2024-2025学年河北省唐山市路北区八年级（下）期中数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省唐山市路北区八年级（下）期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）若二次根式有意义，则实数不可能是
A．0B．3C．4D．5
2．（2分）如图1，在△中，，，则
A．B．C．D．
3．（2分）下列运算错误的是
A．B．C．D．
4．（2分）如图，坐标系中有两点，，则
A．B．C．D．
5．（2分）已知点，均在函数的图象上，则
A．B．C．D．
6．（2分）如图，在△中，，中线，则
A．8B．12C．16D．18
7．（2分）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是
A．2B．C．D．
8．（2分）已知，，且、均为整数，则
A．0B．2C．25D．42
9．（2分）对于一次函数，下列结论正确的是
A．图象与轴交于点B．随的增大而减小
C．图象经过第一、二、三象限D．当时，
10．（2分）如右方格，各行、各列及两条对角线上的三个数字之积均相等，则
A．B．C．D．
11．（2分）如图，直线分别交两坐标轴于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成矩形的周长为16，则的函数表达式是
A．B．C．D．
12．（2分）由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”．图中正方形的边长是2，，则
A．B．C．D．
二、填空题（本大题有4个小题，共14分，13～14题各3分，15～16题每空2分）
13．（3分）计算： ．
14．（3分）若正比例函数经过点，则的值为 ．
15．（4分）如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，，．
（1） ；
（2）若梯子的顶端下滑，则梯子的底端向外移动了 ．
16．（4分）已知直线，将直线向上平移个单位后得到．
（1）若的解析式为，则 ；
（2）若点，在的异侧，则取值范围是 ．
三、解答题（本大题有8道小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算：；
（2）计算：．
18．（5分）如图，在△中，，，．
（1）求的长；
（2）求边上高线的长．
19．（7分）如图，长方形内两个正方形的面积分别为，．
（1）求长方形的周长；
（2）求图中两块阴影部分的面积和．
20．（7分）已知一次函数的图象经过和两点．
（1）求的解析式；
（2）通过计算说明的图象是否过点．
21．（7分）为增强手机的安全性，夕夕设置了手势密码图．如图1，两个相邻（上下或左右）密码点间的距离均为，手指沿顺序解锁．
（1）求按此解锁一次的路径长；
（2）请你在图2中设计一种手势密码，使解锁一次的路径长为．
22．（10分）如图，在△中，，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动到点停止．设运动时间为秒，△的面积为．
（1）直接写出关于的函数表达式及自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
（3）直接写出△的面积为3时，的值．
23．（9分）已知△的三边，，．
（1）求证：是△的最长边；
（2）求证：△是直角三角形；
（3）直接写出一组满足△的三边长，其中含正整数12．
24．（9分）在平面直角坐标系中，直线与直线，直线分别交于点，，直线与直线交于点．
（1）如图，当时，求△的周长；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段，，围成的区域（不含边界）为．
①结合函数图象，试说明当时，区域内一定有整点；
②若区域内没有整点，直接写出的取值范围．
2024-2025学年河北省唐山市路北区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、选择题（本大题有12个小题，每题2分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）若二次根式有意义，则实数不可能是
A．0B．3C．4D．5
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，即，进而可得答案．
【解答】解：二次根式有意义，
，
解得，
实数不可能是5．
故选：．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答本题的关键．
2．（2分）如图1，在△中，，，则
A．B．C．D．
【分析】先根据勾股定理的逆定理可得，再根据直角三角形的两个锐角互余即可解答．
【解答】解：，
△是直角三角形，且，
，
；
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键．
3．（2分）下列运算错误的是
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：、，正确，不符合题意；
、，正确，不符合题意；
、，正确，不符合题意；
、，原计算错误，符合题意，
故选：．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
4．（2分）如图，坐标系中有两点，，则
A．B．C．D．
【分析】根据勾股定理求解即可．
【解答】解：，，
，，
，
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．
5．（2分）已知点，均在函数的图象上，则
A．B．C．D．
【分析】根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：，
随的增大而减小，
，
，
故选：．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确一次函数的性质．
6．（2分）如图，在△中，，中线，则
A．8B．12C．16D．18
【分析】先根据等腰三角形的性质得出，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论．
【解答】解：，是中线，
，．
在△中，，，
即，
解得，
．
故选：．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，等腰三角形三线合一是解答此题的关键．
7．（2分）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是
A．2B．C．D．
【分析】根据正比例函数的性质即可得到结论．
【解答】解：由图象知，函数值随的增大而增大，
，
图象知，函数图象与轴的夹角小于，
的值可能是，
故选：．
【点评】本题考查了正比例函数的图象，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
8．（2分）已知，，且、均为整数，则
A．0B．2C．25D．42
【分析】根据二次根式的性质把、和最简二次根式，根据题意求出、，计算即可．
【解答】解：，
则，
，
则，
，
故选：．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键．
9．（2分）对于一次函数，下列结论正确的是
A．图象与轴交于点B．随的增大而减小
C．图象经过第一、二、三象限D．当时，
【分析】根据一次函数的性质即可作答．
【解答】解：．当时，，则它的图象与轴交于点，故本选项不符合题意；
．，随的增大而增大，故本选项不符合题意；
．，，图象经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意；
．图象与轴交于点，随的增大而增大，
当时，，故本选项符合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
10．（2分）如右方格，各行、各列及两条对角线上的三个数字之积均相等，则
A．B．C．D．
【分析】根据各行、各列上的三个数字之积均相等，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
，
故选：．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11．（2分）如图，直线分别交两坐标轴于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成矩形的周长为16，则的函数表达式是
A．B．C．D．
【分析】设点坐标为，由坐标的意义可知，，根据围成的矩形的周长为16，可得到、之间的关系式．
【解答】解：如图，过点分别作轴，轴，垂足分别为、，
设点坐标为，
由题意可得：，，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，正确进行计算是解题关键．
12．（2分）由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”．图中正方形的边长是2，，则
A．B．C．D．
【分析】根据，，，得到，根据勾股定理得到，求得，于是得到结论．
【解答】解：，，，
，
，
，
四边形是正方形，
，
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理和含角的直角三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题有4个小题，共14分，13～14题各3分，15～16题每空2分）
13．（3分）计算： 3 ．
【分析】根据算术平方根概念的性质化简即可求出结果．
【解答】解：．
故填3．
【点评】本题主要考查了算术平方根概念的运用，其中利用了．
14．（3分）若正比例函数经过点，则的值为 ．
【分析】根据正比例函数图象上点的坐标特征，将点代入正比例函数，列出关于的方程，然后解方程即可．
【解答】解：正比例函数经过点，
点满足正比例函数，
，
解得，；
故答案为：．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式．解题时，利用了正比例函数图象上点的坐标特征，函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式．
15．（4分）如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，，．
（1） 2.5 ；
（2）若梯子的顶端下滑，则梯子的底端向外移动了 ．
【分析】（1）由题意得米，米，根据勾股定理可求出梯子的长；
（2）由题意得此时米，米，米，由勾股定理可得出，进而得出的长，即可得出答案．
【解答】解：（1）米，米，，
根据勾股定理可得：（米．
梯子的长为2.5米．
故答案为：2.5；
（2）如图，由题意可知：米．
米，
米，
米，米，，
根据勾股定理可得：（米，
（米，
即梯子的底端向外移动的距离为1.3米．
故答案为：1.3．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16．（4分）已知直线，将直线向上平移个单位后得到．
（1）若的解析式为，则 2 ；
（2）若点，在的异侧，则取值范围是 ．
【分析】（1）对于一次函数，为常数，的图象平移，遵循“上加下减”原则，即图象向上平移个单位时，函数解析式变为；向下平移个单位时，函数解析式变为．已知直线向上平移个单位后得到，可根据平移规律求解的值．
（2）若两点，在直线、不同时为的异侧，则．先将化为一般式，再把点，代入并根据异侧条件列不等式求解的取值范围．
【解答】解：（1）直线向上平移个单位后，根据“上加下减”原则，其解析式变为．
的解析式为，
可得方程．
方程两边可消去，得到，移项可得；
故答案为：2；
（2）把移项化为一般式为．
点，在的异侧，
，即．
令，则，．
对于二次函数，二次项系数大于0，图象开口向上，不等式的解集为．
故答案为：．
【点评】本题综合考查了一次函数图象的平移规律以及点与直线位置关系的应用．第一问直接运用平移的“上加下减”原则，较为基础；第二问将函数与点的位置关系转化为不等式求解，熟练掌握以上解题技巧是解题的关键．
三、解答题（本大题有8道小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算：；
（2）计算：．
【分析】（1）先根据二次根式的除法法则运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可；
（2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问题的关键．也考查了数字的变化类问题．
18．（5分）如图，在△中，，，．
（1）求的长；
（2）求边上高线的长．
【分析】（1）直接根据勾股定理求解；
（2）根据等面积法求解即可．
【解答】解：（1）在△中，由勾股定理得，
；
（2）△的面积，
，
解得，．
【点评】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．
19．（7分）如图，长方形内两个正方形的面积分别为，．
（1）求长方形的周长；
（2）求图中两块阴影部分的面积和．
【分析】（1）根据正方形的面积求其边长，然后求长方形的周长即可；
（2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积，即为阴影部分的面积．
【解答】解：（1）两个正方形的面积分别为，，
大正方形的边长为，
小正方形的边长为，
长方形的周长为；
（2）
，
两块阴影部分的面积和为．
【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
20．（7分）已知一次函数的图象经过和两点．
（1）求的解析式；
（2）通过计算说明的图象是否过点．
【分析】（1）设的函解析式为：，将点和代入可解得，故；
（2）将代入得，，即知的图象经过点．
【解答】解：（1）设的函解析式为：，
将点和代入得，
，
解得，，
；
（2）将代入得，，
的图象经过点．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握待定系数法．
21．（7分）为增强手机的安全性，夕夕设置了手势密码图．如图1，两个相邻（上下或左右）密码点间的距离均为，手指沿顺序解锁．
（1）求按此解锁一次的路径长；
（2）请你在图2中设计一种手势密码，使解锁一次的路径长为．
【分析】（1）连接，根据勾股定理求出与的长即可推出结果；
（2）作一个腰长为4的等腰直角三角形即可．
【解答】解：（1）如图1，连接，
在△和△中，
，
，
按此解锁一次的路径长为：
；
（2）如图2，答案不唯一．
【点评】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．
22．（10分）如图，在△中，，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动到点停止．设运动时间为秒，△的面积为．
（1）直接写出关于的函数表达式及自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
（3）直接写出△的面积为3时，的值．
【分析】（1）分两种情况：当时，在边上，；当时，在边上，；
（2）描点画出图象即可；
（3）分两种情况列方程可解得答案．
【解答】解：（1）当时，在边上，此时；
当时，在边上，此时；
；
（2）当时，，
当时，；
当时，；
描点画出图象如下：
（3）在中，令得，
解得；
在中，令得，
解得，
综上所述，的值为1.5或3．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及动点问题，三角形面积等，解题的关键是分类讨论思想的应用．
23．（9分）已知△的三边，，．
（1）求证：是△的最长边；
（2）求证：△是直角三角形；
（3）直接写出一组满足△的三边长，其中含正整数12．
【分析】（1）根据，，推出，，据此即可得证；
（2）根据勾股定理逆定理求解即可；
（3）根据题意求解即可．
【解答】（1）证明：，
，
，且，
，
，
是△的最长边；
（2）证明：，，
，
△是直角三角形；
（3）解：当时，，
，；
故△的三边长为12，35，37．
【点评】此题考查了勾股定理逆定理，熟记勾股定理逆定理是解题的关键．
24．（9分）在平面直角坐标系中，直线与直线，直线分别交于点，，直线与直线交于点．
（1）如图，当时，求△的周长；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段，，围成的区域（不含边界）为．
①结合函数图象，试说明当时，区域内一定有整点；
②若区域内没有整点，直接写出的取值范围．
【分析】（1）分别求出、、的坐标，然后根据两点间距离公式求解即可；
（2）①根据当时，直线在轴的右侧，直线在轴的下方，直线的图象经过第一、二、三象限，则围成的区域中必含原点，即可得证；
②由①知，区域内没有整点，则，然后分别画出，，，，的图象，然后然后数形结合即可得出结论．
【解答】解：（1）当时，，
当时，；
当时，，
解得，
，，
又与的交点的坐标为，
，，，
△的周长为；
（2）①证明：当时，直线在轴的右侧，直线在轴的下方，直线的图象经过第一、二、三象限，则围成的区域中必含原点，
当时，区域内一定有整点；
②联立方程组 解得，
联立方程组，
解得，
直线与的交点的坐标为，
由①知，区域内没有整点，
则，
当时，如图，
观察图象发现，此时区域内无整点；
当时，如图，
观察图象发现，此时区域内无整点；
当时，如图，
观察图象发现，此时区域内有整点；
当时，如图，
观察图象发现，此时区域内无整点；
当时，如图，
观察图象发现，此时区域内有整点；
综上，当或时，区域内无整点．
【点评】本题考查一次函数图象上点的特征；能够数形结合解题，根据变化分析区域内整数点的情况是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/2 9:00:20；用户：林鑫；邮箱：16620973701；学号：50184040题号
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7
8
9
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11
答案
D
B
D
B
A
C
C
A
D
A
B
题号
12
答案
C