2024-2025学年河北省唐山市路南区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省唐山市路南区八年级（下）期末数学试卷，共28页。试卷主要包含了精心选一选，细心填一填，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）有意义，则的值可以是
A．0B．C．D．1
2．（2分）如图，在△中，，分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，，则的度数为
A．B．C．D．
3．（2分）如图，在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则的长为
A．1B．2C．D．
4．（2分）一家批发店卖出套裙的数量如下：
如果该店每件套裙的利润相同，你认为该店老板最关注的销售数据是下列统计量中的
A．平均数B．方差C．众数D．中位数
5．（2分）若一个函数的自变量每变化一个单位，函数值随之变化两个单位，其解析式可以是
A．B．C．D．
6．（2分）如图，在边长为1的正方形网格中，点，都在格点上，则线段的长为
A．3B．4C．5D．6
7．（2分）如图，点，，，为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象不可能经过
A．点B．点C．点D．点
8．（2分）如图，在△中，．将△绕点逆时针旋转得到△．若，，则旋转角的度数为
A．B．C．D．
9．（2分）如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是元千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则
A．9B．8C．7D．6
10．（2分）关于的方程的解为，则直线的图象一定过点
A．B．C．D．
11．（2分）如图，已知菱形的一个内角，对角线、相交于点，点在上，且，则的度数为
A．B．C．D．
12．（2分）已知关于的一次函数，小莹给出了下面四个结论：
①该函数的图象经过点；
②当时，该函数图象不经过第三象限；
③当时，该函数图象与轴的交点在轴的正半轴上；
④当时，若点和在该函数图象上，则．
其中正确的是
A．①②B．③④C．②③D．①④
二、细心填一填（每小题3分，共12分）
13．（3分）计算： ．
14．（3分）如图，数轴上的点表示的数为，则 ．
15．（3分）如图，直线与轴、轴的正半轴分别交于，两点，在线段上（不包括端点），过点作轴于，轴于，四边形的周长为8，则直线的函数表达式是 ．
16．（3分）如图，正方形的边长为，点在边上运动（不与点，重合），，点在射线上，且与相交于点，连接、、．则下列结论：①，②的周长为，③；④当时，是线段的中点，其中正确的结论是 ．
三、解答题：（本大题共8个小题，满分共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（7分）某校为了解七年级学生跳绳情况，从七年级甲、乙两个班级随机抽取部分学生进行测试，两班抽取的人数相同，测试成绩分为，，，四个等级，其中各等级的得分分别记为10分、8分、6分、4分．现将甲、乙两班级的测试成绩整理并绘制成如下统计图表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中的值为 ，的值为 ，的值为 ；
（2）学校要组织一个跳绳展示活动，需要从甲、乙两个班级中选择一个班级参加，你会推荐哪个班级参加？请说明理由；
（3）从甲班抽取的数据中选取个，与乙班抽取的全部数据组成一组新数据，若这组新数据的中位数大于原乙班数据的中位数，则的最小值为 ．
19．（8分）如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，则的度数是多少？
20．（7分）如图，在正方形网格中，△的三个顶点都在格点上，点，的坐标分别为，，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）点的坐标是 ；
（2）画出△关于原点对称的△；
（3）求的长．
21．（6分）图①是一台笔记本电脑，图②是其侧面示意图．当张角为时，笔记本顶部边缘离桌面的距离，此时笔记本底部与处之间的距离为，求顶部边缘到底部边缘的距离．
22．（10分）如图，已知四边形为正方形，点在上，，点与点关于对称，连接，．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）若，求．
23．（10分）如图，直线与坐标轴交于点，，直线经过点，与交于点，点的横坐标为1．
（1）求直线的解析式．
（2）点是线段上一点，过点作垂直于轴的直线，分别与轴和直线交于点，．设点的横坐标为．
①当时，求点的坐标；
②若，求线段的长．
24．（10分）某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为60元，售价为80元；乙商品的进价为90元，售价为120元．设购进甲种商品件，商场售完这100件商品的总利润为元．
（1）写出与的函数关系式；
（2）该商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？
（3）商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调元出售，且限定商场最多购进甲种商品60件．在（2）的条件下，若商场获得最大利润为3120元，求的值．
2024-2025学年河北省唐山市路南区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、精心选一选：（本大题共12个小题，每小题2分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）有意义，则的值可以是
A．0B．C．D．1
【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
，
解得．
只有选项符合题意．
故选：．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键．
2．（2分）如图，在△中，，分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】判定四边形是平行四边形，推出．
【解答】解：由题意得到：，，
四边形是平行四边形，
．
故选：．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，关键是掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角相等．
3．（2分）如图，在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则的长为
A．1B．2C．D．
【分析】根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由点的坐标、勾股定理得，，
故选：．
【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
4．（2分）一家批发店卖出套裙的数量如下：
如果该店每件套裙的利润相同，你认为该店老板最关注的销售数据是下列统计量中的
A．平均数B．方差C．众数D．中位数
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店老板决策、引起该店老板最关注的统计量是众数．
故选：．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
5．（2分）若一个函数的自变量每变化一个单位，函数值随之变化两个单位，其解析式可以是
A．B．C．D．
【分析】设当时，，当时，，则，将和分别代入各个解析式并求出，若为定值2，则该解析式符合题意，否则，则不符合题意．
【解答】解：设当时，，当时，，则．
对于解析式
，，
则，
的自变量每变化一个单位，函数值随之变化一个单位，
不符合题意；
对于解析式
，，
则，
的自变量每变化一个单位，函数值随之变化两个单位，
符合题意；
对于解析式
，，
则，
的自变量每变化一个单位，函数值随之变化量不是一个定值，
不符合题意；
对于解析式
，，
则，
的自变量每变化一个单位，函数值随之变化量不是一个定值，
不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查函数值，掌握函数值的求法是解题的关键．
6．（2分）如图，在边长为1的正方形网格中，点，都在格点上，则线段的长为
A．3B．4C．5D．6
【分析】建立格点三角形，利用勾股定理求解的长度即可．
【解答】解：如图所示：
，
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用．
7．（2分）如图，点，，，为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象不可能经过
A．点B．点C．点D．点
【分析】由解析式可知一次函数函数的图象经过第一、二，三象限，即可判断．
【解答】解：一次函数中，，，
一次函数函数的图象经过第一、二，三象限，
点在第四象限，
一次函数的图象不可能经过点．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的性质是解题的关键．
8．（2分）如图，在△中，．将△绕点逆时针旋转得到△．若，，则旋转角的度数为
A．B．C．D．
【分析】由旋转的性质得到，由得到，据此解答即可．
【解答】解答解：将△绕点逆时针旋转得到△，
，
，，
，
，
，
旋转角的度数为，
故选：．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质．
9．（2分）如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是元千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则
A．9B．8C．7D．6
【分析】根据统计图中的数据和题意，可以得到的值，本题得以解决．
【解答】解：由统计图可知，前三次的中位数是8，
第四次又买的苹果单价是元千克，这四个单价的中位数恰好也是众数，
当时，中位数是8.5，众数是9，故选项不合题意；
当时，中位数是8，众数是8，故选项符合题意；
当时，中位数是7.5，没有众数，故选项不符合题意；
当时，中位数是7，众数是6，故选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查条形统计图、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（2分）关于的方程的解为，则直线的图象一定过点
A．B．C．D．
【分析】关于的方程的解其实就是求当函数值为3时的值，据此可以直接得到答案．
【解答】解：关于的方程的解为，
时，，
直线的图象一定过点．
故选：．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，理解关于的方程的解为，即时，是解题的关键．
11．（2分）如图，已知菱形的一个内角，对角线、相交于点，点在上，且，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】由菱形的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求解．
【解答】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
12．（2分）已知关于的一次函数，小莹给出了下面四个结论：
①该函数的图象经过点；
②当时，该函数图象不经过第三象限；
③当时，该函数图象与轴的交点在轴的正半轴上；
④当时，若点和在该函数图象上，则．
其中正确的是
A．①②B．③④C．②③D．①④
【分析】根据一次函数的图象和性质求解．
【解答】解：①，
当时，，
该函数的图象经过点；
故①是正确的；
②当时，，，
函数图象不经过第二象限，
故②是错误的；
③当时，，，
函数的图象与轴的交点在的上方，
故③是错误的；
④当时，，
随的增大而减小，
，
，
故④是正确的；
故选：．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数的性质是解题的关键．
二、细心填一填（每小题3分，共12分）
13．（3分）计算： 2 ．
【分析】根据平方的意义或者二次根式的乘法计算即可．
【解答】解：原式．
【点评】主要考查了二次根式的性质：．
14．（3分）如图，数轴上的点表示的数为，则 ．
【分析】利用数轴知识和勾股定理解答．
【解答】解：，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了数轴知识，解题的关键是掌握数轴知识．
15．（3分）如图，直线与轴、轴的正半轴分别交于，两点，在线段上（不包括端点），过点作轴于，轴于，四边形的周长为8，则直线的函数表达式是 ．
【分析】利用四边形为矩形得到，则当时，，此时点坐标为，当时，，此时点坐标为，然后利用待定系数法求直线的解析式．
【解答】解：轴于，轴于，
四边形为矩形，
四边形的周长为8，
，
当时，，此时点坐标为，
当时，，此时点坐标为，
设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，
直线的解析式为．
故答案为：．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组，的值．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
16．（3分）如图，正方形的边长为，点在边上运动（不与点，重合），，点在射线上，且与相交于点，连接、、．则下列结论：①，②的周长为，③；④当时，是线段的中点，其中正确的结论是 ①④ ．
【分析】①正确．如图1中，在上截取，连接．证明即可解决问题．
②③错误．如图2中，延长到，使得，则，再证明即可解决问题．
④正确．当时，设，则，利用勾股定理构建方程可得即可解决问题．
【解答】解：如图1中，在上截取，连接．
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，故①正确，
如图2中，延长到，使得，则，
，
，
，
，，
，
，
，，
，故③错误，
的周长，故②错误，
当时，设，则，
在中，则有，
解得，
，故④正确，
故答案为：①④．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
三、解答题：（本大题共8个小题，满分共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）利用完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
18．（7分）某校为了解七年级学生跳绳情况，从七年级甲、乙两个班级随机抽取部分学生进行测试，两班抽取的人数相同，测试成绩分为，，，四个等级，其中各等级的得分分别记为10分、8分、6分、4分．现将甲、乙两班级的测试成绩整理并绘制成如下统计图表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中的值为 7.8 ，的值为 ，的值为 ；
（2）学校要组织一个跳绳展示活动，需要从甲、乙两个班级中选择一个班级参加，你会推荐哪个班级参加？请说明理由；
（3）从甲班抽取的数据中选取个，与乙班抽取的全部数据组成一组新数据，若这组新数据的中位数大于原乙班数据的中位数，则的最小值为 ．
【分析】（1）根据平均数、中位数，众数的定义即可求解；
（2）根据平均数、中位数，众数即可求解；
（3）原乙班数据的中位数为8，使新数据的中位数大于原乙班数据的中位数，把，2，3，4，5，代入验证即可．
【解答】解：（1）甲班抽取人数为：（人，
两班抽取的人数相同，
乙班抽取人数为20人，，
，，
故答案为：7.8，9，8；
（2）推荐甲班级参加，理由如下：
甲、乙两班的平均数相同，甲班的中位数、众数明显大于乙班的中位数、众数，
推荐甲班级参加；
（3）乙班级分数如下：
10，10，10，10，10，10，8，8，8，8，8，8，8，8，6，6，6，6，4，4，
原乙班数据的中位数为8，从甲班抽取的数据中选取个，与乙班抽取的全部数据组成一组新数据，
那么需要从甲班最少抽取个10分的数据，才能使新数据的中位数大于原乙班数据的中位数．
当时，此时中位数为8，不符合题意；
当时，此时中位数为8，不符合题意；
当时，此时中位数为8，不符合题意；
当时，此时中位数为8，不符合题意；
当时，此时中位数为8，不符合题意；
当时，此时中位数为8，不符合题意；
当时，此时中位数为8，不符合题意；
当时，此时中位数为，符合题意；
故答案为：8．
【点评】本题考查中位数、众数、条形统计图与扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的关键．
19．（8分）如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，则的度数是多少？
【分析】（1）由作图过程可知，，则可知四边形是菱形．
（2）由菱形的性质可得．
【解答】（1）证明：由作图过程可知，，
四边形是菱形．
（2）解：四边形是菱形，
．
【点评】本题考查作图—基本作图、菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
20．（7分）如图，在正方形网格中，△的三个顶点都在格点上，点，的坐标分别为，，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）点的坐标是 ；
（2）画出△关于原点对称的△；
（3）求的长．
【分析】（1）由图可得答案．
（2）根据中心对称的性质作图即可．
（3）利用勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）由图可得，．
故答案为：．
（2）如图，△即为所求．
（3）由勾股定理得，．
【点评】本题考查作图旋转变换、勾股定理，熟练掌握中心对称的性质、勾股定理是解答本题的关键．
21．（6分）图①是一台笔记本电脑，图②是其侧面示意图．当张角为时，笔记本顶部边缘离桌面的距离，此时笔记本底部与处之间的距离为，求顶部边缘到底部边缘的距离．
【分析】根据勾股定理列式计算即可．
【解答】解：由题意可知，，，，
，
答：顶部边缘到底部边缘的距离为．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
22．（10分）如图，已知四边形为正方形，点在上，，点与点关于对称，连接，．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）若，求．
【分析】（1）连接，过点作于点，由正方形性质得，，根据对称的性质得，，由此得，进而可依据“”判定△和△全等，再由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）根据，得，再根据等腰三角形性质及三角形内角和定理可求出的度数；
（3）依题意得，△是等腰直角三角形，由勾股定理得，再由三角形的面积公式即可求出△的面积．
【解答】（1）证明：连接，过点作于点，如图所示：
四边形是正方形，
，，
点与点关于对称，，
，，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
；
（2）解：，，
，
△是等腰三角形，
，
，，
，
；
（3）解：，
，
，，
△是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
，
．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．
23．（10分）如图，直线与坐标轴交于点，，直线经过点，与交于点，点的横坐标为1．
（1）求直线的解析式．
（2）点是线段上一点，过点作垂直于轴的直线，分别与轴和直线交于点，．设点的横坐标为．
①当时，求点的坐标；
②若，求线段的长．
【分析】（1）设直线的解析式为，求出，将，代入即可得到答案；
（2）①求出，将代入，得，即可得到答案；
②由题意，得．若，则，求出和，即可得到答案．
【解答】解：（1）设直线的解析式为．
将代入直线的解析式，得，
；
由题意可得：
解得
直线的解析式为；
（2）①当时，，
．
将代入，得，
解得，
；
②由题意，得．
若，则，
解得，
．
令，解得，
，
．
【点评】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数，以及一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
24．（10分）某商场同时购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的进价为60元，售价为80元；乙商品的进价为90元，售价为120元．设购进甲种商品件，商场售完这100件商品的总利润为元．
（1）写出与的函数关系式；
（2）该商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品，若销售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？
（3）商场实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调元出售，且限定商场最多购进甲种商品60件．在（2）的条件下，若商场获得最大利润为3120元，求的值．
【分析】（1）根据题意得：；
（2）由商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品，得，，再根据一次函数性质可得答案；
（3）根据题意可得：，分三种情况：①当时，，有最大值，故，②当时，，，不符合题意；③当时，，有最大值，故，解方程并检验可得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：；
与的函数关系式为；
（2）商场计划最多投入8400元购买甲、乙两种商品，
，
解得，
在中，随的增大而减小，
当时，取最大值，
商场可获得的最大利润是2800元；
（3）根据题意得：
，
即，其中，
①当时，，随的增大而减小，
当时，有最大值，
，
解得（不符合题意，舍去），
这种情况不存在；
②当时，，，不符合题意；
③当时，，随的增大而增大，
当时，有最大值，
，
解得，
综上所述，的值为12．
【点评】本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意列出函数关系式和不等式，一元一次方程．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/2 9:11:02；用户：林鑫；邮箱：16620973701；学号：50184040尺码
7号
9号
11号
13号
15号
平均每天销售量件
45
89
28
12
9
班级
平均数
中位数
众数
甲班
7.8
10
乙班
8
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
B
B
C
B
C
A
D
B
D
D
题号
12
答案
D
尺码
7号
9号
11号
13号
15号
平均每天销售量件
45
89
28
12
9
班级
平均数
中位数
众数
甲班
7.8
10
乙班
8