2024-2025学年河北省唐山市路北区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省唐山市路北区八年级（下）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）样本数据29，30，30，31，33，33，33的众数为
A．29B．30C．31D．33
2．（2分）如图，点关于原点的中心对称点是
A．点B．点C．点D．点
3．（2分）化简：
A．B．C．D．
4．（2分）如图，矩形的对角线，交于点，若，则
A．4B．8C．12D．16
5．（2分）正比例函数的图象
A．必过点B．必过点C．必过点D．必过点
6．（2分）如图是老师随机抽查本班10名学生读课外书册数的情况绘制成的条形统计图，则这10名学生读书册数的平均数是
A．7B．7.2C．7.5D．7.8
7．（2分）在中，已知，则
A．B．C．D．
8．（2分）已知，则
A．10B．15C．20D．25
9．（2分）已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是
A．
B．
C．
D．
10．（2分）如图，在△中，，将△绕点逆时针旋转，得到△，点恰好落在上，则
A．B．C．D．
11．（2分）如图是一次函数的图象，下列说法错误的是
A．B．
C．当时，D．当时，
12．（2分）如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则
A．甲、乙都可以B．甲、乙都不可以
C．甲不可以、乙可以D．甲可以、乙不可以
二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分．）
13．（3分）若，则 ．（请写出一个符合条件的无理数）
14．（3分）如图，在△中，点、分别为、的中点，，则 ．
15．（3分）为测试两种电子表的走时误差，做了如下统计
则这两种电子表走时稳定的是 ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，有一个由六个边长为1的正方形组成的图案，其中点，．若过原点的直线将这个图案分成面积相等的两部分，则直线的函数解析式为 ．
三、解答题（本大题有8道小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算：；
（2）计算：．
18．（6分）如图，在中，，是对角线上的点，且．求证：．
19．（7分）七年级一班有36人，李老师统计了某次数学检测成绩（单位：分）的数据，并对数据进行整理、描述和分析，下面是部分信息：
①一班成绩的数据的频数分布直方图（如图）（数据分成5个组：，，，，；
②一班成绩的数据在这一组的是：
70，70，73，74，75，77，77，78，78，79；
③一班成绩的数据的平均数为76．
解答下列问题：
（1）补全如图，并直接写出成绩的中位数；
（2）嘉嘉的检测成绩是77分．淇淇说：“嘉嘉的成绩高于平均数，所以嘉嘉的成绩高于本班一半学生的成绩．”你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由．
20．（6分）“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．如图，即，，．通过列方程的方法求水深．
21．（9分）如图1，在正方形中，点，分别在，上，连接，，交点为，且．
（1）求证：；
（2）如图2，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．求证：．
22．（8分）甲、乙两组同时加工某产品，两组每天加工产品所消耗的原材料吨数均保持不变，加工一段时间后，乙组执行其他任务，剩下的任务由甲组单独完成，甲、乙两组消耗原材料总量（吨与生产时间（天之间的函数图象如图所示．
（1）乙组调离时，甲、乙两组共消耗原材料 吨；
（2）乙组调离后，求与之间的函数关系式；
（3）当消耗原材料350吨时，求乙组已调离的天数．
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．
（1）求点，的坐标；
（2）求的长及点到直线的距离；
（3）将直线向下平移20个单位长度得到直线，直接写出与之间的距离．
24．（11分）如图1和2，在菱形中，，，点是线段上一动点，过点作，交于点，过点作，交直线于点，交直线于点，设．
（1）若，求的长，并指出点与直线的位置关系；
（2）若，求的值；
（3）如图2，
①尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作图过程）；
②用含的式子表示，并直接写出当时，点运动路径的长．
2024-2025学年河北省唐山市路北区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、选择题（本大题有12个小题，每题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）样本数据29，30，30，31，33，33，33的众数为
A．29B．30C．31D．33
【分析】利用众数的定义求解，找出数据中出现次数最多的数据即可．
【解答】解：数据33出现了三次，次数最多，众数为33．
故选：．
【点评】本题主要考查了众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．
2．（2分）如图，点关于原点的中心对称点是
A．点B．点C．点D．点
【分析】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，根据关于原点对称点的坐标原则得出结论．
【解答】解：如图，点关于原点的中心对称点是点，
故选：．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，如果两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．
3．（2分）化简：
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的乘除法法则进行解题即可．
【解答】解：．
故选：．
【点评】本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（2分）如图，矩形的对角线，交于点，若，则
A．4B．8C．12D．16
【分析】根据矩形的性质得，由此可得的长．
【解答】解：四边形是矩形，对角线、相交于点，
，
，
故选：．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，理解矩形的对角线相等且互相平分是解决问题的关键．
5．（2分）正比例函数的图象
A．必过点B．必过点C．必过点D．必过点
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：在正比例函数中，当时，，
正比例函数的图象必过点，
故选：．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
6．（2分）如图是老师随机抽查本班10名学生读课外书册数的情况绘制成的条形统计图，则这10名学生读书册数的平均数是
A．7B．7.2C．7.5D．7.8
【分析】根据加权平均数公式解答即可．
【解答】解：这10名学生读书册数的平均数为：．
故选：．
【点评】本题考查了条形统计图以及加权平均数，能从统计图中读取相关信息是解题关键．
7．（2分）在中，已知，则
A．B．C．D．
【分析】由四边形是平行四边形，可得，又由，即可求得的度数，继而求得答案．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
．
故选：．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的对角相等，邻角互补．
8．（2分）已知，则
A．10B．15C．20D．25
【分析】利用二次根式的加减法则计算即可．
【解答】解：，
则，
故选：．
【点评】本题考查二次根式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
9．（2分）已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是
A．
B．
C．
D．
【分析】根据菱形的性质即可得到结论．
【解答】解：由菱形的性质得，菱形的四条边都相等，对角线互相垂直，对角线平分每一对对角得到选项，，不符合题意，选项符合题意，
故选：．
【点评】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
10．（2分）如图，在△中，，将△绕点逆时针旋转，得到△，点恰好落在上，则
A．B．C．D．
【分析】由旋转得，，则，所以，求得，而，所以，于是得到问题的答案．
【解答】解：将△绕点逆时针旋转，得到△，点落在上，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】此题重点考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，推导出，并且求得是解题的关键．
11．（2分）如图是一次函数的图象，下列说法错误的是
A．B．
C．当时，D．当时，
【分析】根据一次函数的图象对四个选项逐一进行判断即可．
【解答】解：根据一次函数的图象可知：随的增大而增大，，故正确，不合题意；
当时，，
，故正确，不合题意；
当时，，随的增大而增大，
当时，，故不正确，符合题意；
图象过点，随的增大而增大，
当时，，故正确，不合题意；
故选：．
【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的增减性是解决问题的关键．
12．（2分）如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则
A．甲、乙都可以B．甲、乙都不可以
C．甲不可以、乙可以D．甲可以、乙不可以
【分析】根据图形可得甲可以拼一个边长为的正方形，图乙可以拼一个边长为的正方形．
【解答】解：所作图形如图所示，
甲乙都可以拼一个与原来面积相等的正方形．
故选：．
【点评】本题考查了图形的简拼，解答本题的关键是根据题意作出图形．
二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分．）
13．（3分）若，则 （答案不唯一） ．（请写出一个符合条件的无理数）
【分析】根据二次根式的性质确定的取值范围，然后结合无理数的概念求解．
【解答】解：，
，
，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查二次根式的性质及无理数的概念，掌握二次根式的性质及定义是解题关键．
14．（3分）如图，在△中，点、分别为、的中点，，则 22 ．
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：点、分别为、的中点，
是△的中位线，
，
故答案为：22．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
15．（3分）为测试两种电子表的走时误差，做了如下统计
则这两种电子表走时稳定的是 甲 ．
【分析】根据方差的意义判断，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，找出方差较小的即可．
【解答】解：甲的方差是0.026，乙的方差是0.137，
，
这两种电子表走时稳定的是甲；
故答案为：甲．
【点评】本题考查方差的意义．它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，有一个由六个边长为1的正方形组成的图案，其中点，．若过原点的直线将这个图案分成面积相等的两部分，则直线的函数解析式为 ．
【分析】根据点，的坐标可得的坐标，再根据待定系数法可求直线的函数解析式．
【解答】解：点，的坐标分别为，，
的坐标为，
设直线的函数解析式为，依题意有，解得．
故直线的函数解析式为．
故答案为：．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，中心对称的性质，关键是得出点的坐标．
三、解答题（本大题有8道小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算：；
（2）计算：．
【分析】（1）根据二次根式混合运算的运算法则进行计算；
（2）根据二次根式混合运算的运算法则进行计算．
【解答】解：（1）
；
（2）．
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据运算法则进行计算．
18．（6分）如图，在中，，是对角线上的点，且．求证：．
【分析】证明△△即可．
【解答】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
△△，
．
【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
19．（7分）七年级一班有36人，李老师统计了某次数学检测成绩（单位：分）的数据，并对数据进行整理、描述和分析，下面是部分信息：
①一班成绩的数据的频数分布直方图（如图）（数据分成5个组：，，，，；
②一班成绩的数据在这一组的是：
70，70，73，74，75，77，77，78，78，79；
③一班成绩的数据的平均数为76．
解答下列问题：
（1）补全如图，并直接写出成绩的中位数；
（2）嘉嘉的检测成绩是77分．淇淇说：“嘉嘉的成绩高于平均数，所以嘉嘉的成绩高于本班一半学生的成绩．”你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由．
【分析】（1）求出成绩在这一组的人数，补全频数分布直方图即可；根据中位数的定义可得答案．
（2）由题意知，嘉嘉的成绩低于中位数，则可知嘉嘉的成绩低于本班一半学生的成绩．
【解答】解：（1）成绩在这一组的人数为（人．
补全频数分布直方图如图所示．
将这36人的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第18和19名的数据为77，78，
成绩的中位数为（分．
（2）淇淇的说法不正确．
理由：嘉嘉的检测成绩是77分，一班成绩的中位数为77.5分，
嘉嘉的成绩低于中位数，
嘉嘉的成绩低于本班一半学生的成绩．
【点评】本题考查频数（率分布直方图、加权平均数、中位数，能够读懂统计图，掌握加权平均数、中位数的定义是解答本题的关键．
20．（6分）“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．如图，即，，．通过列方程的方法求水深．
【分析】设，则，在△中，由勾股定理得出方程求解即可．
【解答】解：设，则，
在△中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
即，
答：水深为12．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
21．（9分）如图1，在正方形中，点，分别在，上，连接，，交点为，且．
（1）求证：；
（2）如图2，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．求证：．
【分析】（1）由正方形的性质得，，而，即可根据“”证明△△，得，推导出，则；
（2）由旋转得，，因为，所以，而，则，所以，即可证明四边形是平行四边形，则．
【解答】证明：（1）四边形是正方形，点，分别在，上，
，，
在△和△中，
，
△△，
，
，
．
（2）将线段绕点顺时针旋转，得到线段，
，，
，
，
由（1）得，
，
，
四边形是平行四边形，
．
【点评】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、平行四边形的判定与性质等知识，证明△△是解题的关键．
22．（8分）甲、乙两组同时加工某产品，两组每天加工产品所消耗的原材料吨数均保持不变，加工一段时间后，乙组执行其他任务，剩下的任务由甲组单独完成，甲、乙两组消耗原材料总量（吨与生产时间（天之间的函数图象如图所示．
（1）乙组调离时，甲、乙两组共消耗原材料 270 吨；
（2）乙组调离后，求与之间的函数关系式；
（3）当消耗原材料350吨时，求乙组已调离的天数．
【分析】（1）观察图象即可；
（2）求出甲组每天消耗的原材料，从而写出乙组调离后与之间的函数关系式即可；
（3）当时，求出对应的值，从而求出乙组已调离的天数即可．
【解答】解：（1）乙组调离时，甲、乙两组共消耗原材料270吨．
故答案为：270．
（2）甲组每天消耗的原材料为（吨，
则，
乙组调离后，与之间的函数关系式为．
（3）当时，得，
解得，
（天．
答：当消耗原材料350吨时，乙组已调离2天．
【点评】本题考查一次函数的应用，根据甲组每天消耗的原材料写出乙组调离后与之间的函数关系式是解题的关键．
23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．
（1）求点，的坐标；
（2）求的长及点到直线的距离；
（3）将直线向下平移20个单位长度得到直线，直接写出与之间的距离．
【分析】（1）令和时，代入解析式得出坐标即可；
（2）利用勾股定理求得，然后利用三角形面积公式即可求得点到直线的距离；
（3）根据三角形面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，
将代入，得到：，
，
将代入，得到，
解得：，
；
（2），，
，，，
设点到直线的距离为，则，
，
，
点到直线的距离为；
（3）如图，过作于，反向延长交于，
将直线向下平移20个单位长度得到直线，则直线为，
，与轴交于，
，
，
，，，
，
，
，
，
直线与之间的距离为6．
【点评】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．
24．（11分）如图1和2，在菱形中，，，点是线段上一动点，过点作，交于点，过点作，交直线于点，交直线于点，设．
（1）若，求的长，并指出点与直线的位置关系；
（2）若，求的值；
（3）如图2，
①尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作图过程）；
②用含的式子表示，并直接写出当时，点运动路径的长．
【分析】（1）证明出，则可得出结论；
（2）由（1）得，，得出，则可得出答案；
（3）①图见解析；
②以点为原点建立平面直角坐标系，连接，由勾股定理可得出的长，当时，由（1）得，点，，三点重合，当时，点，重合，点和点重合，求出的长，则可得出答案．
【解答】解：（1）点在直线上．
理由：，
，
在菱形中，，
，
，，
，
，
，此时点和点重合，点在直线上；
（2），
由（1）得，，
，
，
；
（3）①如图所示，
②如图所示，以点为原点建立平面直角坐标系，连接，
，，，
，
，，
由（1）得，，
，
垂直平分，
，
，
，，
，
，
，
点是的中点，
，
即，
，
，
点在直线上运动，
如图所示，当时，由（1）得，点，，三点重合，
；
如图所示，当时，点，重合，点和点重合，
，
，
当时，点运动路径的长为．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/2 9:09:27；用户：林鑫；邮箱：16620973701；学号：50184040平均数
方差
甲
0.4
0.026
乙
0.4
0.137
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
C
B
B
A
A
C
C
D
A
C
题号
12
答案
A
平均数
方差
甲
0.4
0.026
乙
0.4
0.137