云南省曲靖市2026届高三上学期第一次教学质量监测数学试卷含解析（word版）

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1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上, 并认真核准条形码上的有关信息, 在规定的位置贴好条形码.
2.考生作答时，将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效；作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；作答非选择题时， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1. 已知复数 z=i−i2 ，则 z= ( )
A. 1 B. 2 C. 12 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的模计算公式即可求解.
【详解】因为 i2=−1 ,
所以 z=i−i2=1+i ,
所以 z=12+12=2 .
故选: B.
2. 已知全集 U=R,M=x x2+x−2≤0,N=x lg2x≤1 ，则 M∩∁UN= ( )
A. {x∣−2≤x≤0} B. {x∣−2≤x0,d>0 ,
所以 sinθ 随 k 的增大而增大,
当 θ∈0,π2 时, sinθ 随 θ 的增大而增大,
所以 θ 随 k 的增大而增大. 所以 D 不正确.
5. 已知数列 an 的各项均为整数,且满足 2an=an−1+an+1n≥2,n∈N∗ ,其前 n 项和为 Sn ,若 S13=104 ,且 a1,a3,a8−1 成等比数列,则 ( )
A. a1=1,S8=36 B. a1=1,S8=40 C. a1=2,S8=44 D. a1=2 ,S8=48
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件,确定数列 an 为等差数列,再列式求出首项及公差,进而求出 S8 .
【详解】数列 an 中,由 2an=an−1+an+1n≥2,n∈N∗ ,得数列 an 为等差数列,
则 S13=13a1+a132=13a7=104 ,即 a7=8 ,设 an 的公差为 d ,
由 a1,a3,a8−1 成等比数列,得 a32=a1a8−1 ,即 8−4d2=8−6d8+d−1 ,
整理得 11d2−15d+4=0 ,解得 d=411 或 d=1 ,
当 d=411 时, a6=a7−d=8−d 不是整数,与 an 各项均为整数矛盾,因此 d=1 ,
an=a7+n−7d=n+1 ,所以 a1=2,S8=8×2+92=44 .
故选: C
6. 在 △ABC 中，内角 A,B,C ，的对边分别为 a,b,c ，且 a=1,b2−b=c2−1 ，则 C= ()
A. π6 B. π4 C. π3 D. 2π3
【答案】C
【解析】
【分析】由题意结合余弦定理求得 C .
【详解】由余弦定理 c2=a2+b2−2abcsC ,得 2bcsC=b2+a2−c2=b2+1−c2 ;
由 b2−b=c2−1 ,得 b2+1−c2=b .
所以 2bcsC=b ,所以 csC=12 .
因为 C∈0,π ,所以 C=π3 .
故选: C.
7. 已知双曲线 C 的左右焦点分别为 F1,F2 ,实轴为 A1A2 ,虚轴为 B1B2 ,直线 A1B1 与直线 B2F2 相交于点 D . 若 DF2=3DB2 ，则 C 的离心率等于( )
A. 5 B. 3 C. 3 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】连接 A2B2 ,通过构造平行线,由对应线段成比例,解得 c=5a ,可得双曲线的离心率. 【详解】如图所示, DF2=3DB2 ,则 DF2DB2=3 ,
连接 A2B2 ,由双曲线的对称性,可得 A2B2//A1B1 ,

DF2DB2=A1F2A1A2=a+c2a=3 ,得 c=5a ,故双曲线的离心率 e=ca=5 .
故选: A.
8. 函数 fx=sin2x+1 与 gx=2ex+1 的图象在 −2026π,2026π 上有 n 个不同的交点 Pixi,yi ,则 i=1nxi+yi= ( )
A. 2026 B. 4053 C. 8104 D. 8105
【答案】D
【解析】
【分析】根据两函数的对称性可求出它们的对称中心为 0,1 ,结合图象求出它们在 −2026π,2026π 上交点的总个数,即可求得结果.
【详解】易知函数 fx=sin2x+1 关于点 0,1 成中心对称,
又函数 gx=2ex+1 满足
gx+g−x=2ex+1+2e−x+1=2ex+1+21ex+1=2ex+1+2ex1+ex=2+2exex+1=2 ;
因此函数 gx=2ex+1 也关于点 0,1 成中心对称,
易知函数 fx 的最小正周期为 T=π ,其值域为 0,2
因为函数 gx 在 R 上单调递减,且当 x→−∞ 时, gx→2 ,当 x→+∞,gx→0 ;
可知 gx 的值域为 0,2 ;
画出两函数在同一坐标系下的图象如下图:

根据图象可知两函数在 −π,π 上除了 0,1 之外,共有四个交点,
且这四个交点的横坐标之和为 0,纵坐标之和满足 2gx+g−x=4 ,
再由周期性可知两函数在 −2026π,2026π 上除了 0,1 之外共有 2026×4=8104 个交点,
结合对称性可知 i=1nxi+yi=i=1nxi+i=1nyi=0+2×2026gxi+g−xi+1=8105 .
故选: D
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的四个选项中, 有多 项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. (多选题) 方程 x−22+y−22=3x−4y−65 表示的曲线不可能为( )
A. 抛物线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 圆
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 lF∉l 距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点 F 叫做抛物线的 焦点,直线 l 叫做抛物线的准线.
【详解】解: 设 Px,y ,由方程 x−22+y−22=3x−4y−65 得,
点 P 到点 F2,2 的距离等于点 P 到直线 3x−4y−6=0 的距离,
又点 F 不在直线 3x−4y−6=0 上,
由抛物线的定义得, 曲线为抛物线.
故选: BCD
10. 下列命题是假命题的有( )
A. 若 f′x0=0 ,则 x0 是函数 fx 的极值点
B. 若曲线 y=fx 在点 1,f1 处的切线方程为 2x−y=0 ,则 limΔx→0f1−f1+Δx2Δx=−1
C. 若 f′x0 不存在,则曲线 y=fx 在点 x0,fx0 处没有切线
D. 若定义域为 R 的函数 y=fx ,导数 f′xx+1 的解集为 −∞,1
【答案】AC
【解析】
【分析】应用特殊函数 fx=x3、fx=x 说明判断 A、C ,由导数的定义判断 B ,构造 gx=fx−x−1 并应用导数证明其单调性,利用单调性求解集判断 D .
【详解】 A ,如 fx=x3 在 x=0 处导数 f′0=0 ,但 fx 在 −∞,0、0,+∞ 上都单调递增,故 0 不是函数 fx 的极值点,假命题;
B,根据导数的定义可知 f′1=limΔx→0f1+Δx−f1Δx=2 ,即 limΔx→0f1−f1+Δx2Δx=−1 ,真命题;
C ,如 fx=x 且 x∈[0,+∞) ,则 f′x=12x ,显然 f′0 不存在,
但 fx 在点 0,0 处的切线为 x=0 ,假命题;
D,令 gx=fx−x−1 ,则有 g′x=f′x−10 的解集是 −∞,1 ,
所以 fx>x+1 的解集是 −∞,1 ,真命题;
故选: AC
11. 将平面凸四边形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角, E,F,G,H 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点, O 为空间任意一点,则下列叙述正确的是( )
A. E,F,G,H 四点共面
B. BD// 平面 EFGH
C. AC⊥BD
D 若 EG 与 FH 相交于点 M ,则 OM=14OA+OB+OC+OD
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用空间向量线性运算及共面向量定理推理判断 AD; 利用空间位置关系的向量证明推理判断 B; 借助反证法推理判断 C.
【详解】对于 A ,连接 EG,EG=EB+BG=EB+12BC+BD=EB+BF+EH=EF+EH , 由共面向量定理得 E,F,G,H 四点共面, A 正确;
对于 B ,由 E,H 分别为 AB,AD 的中点,得 EH=AH−AE=12AD−12AB=12BD ,
即 EH//BD ,而点 E⊄ 直线 BD ,则 EH//BD ,又 EH⊂ 平面 EFGH,BD⊄ 平面 EFGH , 因此 BD// 平面 EFGH, B 正确;
对于 C ,在平面 ABD 内过点 A 作 AO⊥BD 于 O ,连接 CO ,若 AC⊥BD ,由
AC∩AO=A,
AC,AO⊂ 平面 AOC ,得 BD⊥CO ,在平面凸四边形 ABCD 中,由 AO⊥BD,BD⊥CO ,
得对角线 AC⊥BD ,而平面凸四边形 ABCD 的对角线不一定垂直,因此 AC⊥BD 不一定成立, C 错误;
对于 D ,由 EH=12BD,FG=12BD ,得 EH=FG ,可得四边形 EFGH 为平行四边形,
又 MEG∩FH=M ,则 EG,FH 被点 M 平分,因此 OM=12OE+OG=12OE+12OG =1212OA+OB+1212OC+OD=14OA+OB+OC+OD , D 正确.
故选: ABD

三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在空间直角坐标系中,经过点 P0x0,y0,z0 ,且以非零向量 μ=a,b,c 为法向量的平面的方程为 ax−x0+by−y0+cz−z0=0 . 若 球 M 过 点 N3,3,3 ，且与平面 x−1+2y−2+2z−2=0 相切，则球 M 表面积的最小值为_____.
【答案】 4π
【解析】
【分析】根据已知平面 x−1+2y−2+2z−2=0 的法向量 μ=1,2,2 且过点 P01,2,2 ,应用向量法求点面距,结合球体的特征确定球 M 半径最小值,进而求其表面积的最小值.
【详解】由题意平面 x−1+2y−2+2z−2=0 的法向量 μ=1,2,2 且过点 P01,2,2 , 又 N3,3,3 在球 M 上,则 P0N=2,1,1 ,故 N 到平面的距离 d=P0N⋅μμ=2+2+21+4+4=2 , 所以球 M 半径最小值为 d2=1 ,故球 M 表面积的最小值为 4π .
故答案为: 4π
13. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 a1=1,an+1=2Sn+2n∈N∗ ,则数列 an 的通项公式 an= _____.
【答案】 1,n=14×3n−2,n≥2
【解析】
【分析】根据给定条件,利用 an 与 Sn 的关系求出数列的通项公式.
【详解】在数列 an 中, an+1=2Sn+2 ,当 n≥2 时, an=2Sn−1+2 ,
两式相减得 an+1−an=2Sn−Sn−1=2an ,则 an+1=3an ,而 a2=2S1+2=2a1+2=4≠3a1 ,
因此当 n≥2 时,数列 an 是以 a2=4 为首项,以 3 为公比的等比数列, an=4×3n−2 ,
所以数列 an 的通项公式 an=1,n=14×3n−2,n≥2 .
故答案为: 1,n=14×3n−2,n≥2
14. 若非零实数 a,b 满足 ab+ba+2ab=a2−b2 ,则 a2+b2 的最小值为_____.
【答案】 42+4
【解析】
【分析】变形给定等式可得 a2+b2=a2+b22aba2−b2−2ab ,令 ab−ba−2=t>0 并换元,再利用基本不等式求出最小值.
【详解】依题意, ab+ba+2ab=a2−b2⇔a2+b2=aba2−b2−2ab>0 , 则 1=a2+b2aba2−b2−2ab ,即 a2+b2=a2+b22aba2−b2−2ab=ab+ba2ab−ba−2=ab−ba2+4ab−ba−2 , 令 ab−ba−2=t ,则 t>0,ab−ba=t+2 ,
因此 a2+b2=t+22+4t=t+8t+4≥2t⋅8t+4=42+4 ,当且仅当 t=22 时取等号, 所以 a2+b2 的最小值为 42+4 .
故答案为: 42+4
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分、解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 fx=Asinωx+π6A>0,ω>0 ,对 ∀x1,x2∈R,fx1−fx2max=2 , 且当 x1,x2 为函数的两个不同的零点时, x1−x2min=2π .
(1)求出 fx 的解析式，并利用“五点法”画出函数 fx 在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)说明函数 fx 的图象可由 y=sinxx∈R 的图象经过怎样的变换得到.
【答案】(1) fx=sin12x+π6 ,简图见解析;
(2)函数 fx 的图象可由 y=sinxx∈R 的图象先向左平移 π6 个单位，再将横坐标伸长为原来的 2 倍, 纵坐标不变得到.
【解析】
【分析】(1) 由 “函数 fx=Asinωx+π6A>0,ω>0 ,对 ∀x1,x2∈R , fx1−fx2max=2 ”,求出 A ,由 “当 x1,x2 为函数的两个不同的零点时, x1−x2min=2π ” 求出最小正周期,进而求得 ω ,得到 fx 的解析式,根据正弦函数五点特征, 结合周期，列表、描点、连线，画出函数 fx 在长度为一个周期的闭区间上的简图；
( 2 )根据由 y=sinxx∈R 的图象到 y=Asinωx+φ 的图象的变换法则可得.
【小问 1 详解】
由 “函数 fx=Asinωx+π6A>0,ω>0 ,对 ∀x1,x2∈R,fx1−fx2max=2 ”,得 fxmax−fxmin=2 ,即 A−−A=2A=2 ,所以 A=1 ;
由 “当 x1,x2 为函数的两个不同的零点时, x1−x2min=2π ”,得函数 fx 的最小正周期
T=2×2π=4π ,即 2πω=4π ,所以 ω=12 .
所以 fx 的解析式为 fx=sin12x+π6 .
在坐标系内描点,连线可得函数 fx 在长度为一个周期的闭区间 −π3,11π3 上的简图:

函数 fx 的图象可由 y=sinxx∈R 的图象先向左平移 π6 个单位,再将横坐标伸长为原来的 2 倍, 纵坐标不变得到.
16. 如图,在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中, AB=AD=1,AA1=2,E 是棱 DD1 的中点.

(1)求证: BC⊥AB1 ；
(2)求平面 AB1E 与平面 ABCD 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见详解
(2) 66
【解析】
【分析】(1) 先证明线面垂直, 再根据线面垂直的性质定理证明线线垂直;
(2)建立空间直角坐标系, 用空间向量数量积计算两平面夹角的余弦值.
【小问 1 详解】
证明: 在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中, BC⊥BA,BC⊥BB1
又 BA∩BB1=B,BA⊂ 平面 BAA1B1,BB1⊂ 平面 BAA1B1 ,
所以 BC⊥ 平面 BAA1B1 ,
又 AB1⊂ 平面 BAA1B1 ,所以 BC⊥AB1 ;
【小问 2 详解】
以 A 为坐标原点, AB,AD,AA1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,

则由 AB=AD=1 ， AA1=2 ，得
A0,0,0,B1,0,0,D0,1,0,D10,1,2,A10,0,2,B11,0,2,
又 E 是棱 DD1 的中点,所以 E0,1,1 ,所以 AE=0,1,1,AB1=1,0,2 ,
设平面 AB1E 的一个法向量为 n=x,y,z ,
则有 n⋅AE=0n⋅AB1=0 ,得 y+z=0x+2z=0 ,
取 z=1 ,得 n=−2,−1,1 ,
易知平面 ABCD 的一个法向量为 m=0,0,1 ,
设平面 AB1E 与平面 ABCD 的夹角为 θ ,
则 csθ=n⋅mnm=−2×0+−1×0+1×1−22+−12+12×02+02+12=66 .
所以平面 AB1E 与平面 ABCD 夹角的余弦值为 66 .
17. 第十五届全国运动会于 2025 年 11 月 9 日在广州开幕，11 月 21 日在深圳闭幕，是粤港澳三地首次联合承办的全国性体育盛会.此次赛事融合了体育竞技与大湾区文化特色, 彰显了粤港澳大湾区深度融合, 丰富了“一国两制”的实践.其中公路自行车赛是唯一的一项联结粤港澳三地的标志性跨境
赛事, 运动员需 6 次无间断通过三地口岸, 每次通关通过人脸识别、北斗定位等技术无感查验, 甲运动员每次通关查验顺利的概率为 0.99 ，且各次查验相互独立. 舞龙舞狮更是首次纳入全运会群众展演项目, 粤港澳联队由 6 名广东选手、 1 名香港选手和 1 名澳门选手组成, 团队表演的难度系数分为 A、 B、C 三个等级, 对应的得分概率如下表:
(1)在公路自行车赛中，求甲运动员 6 次通关查验全部顺利通过的概率，以及至少有 1 次查验不顺利的概率 (结果均保留四位小数);
(2)从粤港澳联队选手中任选 2 人分别作为狮头和狮尾进行“南狮自选赛”的表演，设这 2 人中广东选手的人数为 X ,求 X 的分布列和均值;
(3)从粤港澳联队中随机选取 1 名选手完成指定群众展演项目表演，已知该选手的得分在 8-10 分, 求该选手是广东选手的概率 (结果保留三位小数).
【答案】(1)甲运动员 6 次通关查验全部顺利通过的概率为 0.9415 ，至少有 1 次查验不顺利的概率 0.0585
(2)分布列见解析，均值为 32
(3) 0.771
【解析】
【分析】(1) 由独立事件概率的乘法公式可得甲运动员 6 次通关查验全部顺利通过的概率, 根据对立事件的概率关系, 求至少有 1 次查验不顺利的概率;
(2)由题可知， X 的可能取值为 0,1,2 ，分别求出相应的概率，可得 X 的分布列，根据均值的计算公式可得 X 的均值;
(3)由全概率公式求得被选中选手的得分在 8-10 分的概率，根据条件概率公式求得得分在 8-10 分的条件下, 该选手是广东选手的概率.
【小问 1 详解】
因为甲运动员每次通关查验顺利的概率为 0.99 ，且各次查验相互独立，
所以甲运动员 6 次通关查验全部顺利通过的概率为 0.996≈0.9415 ;
至少有 1 次查验不顺利的概率为 1−0.996≈0.0585 .
【小问 2 详解】
X 的可能取值为 0,1,2,
PX=0=C22 A22 A82=28×7=128;
PX=1=C21C61 A22 A82=2456=37;
PX=2=C62 A22 A82=1528.
所以 X 的分布列列表为:
所以 X 的均值为 EX=0×128+1×37+2×1528=32 .
【小问 3 详解】
从粤港澳联队中随机选取 1 名选手完成指定群众展演项目表演，则该选手是广东选手的概率为 68=34 ,是香港选手的概率为 18 ,是澳门选手的概率为 18 .
记“选手的得分在 8-10 分”为事件 A ，记“该选手是广东选手”为 B1 ，“该选手是香港选手”为 B2 ， “该选手是澳门选手”为 B3 .
由题可知, PA=34×0.7+18×0.65+18×0.6=5.458=0.68125 .
PB1∣A=PAB1PA=PB1PA∣B1PA=34××85.45≈0.771
所以,若已知该选手的得分在 8-10 分,则该选手是广东选手的概率为 0.771 .
18. 已知动圆 P 经过点 F−2,0 ，且与圆 F′:x−22+y2=36 相切. 记动圆圆心 P 的轨迹为曲线 Γ ， 经过点 F ,斜率为 k1k1≠0 的直线与曲线 Γ 交于 A,B 两点, O 为坐标原点.
(1)求曲线 Γ 的标准方程；
(2)当 k1=1 时，求 △AOB 的面积；
(3)设 R1,0 ，延长 AR ， BR 分别与曲线 Γ 交于 C ， D 两点，直线 CD 的斜率为 k2 ，求证: k1k2 为定值.
【答案】(1) x29+y25=1
(2) 1527
(3)证明见解析；
【解析】
【分析】(1) 根据动圆与圆 F′ 相切,再由椭圆定义可知圆心 P 的轨迹是以 F,F′ 为焦点的椭圆,即可求得椭圆方程；
(2)依题意写出直线方程并于椭圆方程联立，利用韦达定理直接计算可得结果.
(3)设 Cx3,y3,Dx4,y4,AR=λRC ，则 x1+λx3=1+λy1+λy3=0 ，再由点差法计算可得
x1−λx3=91−λ ,联立 x1+λx3=1+λx1−λx3=91−λ ,解得 x1=5−4λx3=5−4λ ,同理可得 x2=5−4μx4=5−4μ ,代入化简计算可求得 k1k2=47 .
【小问 1 详解】
易知圆 F′:x−22+y2=36 的圆心为 F′2,0 ,半径为 r=6 ,
因为动圆 P 经过点 F−2,0 ,且 F−2,0 在圆 F′ 内,因此两圆只能内切;
设切点为 M ,如下图所示:

因此 PM+PF′=PF+PF′=6>FF′=4 ,
因此动圆圆心 P 的轨迹是以 F,F′ 为焦点的椭圆,设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1 ,
易知 2a=6,2c=4 ,即 a=3,c=2 ,则 b2=a2−c2=5 ,
所以曲线 Γ 的标准方程为 x29+y25=1 .
【小问 2 详解】
设经过点 F ,斜率为 k1k1≠0 的直线方程为 y=k1x+2,Ax1,y1,Bx2,y2 ; 当 k1=1 时,该直线方程为 y=x+2 ,
联立 y=x+2x29+y25=1 ,整理可得 14y2−20y−25=0 ,显然 Δ>0 ,
因此 y1+y2=107,y1y2=−2514
则 △AOB 的面积为
S△AOB=S△AOF+S△BOF=12OF∥y1+12OF∥y2=y1−y2=y1+y22−4y1y2 =1072+4×2514=1527
因此 △AOB 的面积为 1527 .
【小问 3 详解】
依题意,设 Cx3,y3,Dx4,y4 ,如下图:

设 AR=λRC ,则 x1+λx3=1+λy1+λy3=0 ;
又因为点 A,C 在椭圆上,故 λ2x329+λ2y325=λ2x129+y125=1 ,
两式作差可得 x1+λx3x1−λx39+y1−λy3y1+λy35=1−λ1+λ ,
因此可得 x1−λx3=91−λ ;
联立 x1+λx3=1+λx1−λx3=91−λ ,解得 x1=5−4λx3=5−4λ ;
同理可设 BR=μRD ,可得 x2=5−4μx4=5−4μ ;
因此 k2=y4−y3x4−x3=−y1λ−−y2μ5−4λ−5−4μ=−k1x1+2k1λ+k1x2+2k1μ−4λ+4μ
=−k15−4λ+2k1λ+k15−4μ+2k1μ−4λ+4μ=−71λ−1μk1−41λ−1μ=7k14;
所以可得 k1k2=47 ,即 k1k2 为定值.
19. 已知函数 fx=ae−x−lnx+1, a∈R .
(1)当 a=−1 时，求函数 fx 的图象在点 0,f0 处的切线方程；
(2)当 a0 ，证明: m−n−1 ，利用导数求出函数 gx 的性质,再确定直线 y=a 与函数 y=gx 的图象交点个数即可.
(3)由(2)中信息，按 a≥−1,a