2025~2026学年广东省中山市实验中学高二上册10月月考数学试卷(教师版)（原卷）

这是一份2025~2026学年广东省中山市实验中学高二上册10月月考数学试卷(教师版)（原卷），共21页。
A．165，5B．5，5C．163，6D．5，6
【正确答案】C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
解：因为中位数=4+x2 ，众数为4，
由题意，知4+x2=4×54，
解得x=6，
则该组数据的平均数为x=16×1+4+4+6+7+8=5，
则该组数据的方差是S2=16×(1−5)2+(4−5)2+(4−5)2+(6−5)2+(7−5)2+(8−5)2=163，
因为6×60%=3.6，
所以该组数据的60%分位数是6.
故C.
【分析】先利用中位数公式和众数的定义，从而求出x的值，再根据平均数公式和方差公式以及分位数的求解方法，从而得出该组数据的方差和60%分位数.
2．（2025高二上·中山月考）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示.其中nΩ=12,nA=6,nB=4,nA∪B=8， 则事件A与事件B（ ）
A．是互斥事件，不是独立事件
B．不是互斥事件，是独立事件
C．既是互斥事件，也是独立事件
D．既不是互斥事件，也不是独立事件
【正确答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
解：因为nΩ=12,nA=6,nB=4,nA∪B=8，
所以n(A∩B)=n(A)+n(B)−n(A∪B)=2，
则P(A)=12,P(B)=13,P(A∪B)=23,P(A∩B)=16，
又因为P(A)+P(B)=12+13=56≠P(A∪B)，
所以事件A与事件B不是互斥事件，
因为P(A∩B)=16=P(A)⋅P(B)，
所以事件A与事件B是独立事件.
故B.
【分析】根据互斥事件的定义和独立事件的定义以及并事件求概率公式、交事件求概率公式，从而找出正确的选项.
3．（2025高二上·中山月考）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵ABC−A1B1C1中，M,N分别是A1C1,BB1的中点，G是MN的中点，若AG=xAB+yAA1+zAC，则x+y+z=（ ）
A．1B．12C．32D．34
【正确答案】C
【知识点】空间向量基本定理
解：连接AM,AN如下图：
由于G是MN的中点，
∴AG=12AM+AN
=12AA1+12AC+AB+12AA1
=12AB+34AA1+14AC.
根据题意知AG=xAB+yAA1+zAC.
∴x+y+z=32.
故C.
【分析】核心是利用中点的向量性质，将AG分解为AM与AN的平均向量，再进一步将AM、AN分解为已知基向量（AB、AA1、AC）的线性组合，最后求和得到结果。
4．（2025高二上·中山月考）在空间直角坐标系O−xyz中， 已知A(1,2,−2)，B(0,1,1)， 下列结论错误的是（ ）
A．AB⃗=−1,−1,3
B．点A关于xOy平面对称的点的坐标为(1,−2,2)
C．若m=2,1,1， 则m⊥AB
D．若n=a,−2,6，n∥BA，则a=−2
【正确答案】B
【知识点】空间向量的正交分解及坐标表示；空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示
解：对于A，由题意，得AB=0,1,1−1,2,−2=−1,−1,3，故A正确；
对于B，关于xOy平面对称的点的横坐标、纵坐标相同，竖坐标相反，
因此点A关于xOy平面对称的点的坐标为1,2,2，故B错误；
对于C，若m=2,1,1，则m⋅AB=−2−1+3=0，所以m⊥AB，故C正确；
对于D，若n=a,−2,6且n∥BA，则a−1=−2−1=63，解得a=−2，故D正确.
故B．
【分析】根据点的坐标可得向量的坐标，则可判断选项A；根据图形对称的性质可判断选项B；利用向量法可判断两直线的位置关系，则可判断选项C；根据向量共线定理，则可判断选项D，从而找出结论错误的选项.
5．（2025高二上·中山月考）为了解某高中甲､乙两个清北班一周内的请假同学人数情况，采用样本量比例分配分层随机抽样方法进行了调查.已知甲班调查了40名同学，其一周内请假人数的平均数和方差分别为5和1.65，乙班调查了60名同学，其一周内请假人数的平均数和方差分别为4和3.5，据此估计该校两个清北班一周内请假人数的总体方差为（ ）
A．2.6B．3C．3.4D．4.1
【正确答案】B
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
解：因为甲班调查了40人，
所以甲班所占比重为4040+60=25，
又因为乙班调查了60人，
所以乙班所占比重为6040+60=35，
则甲班平均数和方差分别为x=5和s12=1.65,乙班平均数和方差分别为y=4和s22=3.5,
设调查的总样本的平均数为z和方差为s2,
则z=40100×x+60100×y=25×5+35×4=225=4.4，
所以s2=25×s12+x−z2+35×s22+y−z2=25×1.65+5−4.42+35×3.5+4−4.42=3,
故B.
【分析】根据题意，由分层抽样方法可得甲班和乙班所占的比重，从而由总体平均数公式、方差的计算公式，从而计算估计出该校两个清北班一周内请假人数的总体方差.
6．（2025高二上·中山月考）已知随机事件A、B发生的概率分别为 PA=13，PB=16，则下列说法不正确的是（ ）
A．若A与B互斥，则 PA∪B=12
B．若A与B相互独立，则 PA∪B=49
C．若 PAB=19，则事件A与B相互独立
D．若B⊆A，则 PAB=13
【正确答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
解：对于A，若A与B互斥，则PA∪B=PA+PB=13+16=12，故A正确；
对于B，若A与B相互独立，则PAB=PAPB=13×16=118，
所以，因为PA∪B=PA+PB−PAB=13+16−118=49，故B正确；
对于C，若PAB=19，且PAPB=1−13×16=19=PAB，
所以，事件A与B相互独立，故C正确；
对于D，若B⊆A，则AB=A∩B=B，所以PAB=PB=16，故D错误.
故D.
【分析】根据互斥事件概率加法公式计算，则可判断选项A；利用独立事件的概率公式和并事件的概率公式，则可判断选项B；利用独立事件的概念可判断选项C；由交事件的定义可判断选项D，从而找出说法不正确的选项.
7．（2025高二上·中山月考）甲，乙，丙，丁四支足球队进行单循环比赛（每两个球队都要比赛一场），每场比赛的计分方法是﹔胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，全部比赛结束后，四队的得分为：甲6分，乙5分，丙4分，丁1分，则（ ）
A．甲胜乙B．乙胜丙C．乙平丁D．丙平丁
【正确答案】C
【知识点】进行简单的合情推理
解：甲，乙，丙，丁四支足球队总比赛场次6场，总得分为6+5+4+1=16分，
由比赛计分规则：胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，所以在6场比赛中有2场比赛是平局，即3×4+2×2=16，
丁得1分，即1+0+0=1，所以丁在3场比赛中有1场是平局，
丙得4分，即3+1+0=4，所以丙在3场比赛中有1场是平局，
而乙得分5分，即3+1+1=5，所以乙在3场比赛中有2局是平局，所以乙可能平丙，乙可能平丁，
故C.
【分析】甲，乙，丙，丁四支足球队总比赛场次6场，总得分为16分，由比赛计分规则可得出在6场比赛中有2场比赛是平局，丁在3场比赛中有1场是平局，丙在3场比赛中有1场是平局，乙在3场比赛中有2局是平局，由此可得答案.
8．（2025高二上·中山月考）正方体A1B1C1D1−ABCD的棱长为2， M为B1C1的中点， 下列命题中错误的是（ ）
A．AB1与BC1成60°角
B．若CN=13NC1， 平面A1MN交CD于点H，则CH=13
C．若P点在正方形ABB1A1边界及内部运动，且MP⊥DB1，则P点的轨迹长等于2
D．若点E，F分别在DB1,A1C1上，且DEEB1=A1FFC1=2，直线EF与AD1，A1D所成的角分别是α、β，则α+β=π2
【正确答案】B
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；与直线有关的动点轨迹方程；空间向量的线性运算的坐标表示；用空间向量求直线间的夹角、距离
解：对于A，如图建立空间直角坐标系，
则A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),D(0,0,2),A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(0,0,0),M(1,2,0).
所以AB1=(0,2,−2),BC1=(−2,0,−2)，
则cs〈AB1,BC1〉=AB1⋅BC1|AB1|⋅|BC1|=422×22=12，因0∘≤〈AB1,BC1〉≤180∘，
所以〈AB1,BC1〉=60∘，则AB1与BC1成60°角，故A正确；
对于B，由CN=13NC1，可得D1N=D1C+CN=D1C+14CC1=0,2,2+140,0,−2=0,2,32，则N(0,2,32)，
设H(0,m,2)，则A1M=(−1,2,0),A1N=(−2,2,32),A1H=(−2,m,2)，
由题意，得A1,M,N,H四点共面，
则存在λ,μ∈R，使得A1M=λA1N+μA1H，
所以−1=−2λ−2μ2=2λ+mμ0=32λ+2μ，解得λ=2μ=−32m=43，
则H(0,43,2)，CH=(0,−23,0)，所以|CH|=23，故B错误；
对于C，设P(2,y,z),y,z∈[0,2]，则MP=(1,y−2,z),DB1=(2,2,−2)，
由MP⋅DB1=2+2y−4−2z=0，可得y−z=1，
则点P的轨迹长为线段y−z=1(1≤y≤2)的长度，为12+12=2，故C正确；
对于D，因为点E，F分别在DB1,A1C1上，且DEEB1=A1FFC1=2，
则DE=23DB1=23(2,2,−2)=(43,43,−43)，A1F=23A1C1=23(−2,2,0)=(−43,43,0)，
所以E(43,43,23),F(23,43,0)，则EF=(−23,0,−23)，
因为D1A=(2,0,2),DA1=(2,0,−2)，
所以csα=|cs〈EF,D1A〉|=|−43−43(−23)2+(−23)2×22|=1，则α=0
所以csβ=|cs〈EF,DA1〉|=|−43+43(−23)2+(−23)2×22|=0，则β=π2，
所以α+β=π2，故D正确.
故B.
【分析】由图建立空间直角坐标系，利用数量积求向量夹角公式得出〈AB1,BC1〉=60∘，则可判断选项A；利用空间向量的共面定理求出点H(0,43,2)，从而得出的值，则判断出选项B；经推理计算得到点P的轨迹长为线段y−z=1(1≤y≤2)的长度，从而计算可判断选项C；利用数量积求空间向量夹角公式，从而分别计算α、β的值，则可判断选项D，从而找出假命题的选项.
9．（2025高二上·中山月考）下列命题正确的是（ ）
A．数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差与众数之和为6
B．数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是3
C．若数据x1,x2,⋯,x10的标准差为1，则数据2x1+1，2x2+1，⋯⋯，2x10+1的标准差为2
D．若样本数据的频率分布直方图的形状为单峰不对称，且在右边“拖尾”（如图所示），则样本数据的平均数大于中位数
【正确答案】A,C,D
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
解：对A：数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差为：4−0=4，众数为：2，所以极差与众数之和为4+2=6，故A正确；
对B：由14×8=2，所以数据11，13，5，6，8，1，3，9按从小到大排列为1,3,5,6,8,9,11,13，
下四分位数是3+52=4，故B错误；
对C：若数据x1,x2,⋯,x10的标准差为1，则数据2x1+1，2x2+1，⋯⋯，2x10+1的标准差为2×1=2，故C正确；
对D：右拖尾特征​：分布右侧有少数极端大值，左侧数据较集中.平均数 vs 中位数​：平均数受极端值影响显著，向右偏移.中位数仅取决于数据中间位置，对极端值不敏感.结论​：右拖尾时，平均数通常大于中位数，故D正确.
故ACD.
【分析】根据极差、众数、四分位数、标准差的性质以及频率分布直方图中平均数和中位数的关系逐一分析选项.
10．（2025高二上·中山月考）已知向量a→=2x,1,1,b→=1,−y,2，则（ ）
A．若x=14，y=−2，则 a∥b
B．若x=1，y=4，则 a⊥b
C．若x=12，y=2，则csa,b=23
D．若x=12，y=1，则向量a⃗在向量b⃗上的投影向量 c→=13,−13,23
【正确答案】A,B,D
【知识点】空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示；空间向量的投影向量；空间向量的数量积运算的坐标表示
解：因为向量a=2x，1，1，b=1，−y，2 ，
若x=14，y=−2，则a=12，1，1，b=1，2，2，b=2a，
所以a∥b，故选项A正确；
若x=1，y=4，则a=2，1，1，b=1，−4，2，a⋅b=2−4+2=0，
所以a⊥b，故选项B正确；
若x=12，y=2，则a=1，1，1，b=1，−2，2，
所以csa,b=a⋅bab=1−2+23⋅9=39，故选项C错误；
若x=12，y=1，则a=1，1，1，b=1，−1，2，
所以，向量a在向量b上的投影向量为acsa,b⋅bb=3×1−1+23×6×(1,−1,2)6=(13,−13,23) ，故选项D正确.
故ABD.
【分析】先代入x，y的值，从而得到向量a⃗,b⃗的坐标，再利用向量的坐标运算结合空间向量共线的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示，从而判断空间向量的平行和垂直，则判断出选项A和选项B；利用数量积求向量夹角公式和投影向量公式，则判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.
11．（2025高二上·中山月考）在一种数字通讯中，信号是由数字0和1的序列组成的.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为α0