陕西省渭南市韩城市2025-2026学年高一第一学期期末学业水平调研题数学试题（有解析）

这是一份陕西省渭南市韩城市2025-2026学年高一第一学期期末学业水平调研题数学试题（有解析），共20页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，735%B等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册第一章至必修第二册第一章第5节.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数的定义域为（ ）
A B. C. D.
2. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 若某省2017年至2024年人均生产总值增速分别为4.49%，6.03%，5.87%，1.06%，6.40%，2.80%，5.90%，5.60%，则该组数据的60%分位数为（ ）
A. 5.735%B. 5.60%C. 5.87%D. 5.90%
4. 已知且，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 现从①，②，③，④这4个函数中随机抽取2个函数，则恰有1个函数是奇函数的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 若函数有2个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
7. 甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，扇形面积分别为和，周长分别为和.若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 平面直角坐标系中，若角的终边经过点，且，则下列各式的值一定大于0的是（ ）
A. B. C. D.
10. 辽宁全省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动，通过讲座、公益市集、志愿服务等形式，重点帮扶特殊困难群体.现有A，B，C共3场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者，小林从图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张，卡片上的字母代表小林参加的活动场次，例如抽到写有A，B，C3个字母的卡片代表小林参加A，B，C3场活动，则（ ）
A. “小林参加A场活动”与“小林参加B场活动”互斥
B “小林参加A场活动”与“小林参加B场活动”相互独立
C. “小林不参加A场活动”与“小林不参加B场活动”相互独立
D. “小林不参加A场活动”与“小林参加B场或C场活动”相互独立
11. 已知函数，则（ ）
A. 为偶函数B. 的一个周期为
C. 的最大值为D. 在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的终边在第________象限.
13. 已知函数是上的减函数，则的取值范围是________.
14 已知，则___________
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）化简：.
（2）计算：
16. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
17. 已知函数.
（1）设的图象恒过点，求点的坐标；
（2）试判断的奇偶性，并说明理由；
（3）当时，不等式在上恒成立，求的取值范围.
18. 某地区举办“机器人创新大赛”，现从参加该比赛的所有参赛者中随机抽取200名参赛者，将这200名参赛者的比赛成绩（单位：分）按，，，，，分成6组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值；
（2）用样本估计总体，估计该地区参加该比赛的所有参赛者比赛成绩的平均数；（每组数据用该区间的中间值作代表）
（3）已知落在内比赛成绩的平均数为64.5，方差是14，落在内比赛成绩的平均数是70.5，落在内比赛成绩的方差是4，求落在内比赛成绩的平均数与落在内比赛成绩的方差.
附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差.
19. 定义：给定函数，若存实数、，且、、有意义时，在定义域内恒成立，则称函数具有“”性质.
（1）证明：函数不具有“”性质.
（2）判断函数是否具有“”性质.若是，写出、的值；若不是，请说明理由.
（3）设定义域为的奇函数具有“”性质，且当时，，若函数，试讨论在上的零点个数.
2025-2026学年度第一学期高一期末学业水平调研题
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册第一章至必修第二册第一章第5节.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数定义域求解方法，计算即可.
【详解】，
解得：，
的定义域为.
故选：A
2. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合，再利用交集的定义求出.
【详解】因为，则.
故选：B
3. 若某省2017年至2024年人均生产总值增速分别为4.49%，6.03%，5.87%，1.06%，6.40%，2.80%，5.90%，5.60%，则该组数据60%分位数为（ ）
A 5.735%B. 5.60%C. 5.87%D. 5.90%
【答案】C
【解析】
【分析】将给定数据组由小到大排列，利用百分位数的步骤即可求出第60百分位数.
【详解】将该组数据从小到大排列为1.06%，2.80%，4.49%，5.60%，5.87%，5.90%，6.03%，6.40%，
由8×60%=4.8，得该组数据的60%分位数为第5个数据，即5.87%.
故选：C.
4. 已知且，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】由，得或，
由得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B．
5. 现从①，②，③，④这4个函数中随机抽取2个函数，则恰有1个函数是奇函数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性，然后计算从这4个函数中随机抽取2个函数的选法总数，再计算恰有1个函数是奇函数的选法数，最后计算概率即可.
【详解】对于定义域为，
令，则，
，
是奇函数；
对于定义域为，
令，则，
，
是偶函数；
对于定义域为，
令，则，
是非奇非偶函数；
对于定义域为，
令，则，
，
是奇函数，
从这4个函数中随机抽取2个函数，①②、①③、①④、②③、②④、③④，共有种选法,
其中恰有1个函数是奇函数的选法：①②、①③、②④、③④，共有种，
所以，所求概率.
故选：D
6. 若函数有2个零点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先分析函数在不同区间上的零点情况，根据函数有2个零点确定的取值范围，进而求出的取值范围.
【详解】设函数，因为函数有2个零点，所以有两解.
有两解，即的图象与的图象有2个公共点.
作出的大致图象，如图所示：
由图可知，当时，直线与的图象有2个公共点.
所以的取值范围是.
故选：D
7. 甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，扇形面积分别为和，周长分别为和.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，，求出圆心角，，再用半径和圆心角表示，计算即可.
【详解】甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，
设甲、乙两个扇形的半径均为，圆心角分别为，，弧长分别为，.
，
又，
联立，
解得：，，
，，
.
故选：B
8. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇偶性定义和求出周期，然后结合已知条件求解可得.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，，
又，所以，
所以，即，
所以是一个周期为4的周期函数，
所以，
因为当时，，所以，
又，所以，
所以.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 平面直角坐标系中，若角的终边经过点，且，则下列各式的值一定大于0的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用三角函数定义计算判断即得.
【详解】由三角函数的定义得，，，
，
由，得.
故选：BD
10. 辽宁全省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动，通过讲座、公益市集、志愿服务等形式，重点帮扶特殊困难群体.现有A，B，C共3场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者，小林从图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张，卡片上的字母代表小林参加的活动场次，例如抽到写有A，B，C3个字母的卡片代表小林参加A，B，C3场活动，则（ ）
A. “小林参加A场活动”与“小林参加B场活动”互斥
B. “小林参加A场活动”与“小林参加B场活动”相互独立
C. “小林不参加A场活动”与“小林不参加B场活动”相互独立
D. “小林不参加A场活动”与“小林参加B场或C场活动”相互独立
【答案】BC
【解析】
【分析】由互斥事件的定义即可判断A，由相互独立的定义若，则事件 相互独立即可判断B、C、D.
【详解】若选到第一张卡片，则小林同时参加3场活动，A错误.
“小林参加A场活动”的概率为，“小林参加B场活动”的概率为，“小林同时参加A场和B场活动”的概率为，，B正确.
“小林不参加A场活动”的概率为，“小林不参加B场活动”的概率为，“小林同时不参加A场与B场活动”的概率为，，C正确.
“小林参加B场或C场活动”的概率为，“小林不参加A场活动，参加B场或C场活动”的概率为，，D错误.
故选：BC.
11. 已知函数，则（ ）
A. 为偶函数B. 的一个周期为
C. 的最大值为D. 在上单调递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项；利用函数周期性的定义可判断B选项；利用正、余弦函数的有界性可判断C选项；利用复合函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，
对任意的，
，故函数为偶函数，A对；
对于B选项，
，
故不是函数的一个周期，B错；
对于C选项，因为，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在上单调递增，
所以，，则，
所以，
当且仅当时，即当时，函数取最大值，C对；
对于D选项，令，，当时，，，
因为函数在上单调递减，外层函数在时单调递减，
故函数在上单调递增，
函数在上单调递减，外层函数在上单调递增，
故函数在上单调递减，
故函数在上单调递增，D对.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的终边在第________象限.
【答案】四
【解析】
【分析】利用终边相同的角的关系求解.
【详解】，
所以与的终边相同，所以终边在第四象限.
故答案为：四
13. 已知函数是上的减函数，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数和直线的单调性，结合分割点处函数值之间的关系，列出不等式，求解即可.
【详解】依题意得，解得.
故答案：.
14. 已知，则___________
【答案】
【解析】
【分析】设，可将原式转化为，再通过分析函数的单调性可知，再代回原式即可得解.
【详解】由题可知，.
设，
则可转化为.
易知与均在上单调递增，
故在上单调递增.
因此由可得，
则有，
解得.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）化简：.
（2）计算：.
【答案】（1）1；（2）17.
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简计算即得；
（2）利用对数的运算性质和指数幂的运算法则计算即得.
【详解】（1）.
（2）原式
.
16. 已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出两个集合，借助数轴求解即可.
（2）分，两种情况讨论即可.
【小问1详解】
当时，，所以，
又，所以.
【小问2详解】
当，即时，，此时，符合题意；
当时，，，，
因为，所以或，解得或.
综上，的取值范围为.
17. 已知函数.
（1）设的图象恒过点，求点的坐标；
（2）试判断的奇偶性，并说明理由；
（3）当时，不等式在上恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）函数是奇函数，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由，代入计算即可求解.
（2）根据奇函数定义判定即可；
（3）由题意可得，根据函数单调性，计算即可求解，
【小问1详解】
令，则，可得，
故函数的图象恒过点；
【小问2详解】
函数是奇函数，证明如下：
由题意得函数的定义域为，
且，
因为，即，
所以函数是奇函数；
【小问3详解】
当时，函数，
不等式在上恒成立，
即当时，，
因为在区间上单调递增，
所以函数在区间上单调递减，
当时，函数有最大值，即，
所以的取值范围为.
18. 某地区举办“机器人创新大赛”，现从参加该比赛的所有参赛者中随机抽取200名参赛者，将这200名参赛者的比赛成绩（单位：分）按，，，，，分成6组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值；
（2）用样本估计总体，估计该地区参加该比赛的所有参赛者比赛成绩的平均数；（每组数据用该区间的中间值作代表）
（3）已知落在内比赛成绩的平均数为64.5，方差是14，落在内比赛成绩的平均数是70.5，落在内比赛成绩的方差是4，求落在内比赛成绩的平均数与落在内比赛成绩的方差.
附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差.
【答案】（1）
（2）72.5 （3）平均数为74.5，方差为32.
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1求出.
（2）根据平均数公式结合频率分布直方图计算即可.
（3）根据平均数和方差公式进行计算即可.
【小问1详解】
由，得.
【小问2详解】
估计该地区参加该比赛的所有参赛者比赛成绩的平均数为.
【小问3详解】
由图可得的频率与的频率之比为，
的频率与的频率之比为.
设落在内比赛成绩的平均数为，则，解得.
落在内比赛成绩的方差，
所以落在内比赛成绩的平均数为74.5，落在内比赛成绩的方差为32.
19. 定义：给定函数，若存在实数、，且、、有意义时，在定义域内恒成立，则称函数具有“”性质.
（1）证明：函数不具有“”性质.
（2）判断函数是否具有“”性质.若是，写出、的值；若不是，请说明理由.
（3）设定义域为的奇函数具有“”性质，且当时，，若函数，试讨论在上的零点个数.
【答案】（1）证明见解析
（2）具有，且，
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用“”性质的定义结合指数的运算性质计算即可证得结论成立；
（2）根据“”性质可得出关于、的方程组，解之即可；
（3）根据“”性质结合奇函数的性质推导出函数是周期为的周期函数，数形结合得出当在不同取值下，函数与在图象的公共点的个数，即可得出结论.
【小问1详解】
假设函数具有“”性质，则存在、使得，
即，所以，
因为常数，而不是常数，故等式不成立，
所以函数不具有“”性质.
【小问2详解】
函数是否具有“”性质，理由如下：
由题意可知，
整理可得对任意的恒成立，
所以，解得
【小问3详解】
因为函数具有“”性质，即对任意的，有，
即，
又因为函数为奇函数，故，可得，
故函数是周期为的周期函数，且有，
当时，，则，此时，
当时，，则，此时，
所以当时，，
作出函数在上的图象如下图所示：
当直线过点，则，可得，
当直线过点时，则，可得，
因为，当时，直线与函数在上的公共点个数为，
当时，直线与函数在上的公共点个数为，
当时，直线与函数在上的公共点个数为，
当时，直线与函数在上的公共点个数为，
当时，直线与函数在上的公共点个数为.
综上所述，当时，在上的零点个数为个，
当时，在上的零点个数为个，
当时，在上的零点个数为个，
当时，在上的零点个数为个，
当时，在上的零点个数为个.