湖北省黄冈市2025-2026学年下学期高三年级二模数学试卷含答案解析

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.D 2.A 3.C 4.B 5.C 6.C 7.D 8.A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9.BD 10.ABD 11.ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 14.[2,16]
14.设∵G点的轨迹为
又则Rt△APB∽Rt△DPE,
即化简得G点的轨迹为
在平面直角坐标系yAz中作出G,P轨迹可得2≤|PG|≤16.
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.解：(1) 由正弦定理知
…………3分
…………6分
(2)由(1)知…………9分
…………13分
(另解： )
P
D
B
C
A
G
H
O
x
y
z
16.证：(1)连AC,BD相交于点O,连PO.∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD且AO=OC.又AC∥平面BGH，AC平面PAC，平面PAC平面BGH=GH，∴AC∥GH，∴GH⊥BD,又GH⊥PD，而PD∩BD=D.∴GH⊥平面PBD,又AC∥GH，∴AC⊥平面PBD,而PO平面PBD，∴AC⊥PO,AO=OC,△PAC为等腰三角形，即PA=PC. …………5分
(2)若PB=PD,则PO⊥BD,由（1）知PO⊥AC,∴PO⊥平面ABCD ,以O为原点 以OB,OC,OP分别为x轴,y轴,z轴建立直角坐标系， …………6分
又AB=2,∵∠ABC=60°，则
∵PO⊥AC,AC⊥BD,∴BO⊥平面PABCD，PB与平面PAC所成的角为60°，
∴∠BPO=60°,∴PO=1,∴P(0,0,1). …………8分
…………9分
设平面PCD的法向量为m=
则m=(1,),…………10分
设M,则A,M到平面PCD的距离相等,
又∥,，解得
设平面PAB的法向量为n=,
则n=(1,), …………13分
则点M到平面PAB距离为 …………15分
(另解：设点A在平面PCD的射影点为N,则可求得
则N到平面PAB距离为M到平面PAB距离为)
17.解：(1)记第1,2次取出的是干电池的概率分别为P(A),P(B),
P(B)=,P(AB)=, …………3分
在第2次取出的是干电池的条件下第1次取出的也是干电池的概率为
P(A|B)= …………6分
(2)依题意有抽屉里有3块充电电池，2块干电池，用完第一块干电池后补充一块充电电池，电池总数为5块不变.记第i(i=1,2,…，n)次恰好抽到第一块干电池，第n+1次恰好抽到第二块干电池的概率为P(n,i)，则， …………10分
…………15分
方法二 “第n+1次抽取时恰好抽到最后1块干电池”可分为两类：第1次抽到干电池与第1次抽到充电电池. 当第1次抽到充电电池时： …………10分
当第1次抽到干电池时,仅第1次与第n+1次抽到干电池：…………12分
N*,n≥2. …………13分
∴是以为首项为公比的等比数列， …………15分
当n=1时成立.
故所求概率为 …………17分
18.解(1)设椭圆焦距为2c,依题意有a=2,椭圆过点,
又故的标准方程为 …………4分
(2)(i)设A(x0,y0)，B(－x0,－y0)，P(x1,y1)，则M(x0,0)，由题意有可设PB的方程为
又A,P在椭圆上，
…………10分
(ii)而
由(i)知AP⊥AB,又k>0,∴
当时等号成立，t的最小值为 …………17分
19.解：(1)当时,单调递减，
…………4分
(2) 当a>e时，y=f(x)+2=即 …………5分
令在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，且又在(0,+∞)上2个不同的零点x1,x2，即y=f(x)+2在(0,+∞)上2个不同的零点x1,x2. …………6分
设令则
在(0,1)上单调递减，
即又而在(1,+∞)上单调递增，
故 …………9分
(3)若在上恒成立.
记则h(0)=0,原不等式等价于xh(x)≥0在上恒成立.
当x>0时单调递增，即单调递增，
(i)当1－a≥0即a≤1时,h(x)在上单调递增，h(x)>h(0)=0,不等式恒成立；
(ii)当1－a1时,存在使得即存在使得h(x)在上单调递减，在上单调递增，即在上h(x)