2026年中考数学专题复习练习：一次函数与角度（含答案）

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【例1】如图，直线l1：y＝x+2和直线l2与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线l2与y轴相交于点D（0，﹣4），OA＝2OB．
（1）求点A的坐标及直线l2的函数表达式；
（2）试探究在x轴上是否存在点P，使得∠BDP＝45°，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为，它与坐标轴分别交于A、B两点，已知点B的纵坐标为4．
（1）求出A点的坐标；
（2）在第一象限直线AB的上方是否存在点Q使得∠BAQ＝45°．且Q恰好在第一象限的角平线上？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2】如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与直线交于点B（3，m）．
（1）求m的值；
（2）点D是直线l1上一动点．
①如图2，当点D恰好在∠AOB的角平分线上时，求直线OD的函数表达式；
②是否存在点D，使得∠DOB＝45°，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点B（3，m）．
（1）求m和b的值；
（2）求证：△OAB是直角三角形；
（3）直线l1上是否存在点D，使得∠ODB＝45°，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
类型二、一次函数与等角
【例2】如图，直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，点B（0，2）在y轴上，连接AB，点P为直线AB上一动点．
（1）求直线AB的解析式
（2）当∠BCP＝∠BAO时，求点P的坐标
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣2x+6交x轴于点A，交y轴于点B，点C（m，4）在直线l1上，直线l2经过点C和点D（﹣7，0）．
（1）求直线l2的函数表达式；
（2）Q是直线l2上一动点，若∠QAB＝∠ABO，求点Q的坐标
【变式2】如图，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）直接写出A、B、C的坐标：A（ ）、B（ ）、C（ ）；
（2）求直线AB的函数解析式；
（3）设点M是x轴上的负半轴一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为2，求点Q的坐标；
②点M在线段AO上运动的过程中，连接BM，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．
【变式3】如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为，求点Q的坐标；
②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标．
类型三、一次函数与倍角
【例3】如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y＝﹣x+b，它与坐标轴分别交于A、B两点，已知点B的纵坐标为4．
（1）求出A点的坐标．
（2）点P为y轴上一点，连结AP，若∠APO＝2∠ABO，求点P的坐标．
【变式1】如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点E，交y轴于点A，将直线y＝﹣2x﹣7沿x轴向右平移2个单位长度交x轴于D，交y轴于B，交直线AE于C．
（1）直接写出直线BD的解析式为 ，S△ABC＝ ；
（2）如图2，在x轴正半轴上存在点P，使∠PBO＝2∠PAO，求点P的坐标．
【变式2】如图，直线和直线l2与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线l2与y轴相交于点D（0，﹣4），OA＝2OB．
（1）求出直线l2的函数表达式；
（2）E是x轴上一点，若S△ABC＝2S△BCE，求点E的坐标；
（3）若F是直线l1上方且位于y轴上一点，∠ACF＝2∠CAO，判断△BCF的形状并说明理由．
类型四、一次函数与角的和差
【例4】如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC与x轴、y轴分别交于C、B两点，连接BC，且OC＝OB．
（1）求点A的坐标及直线BC的函数关系式；
（2）点M在x轴上，连接MB，当∠MBA+∠CBO＝45°时，求点M的坐标
【变式1】如图，直线y＝x+9与直线y＝﹣2x﹣3交于点C，它们与y轴分别交于A、B两点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）点P在x轴上，使∠PBO+∠PAO＝90°，直接写出点P的坐标．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y=−43x+b，它与坐标轴分别交于A、B两点，已知点B的纵坐标为4．
（1）求出A点的坐标．
（2）在第一象限的角平分线上是否存在点Q使得∠QBA＝90°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点P为y轴上一点，连结AP，若∠APO＝2∠ABO，求点P的坐标．
【变式3】在平面直角坐标系中，一次函数y=−43x+43的图象l1与x轴交于点A，一次函数y＝x+6的图象l2与x轴交于点B，与l1交于点P．直线l3过点A且与x轴垂直，C是l3上的一个动点．
（1）分别求出点A、P的坐标；
（2）设直线PC对应的函数表达式为y＝kx+b，且满足函数值y随x的增大而增大．若△PCA的面积为15，分别求出k、b的值；
（3）是否存在点C，使得2∠PCA+∠PAB＝90°？若存在，直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
课后练习
1、在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣交x轴于点A，交y轴于点B，直线y＝﹣x+3交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）如图1，连接BC，求△BCD的面积；
（2）如图2，在直线y＝﹣x+3上存在点E，使得∠ABE＝45°，求点E的坐标；
2、如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、点B，直线CD与AB相交于点C（2，m），与x轴相交于点D（1，0），与y轴相交于点E，点P是y轴上一动点．
（1）求直线CD的表达式；
（2）连接CP、DP，当∠BPC＝∠OPD时，求点P的坐标；
3、如图，直线y＝x+7与直线y＝﹣2x﹣2交于点C，它们与y轴分别交于A、B两点．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）点P在x轴上，使∠PBO＝2∠PAO，直接写出点P的坐标．