【数学】河北省邯郸市五校2025-2026学年高一上学期11月期中考试试卷（学生版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】因为含有量词的命题的否定是改量词-否结论，
所以命题“，”的否定是“，”.
故选：C.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由函数有意义，等价于，解得，
可得函数的定义域为.
故选：A.
3. 已知函数，则（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】D
【解析】，则.
故选：D.
4. 已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A. B. 4C. 6D. 9
【答案】B
【解析】由题意，是关于的方程的两个根，有，
所以.
故选：B.
5. 已知集合，集合，则满足条件的集合的个数为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】B
【解析】由题意，集合的个数为集合的子集的个数，共个.
故选：B.
6. 已知偶函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由偶函数的减区间为，增区间为，
若，则或，可得或.
故选：C.
7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】二次函数的对称轴为，
若二次函数在区间上单调递增，有，可得.
若函数单调递增，有.
若函数在上单调递增，有，可得.
故选：A.
8. 已知，且，则的最小值与最大值之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，有，
有，得，
当时，，
当时，，
所以的最小值为，最大值为2，
所以的最小值与最大值之和为.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】对于A选项，由，有，故A选项正确；
对于B选项，由，有，又由，有，故B选项错误；
对于C选项，由，有，故C选项正确；
对于D选项，若，，，有，故D选项错误.
故选：AC.
10. 若臭氧含量与时间（单位：年）的函数关系式为，其中正数为臭氧的初始含量，则（ ）
A. 随着时间的增加，臭氧的含量增加
B. 随着时间的增加，臭氧的含量减少
C. 当时，
D. 已知年臭氧含量为，年臭氧含量为，若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，B选项，由函数单调递减，函数单调递增，
可得函数单调递减，故A选项错误，B选项正确；
对于C选项，当时，，故C选项正确；
对于D选项，由，有，可得，故D选项正确.
故选：BCD.
11. 已知函数，若函数有且仅有4个零点，，，（其中），则（ ）
A. 函数的增区间为，
B. 的取值范围为
C.
D. 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】因为，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，，；
当时，所以在上单调递减，
在上单调递增，且，；
所以函数的图象如下：
对于A：由函数的图象可知，函数的增区间为，，故A正确；
对于B：因为函数有且仅有4个零点，
令，则，即与有且仅有个交点，
由函数的图象可知，，故B错误；
对于C：由函数的图象可知，
又由，有，可得，
又由二次函数的对称性，有，可得，故C正确；
对于D：由，
则
，
又函数单调递增，所以，
单调递增，所以，
所以，
即的取值范围为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ______.
【答案】7
【解析】.
故答案为：7.
13. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】①当时，，可得不等式的解集为，符合题意；
②当时，若不等式的解集为，有，可得.
由①②可知，实数的取值范围为.
故答案为：.
14. 对于函数，若存在使得，则称点是函数的“优美点”.已知函数存在“优美点”，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】若函数存在“优美点”，
即作函数图象关于原点的对称的函数图象，
令，则，则，
由题意和在有交点，
即当时，方程有解.
显然不是方程的解，方程可化为，
又由（当且仅当时取等号），
有，可得.
即实数的取值范围为，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
解：（1）由题设，或，
所以；
（2）由（1）可得，且集合为非空集合，
若“”是“”的必要不充分条件，得是的真子集，
所以，得，经检验，时符合题意，
所以实数的取值范围为.
16. 已知幂函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围.
解：（1）由函数是幂函数，有，解得或，
①当时，，为偶函数，符合题意；
②当时，，由函数的定义域为，
可知函数不是偶函数，不合题意.
由上知.
（2）由的减区间为，增区间为，
且函数在区间上不单调，有，可得，
故实数的取值范围为.
17. （1）已知，求的最大值；
（2）已知，，且，求的最小值；
（3）已知，，且，求的最小值.
解：（1）因为，所以，
又由，当且仅当，即时取等号.
有，可得的最大值为.
（2）由，
有.
当且仅当，即，时取等号.
故的最小值为.
（3）由，
当且仅当，即，时取等号.
故的最小值为4.
18. 已知函数，其中且.
（1）当时，求函数的单调区间和值域；
（2）解关于的不等式.
解：（1）由，有，可得函数的定义域为，
又由二次函数的增区间为，减区间为，
当时，函数在上单调递增，
可得函数的增区间为，减区间为.
当时，，有，
故函数的值域为.
（2）①当时，关于的不等式可化为，
可化为或.
可得或，
故关于的不等式的解集为.
②当时，关于的不等式可化为，
可化为或.
可得或，
故关于的不等式的解集为.
综上，当时，关于的不等式的解集为，
当时，关于的不等式的解集为.
19. 已知定义在上的函数为奇函数.
（1）求实数的值；
（2）若对，使得恒成立，求实数的取值范围；
（3）若存在，，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围.
解：（1）由函数是上的奇函数，有，得，则，
由，
可得函数为奇函数，满足题设，所以实数的值为1；
（2）由，
又单调递增，则单调递减，
所以函数单调递增，
由等价于，
所以，即，
整理得，即，
又，有，
当时，在时取最大值10，得，
所以实数的取值范围为；
（3）由函数单调递增，有，
得有两个不相等的实数根，
方程可化为，整理为，
令，方程可化为，
由关于的方程有两个不相等的正根，有，得.