质是解题的关键．根据图形平移的性质，可得出等于的长度，则四边形的周长可转化为的周长与和的长度和，据此可解决问题．【详解】解：由平移可知，，，的周长为16cm，，，即四边形的周长为．故答案为：．16．4【分析】由平移的性质可得，由点为的中点可得，即可解答．【详解】解：将沿着的方向平移得到，，点为的中点，，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．17．（﹣，）【分析】作AG⊥OB于G，作B'H⊥A'O于H，利用面积法即可得到B'H＝，根据勾股定理可得Rt△B'HO中，HO＝＝，进而得出点B'的坐标为（﹣，）．【详解】解：如图，作AG⊥OB于G，作B'H⊥A'O于H，∵△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标为（3，4），∴AG＝4，OG＝3，AO＝5，OB＝6，∴由旋转可得A'O＝5，OB'＝6，∵OB×AG＝A'O×B'H，∴B'H＝，∴Rt△B'HO中，HO＝＝，∴点B'的坐标为（﹣，），故答案为：（﹣，）．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．18．或或【分析】本题考查图形的平移，平行线的判定与性质.先证明，得到，再根据和的位置分情况讨论，分别画出图形求解即可．【详解】解：∵，，∴，， ∴，当在右边时，如图，此时，∵的平分线为，∴，∵，∴；当在左边时，交线段于点，如图，此时， ∵的平分线为，∴，∵，∴，∴，当在左边时，交直线于点，如图，此时， ∵的平分线为，∴，∵，∴，∴，故答案为：或或．19．【分析】本题考查了图形的旋转、直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半．解决本题的关键是作辅助线构造一个含角的直角三角形，然后再利用直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半求解．【详解】解：如下图所示连接，过点作于点，，，是等边三角形，，，，，在中，，点到的距离是．故答案为： ．20．【分析】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识．首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第101次旋转后点的坐标即可．【详解】解：∵正六边形边长为2，中心与原点O重合，轴，∴，∴，∴第1次旋转结束时，点A的坐标为，第2次旋转结束时，点A的坐标为，第3次旋转结束时，点A的坐标为，第4次旋转结束时，点A的坐标为，∴4次一个循环，∵，∴第101次旋转结束时，点A的坐标为．故答案为：．21．（1）见解析；（2）见解析，（1，-4）【分析】（1）从三角形的各点向对称轴引垂线并延长相同单位得到各点的对应点，顺次连接即可，然后从坐标中读出各点的坐标；（2）让三角形的各顶点都绕点O顺时针旋转90°后得到对应点，顺次连接即可．【详解】（1）如图所示；（2）如图所示，的坐标为（1，-4）【点睛】本题考查轴对称及旋转作图的知识，属于基础题，掌握两种几何变换的特点，根据题意找到各点的对应点是解题的关键．22．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．（1）由旋转的性质可得，，于是结论得证；（2）由旋转的性质可得，由等边三角形的性质可得，，进而可得，根据勾股定理可得，于是结论得证．【详解】（1）证明：将绕点逆时针旋转得到，，，为等边三角形；（2）证明：将绕点逆时针旋转得到，，由（1）可得：为等边三角形，，，，，，，，．23．(1)(2)(3)，．【分析】本题考查坐标与平移变换-平移，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．（1）首先根据B，C点的坐标找到点的平移方式，然后根据点的平移规律即可得出答案；（2）分和两种情况结合三角形面积公式求解即可；（3）首先根据B，C点的坐标找到点的平移方式，然后设出点E，F的坐标，利用面积求解即可．【详解】（1）解：点B的坐标为，平移后的对应点C的坐标为，∴可设，，∴，即：点B向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点C，∵点A的坐标为，∴A点平移后的对应点；（2）解：∵点B的坐标为，且点（不与点B重合）是x轴上一动点，点A的坐标为，∴当时，，，∴，即；当时，，，∴，即综上，；（3）如图，连接，设点E的坐标为，∵点E在y轴上，点F在第二象限，∴线段向左平移3个单位，再向上平移y个单位得到线段，∴，∵，∴，∴，∴，∴，．24．证明体验：见解析；思考探究：；拓展延伸：12【分析】（1）证明, 由全等三角形的性质得出；（2）以为边作等边, 过点作交的延长线于点, 证明, 由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质及勾股定理可得出答案；（3）将绕点逆时针旋转得到, 连接, 则,, 求出, 过点作于, 于, 得出, 则可得出答案.【详解】解：（1）和都是等边三角形,,，即在和中.（2）如图，以为边作等边，过点E作交的延长线于点F，则，，等边，，，，即，在和中，，，，，，，，，在中，，.（3）12，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则，，；，；；；，；过点A作于F，于G.四边形为矩形，，.【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.25．(1)(2)证明见解析(3)9【分析】（1）设，则，利用等边对等角和三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案；（2）证明得到，根据三角形内角和定理得到，再证明，即可证明结论；（3）将绕点C逆时针旋转90度得到，连接，证明是等腰直角三角形，推出，再证明是等腰直角三角形，得到，则，由勾股定理求出的长，再利用三角形面积计算公式求解即可．【详解】（1）解：设，则，∵，∴，，∴；（2）证明：∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；（3）解：如图所示，将绕点C逆时针旋转90度得到，连接，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴；在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∴或（舍去），∴．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．26．(1)(2)①，②需将屏幕向右平移的距离为个单位(3)【分析】（1）设直线的表达式为，求出解析式，令，求解即可得出结果；（2）①利用中点公式直接计算即可；②作移动后的屏幕关于平面镜，即y轴的对称的像，根据直线经过的中点，代入计算，再根据对称的性质解答即可；（3）设与关于平面镜对称．由题意可知，此时点的坐标为，则点，设直线的表达式为，求出解析式，将代入求解即可．【详解】（1）解：设直线的表达式为．将点和代入，得，解得，∴直线的表达式为．令，则，解得，∴点．（2）解：①，，的中点的坐标为，即；②如图1，作移动后的屏幕关于平面镜，即y轴的对称的像，由题意知，中点的纵坐标为4，直线经过的中点，直线的表达式为．令，则，解得，，∴需将屏幕向右平移的距离为个单位．（3）解：如图2，设与关于平面镜对称．由题意可知，此时点的坐标为，则点．设直线的表达式为．将点，代入，得，解得，∴直线的表达式为．将代入，得，∴点的坐标为．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，对称的性质，平移变换，读懂题意，灵活运用对称的性质是解题的关键．题号12345678910答案DCDBCDABBC