2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习十八：二次函数中面积相关问题综合训练

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(1)求抛物线的表达式；
(2)若的面积是的面积的3倍，求点的坐标．
2．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点和点，与轴交于点．点在该抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，以为对角线构造矩形且点的纵坐标与点的纵坐标相同．
(1)求此抛物线对应的函数表达式并写出点坐标；
(2)___________；
(3)抛物线在两点之间的部分（包括两点）记为图象，设图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，当时，求的取值范围；
(4)设矩形的边与抛物线的交点为（点不与该矩形的顶点重合），当与矩形的面积之比为时，直接写出的值．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)如图，连接，求直线的解析式；
(3)如图，点是直线上方抛物线上的点，连接，，交于点，当时，求点的坐标．
5．如图，已知抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求直线的解析式；
(3)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接、，当的面积为时，求点的横坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于和两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．
(1)求点和点的坐标；
(2)若点与点关于抛物线的对称轴对称，连接，若平分，求抛物线的表达式；
(3)若点是抛物线第四象限上一动点，连接、、、，线段与线段交于点，与轴交于点，当时，求的值．
7．如图，抛物线经过点，．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当时，y的最大值为______；
(3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标．
8．如图，抛物线与轴交于两点，交轴正半轴于点，点为抛物线的顶点，连接，求四边形的面积．
9．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中点的坐标为，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求四边形的面积；
(3)若抛物线上有一动点，使的面积为10，求点的坐标．
10．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与直线L：交于E，F两点．
(1)直线L经过定点D，直接写出点D的坐标；
(2)求面积的最小值．
11．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在轴正半轴，且，抛物线经过两点，与轴的另一交点为点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点为直线上方抛物线上一动点；
①是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
②连接、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）．
12．如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，顶点的坐标为；将抛物线沿着它的对称轴上下平移后点的对应点为点，联结、．

(1)求抛物线的表达式；
(2)把抛物线向上平移5个单位，求的正弦值；
(3)设直线和平移前的抛物线交于点，联结，当时，求点的坐标．
13．如图，直线与轴、轴分别交于点、．对称轴为直线的抛物线经过点、，其与轴的另一交点为．
(1)该抛物线的表达式为______；
(2)将该抛物线平移，使其顶点在线段上点处，得到新抛物线，其与直线的另一个交点为．
①如果抛物线经过点，且与轴的另一交点为，线段的长为______；
②试问：的面积是否随点在线段上的位置变化而变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积．
14．定义：，，以长度为边在轴上方作等边三角形，当函数与在第一象限内有交点，称为“特别函数”．
(1)如图1，当时，一次函数是“特别函数”，求的取值范围；
(2)如图2，若函数是“特别函数”，求n的取值范围；
(3)如图3，在（2）的条件下，函数交于点，，求的值；
15．如图1，抛物线：的对称轴为．
(1)直接写出抛物线的的解析式；
(2)点D为对称轴右侧抛物线上的点，过点D作轴交直线于E，若求点D的坐标；
(3)将向左平移1个单位，向上平移3个单位后，得到如图2的抛物线，已知，直线经过原点交抛物线于M、N两点，直线分别交抛物线于Q、P两点，连接交y轴于点G，求的值．
参考答案
1．【详解】（1）解：抛物线与轴交于点
，
解得，
抛物线的表达式；
（2）解：由题意，设，
又的面积是的面积的3倍，
．
．
又，
．
，
（舍去）．
点坐标为．
2．【详解】（1）解：抛物线过点、，
，解得，
该抛物线的解析式为；
（2）解：存在点Q，使得与的面积相等，
，
顶点，
当时，，则，
设直线的解析式为，
过点，，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，则，
，
与的面积相等，
，
如图，过点Q作x轴的垂线，交于点F，
设，则，
，
，
，即，
或，
解得或2或或，
，
舍去，
当时，；
当时，；
当时，；
或或．
3．【详解】（1）解：抛物线（为常数）与轴交于点和点，与轴交于点，
∴，
解得，，
∴抛物线对应的函数表达式为，
当时，，则，
解得，，
∴；
（2）解：已知抛物线解析式为，
∵点在该抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，
∴，
当时，，
∴，
∵以为对角线构造矩形且点的纵坐标与点的纵坐标相同，
∴点的纵坐标为，轴，，
如图所示，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：，
∴抛物线图象开口向下，对称轴直线为，顶点坐标为，
∵，图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，
∴当时，顶点为最高点，点A为最低点，符合题意，
∴；
当时，，即，
∴，
解得，，（不符合题意，舍去）；
综上所述，当时，的取值范围为：或；
（4）解：由（2）可知，矩形是正方形，
∴，
∴，
当与矩形的面积之比为时，矩形的边与抛物线的交点为矩形边的中点，
第一种情况：当时，，即点在点左边，如图所示，
∴点为线段的中点，且点关于抛物线对称轴直线对称，
∴，则，
∴，，
∴，
整理得，，
解得，，
经检验，当时，原方程有意义，
∴时，与矩形的面积之比为；
第二种情况，当时，，即点在点右边，如图所示，
∴点为线段的中点，且点关于抛物线对称轴直线对称，
∴，则，
∴，，
∴，
整理得，，
解得，，
经检验，当时，与矩形的面积之比为；
综上所述，当或时，与矩形的面积之比为．
4．【详解】（1）解：∵点，，
∴把点，代入，
得，
解得，
∴该抛物线的函数解析式为．
（2） 解：∵抛物线与轴交于点，
点．
设直线的解析式为，代入，
则，
解得，
直线的解析式为．
（3）解：如图，过点作轴交于点，交轴于点．
，
．
，
，
，
又∵
．
设点，
则点，
，
，解得，
点的坐标为．
5．【详解】（1）解：抛物线过点，
，
解得，
抛物线解析式为；
（2）解：抛物线与轴交于点，
当时，，
，
设直线的解析式为，
∵直线过点，，
，
解得：，
直线的解析式为；
（3）解：设，则，
，
的面积为，
，
解得：，，
∵轴于点，
当的面积为时，点的横坐标为或．
6．【详解】（1）解：令，则，
∵，两边除以得，
因式分解得，
解得或，
∵点在点左侧，
∴，；
（2）解：如图，连接．
∵，
∴抛物线的对称轴为，
令，得，故，
∵点与关于对称，
∴，
∴，．
∵轴，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，解得(舍去正值)，
故抛物线的表达式为；
（3）解：由（1）（2）知，，，如图，过点作轴，过点作轴，连接．
设直线的方程为，
将代入得：，解得．
∵，
∴，即，
∵与有公共边，面积相等，
∴点、到直线的距离相等，故，
设直线的方程为，
将代入得：，解得，
所以直线的方程为．
联立，得，
整理得，解得(对应点)或，
将代入得，故，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴．
7．【详解】（1）解：把、代入得，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：抛物线的解析式为，开口向上，顶点坐标为，
当时，函数有最小值，
当时，；当时，；
当时，y的最大值为．
（3）解：、，
，
设，
则，
即，
解得，
当时，此时或，
当时，此时方程无解，
坐标为或．
8．【详解】解：如图所示，连接，
在中，当时，，解得或，
∴，
∴；
在中，当时，，则，
∴；
∵，
∴，
∴
．
9．【详解】（1）解：∵点的坐标为，点在抛物线上，
∴将点，点代入中，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为，
∴当时，，
∴点，，
∵点，
∴，
∵二次函数的图象与轴交于，两点，
∴当时，，解得，，
∵点，
∴点，
∴，
∴四边形的面积为；
（3）解：由（2）知，点，点，，
，
，
，
当时，得，解得，
∴或，
当时，得，方程无解，
∴点的坐标为或．
10．【详解】（1）解：∵，
∴，
∵k为任意不为0的实数，
∴，，
解得: ，，
∴直线L经过定点D，其坐标为；
（2）解：设E、F的横坐标分别为，，
则，为方程的两根，
整理得，
∴，，
∴，
当时，有最小值，最小值为8，
当时，，
解得：，，
∴，
作轴交直线于点D，如图，
则，
∴，
∴的最小值为．
11．【详解】（1）解：，
，
，
，
在的正半轴，
，
，
将点坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
∴；
（2）解：①存在，
延长交轴于，在直线上取点，在上方，如图：
，
，
，
，
又，
，
，
设直线的表达式为：，
将点坐标代入表达式得：，
，
直线的表达式为：，
联立直线和抛物线解析式得：，
解得：，，
．
②设直线的表达式为：，
将点坐标代入得：，
解得：，
直线的表达式为：，
的横坐标为，
，
令抛物线，得：，
解得：，，
，
设直线的表达式为：，
代入
∴，
∴，
∴直线的表达式为：，
将点坐标代入直线的表达式得：，
，
直线的表达式：，
联立直线和的表达式：
，
解得：，
∴点横坐标为，
∵与的比值和他们之间水平距离的比值相等，
，
和等高，
．
12．【详解】（1）解∶∵抛物线的顶点C的坐标为，
故设抛物线的解析式为，
∵抛物线与x轴交于A点，点A坐标为，
∴，
解得，
∴；
（2）解：设抛物线的对称轴与x轴交于点E，如图：
∵顶点C的坐标为，
∴，
∵把抛物线向上平移5个单位，
∴，，
∴，
令，则，
解得或7，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
（3）解：①当点D在点C的上方时，
设抛物线的对称轴与x轴交于点F，过点E作于点H，如图，
∵顶点C的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴
②当点D在点C的下方时，设抛物线的对称轴与x轴交于点F，过点E作于点H，如图，
∵顶点C的坐标为，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上：点E的坐标为或．
13．【详解】（1）解：直线与轴，轴分别相交于点、，
，，
又对称轴为直线的抛物线经过点、，其与轴的另一交点为．
点的坐标为．
将，，代入，
得，
解得，
该抛物线的函数表达式为，
故答案为：；
（2）解：①，
设新抛物线的函数表达式为，
，
抛物线的顶点在线段：上点处，
，
，
抛物线经过点，
，
解得或（此时，点与点重合，抛物线与轴只有一个交点，舍去），
，
新抛物线的函数表达式为，对称轴为直线，
，
，
点的坐标为．
，
故答案为：；
②的面积不随点在线段上的位置变化而变化，
，
设抛物线顶点为，
，
过作直线的平行线交抛物线于点，
由平移得当点平移到点时平移到点，则，为定值，
的面积不随点在线段上的位置变化而变化，
根据①得点、，
．
14．【详解】（1）解：过作轴垂线交于点，
等边三角形
∴
∴
当在上时，
（2）解：依题意，等边三角形，，，
同理可得
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为：
函数的顶点坐标为：
点点为抛物线的顶点时，当时，
解得：
联立
消去得，
当与抛物线有一个交点时，即时
解得：
∴
（3）解：分别过点与作轴垂线，分别交于点，
，即
，
又∵
，，，
令
解得：，（舍）
15．【详解】（1）解：∵抛物线：的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式：；
（2）解：对，
令，则，
令，则，
解得，
∴，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设，
则，
∴，
设轴于点F，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；（不合），
∴；
（3）解：∵向左平移1个单位，向上平移3个单位，
∴得到的抛物线为，
设直线解析式为，
联立，得，
设，
则，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
设，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
设直线解析式为，
把，代入，
得，
解得，
∴直线解析式为，
把代入，
得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．