高中数学人教A版 (2019)必修 第二册基本立体图形第1课时课时训练

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课后·训练提升
1.(多选题)下列说法错误的是( )
A.有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台
B.多面体至少有3个面
C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D.九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形
答案:ABC
解析:选项A错误,反例如图①所示;一个多面体至少有4个面,如三棱锥有4个面,不存在只有3个面的多面体,所以选项B错误;选项C错误,反例如图②所示,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形,它不是正方体;根据棱柱的定义,知选项D正确.
①
②
2.在棱柱中,不同在任何侧面,且不同在任何底面的两个顶点的连线称为它的体对角线,则一个五棱柱的体对角线的条数为( )
A.20B.15
C.12D.10
答案:D
解析:如图,在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中,从顶点A出发的体对角线有两条,同理从点B,C,D,E出发的体对角线均有两条,共2×5=10(条).
3.如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,截去三棱锥A1-ABC,则剩余的部分是( )
A.三棱锥B.四棱锥
C.三棱柱D.五棱锥
答案:B
解析:剩余部分是以面BCC1B1为底面,A1为顶点的四棱锥.
4.已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥,四条侧棱分别为4,4,22,22,则该四棱锥的高为( )
A.22B.32
C.23D.3
答案:D
解析:如图所示,底面ABCD是边长为4的正方形,
设SA=SD=4,SB=SC=22.
分别取AD,BC的中点E,F,
则SE⊥AD,EF⊥AD.
∴AD⊥平面SEF.
作SO⊥EF,O为垂足,则AD⊥SO.
∴SO⊥平面ABCD,
∴SO是四棱锥S-ABCD的高.
∵SE=23,EF=4,SF=2,
∴EF2=SE2+SF2,
∴∠ESF=90°.在Rt△ESF中,12SE·SF=12EF·SO,得SO=3.故选D.
5.一棱柱有10个顶点,其所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为 cm.
答案:12
解析:该棱柱为五棱柱,共有5条侧棱,每条侧棱长都相等,所以每条侧棱长为12 cm.
6.如图,在所有棱长均为1的三棱柱上,有一只蚂蚁从点A出发,围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1,则爬行的最短路程为 .
答案:10
解析:将三棱柱侧面展开如图所示,则线段AD1即为最短路线,
即AD1=AD2+DD12=10.
7.如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问:
(1)折起后形成的几何体是什么几何体?
(2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点?
(3)每个面的三角形面积为多少?
解:(1)如图,折起后的几何体是三棱锥.
(2)这个几何体共有4个面,其中△DEF为等腰三角形,△PEF为等腰直角三角形,△DPE和△DPF均为直角三角形.
(3)S△PEF=12a2,S△DPF=S△DPE=12×2a×a=a2,
S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-12a2-a2-a2=32a2.