重庆市西南大学附中2025-2026学年高一上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份重庆市西南大学附中2025-2026学年高一上学期期末数学试题（原卷版+解析版），共24页。试卷主要包含了答题前，考生先将自己的姓名等内容，欢迎下载使用。
（满分：150分；考试时间：120分钟）
注意事项：
1、答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．
2、答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．
3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 下列函数中周期为，且为偶函数的是（ ）
A B. C. D.
4. 已知角的终边过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 将函数图象上每个点向左平移个单位长度，再将所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍．所得图象的函数解析式是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A. 2B. 0C. -2D. 4
7. 已知函数，若，则的最小值为（ ）
A. 2B. 1C. D.
8. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 已知函数是定义在上奇函数，当时，，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 当时，
C. 分别在区间与上单调递增
D. 的解集为
11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若时，函数的图象关于点对称
C. 若函数在上单调递减，则
D. 若方程在内有20个不同的实数根，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的定义域为___________．
13 ______.
14. 对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为伪奇函数．若函数为伪奇函数，则的取值范围是___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知关于的一元二次不等式的解集．
（1）求实数的值；
（2）集合，且，求实数的取值范围．
16. 已知函数最小正周期为．
（1）求的值和函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象对应函数记为，求函数在上的值域．
17. 已知为一个三角形两个内角，且．
（1）求的值；
（2）求代数式的值；
（3）求角的值．
18. 已知函数，函数
（1）求的解集；
（2）若时，函数恒成立，求的取值范围；
（3）若方程有四个不同的实数根，求的取值范围．
19. 高斯（Gauss）是德国著名数学家，被认为是历史上最杰出的数学家之一，并享有“数学王子”之称．用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，，已知函数．
（1）当时，求和的值；
（2）当时，函数的值域为，求实数的取值范围；
（3）设为正整数，函数，证明：对任意的实数．
西南大学附中2025-2026学年度上期期末考试
高一数学试题
（满分：150分；考试时间：120分钟）
注意事项：
1、答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．
2、答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．
3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据集合交集运算求解即可.
【详解】因为，
所以.
故选：B
2. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先解绝对值不等式，再根据充分，必要条件的概念判断即可.
【详解】解不等式得，
因为“”是“”的充分不必要条件,
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3. 下列函数中周期为，且为偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出各选项的周期，结合奇偶性判断即得.
【详解】对于A，函数的最小正周期为，
令，则，且，故该函数为非奇非偶函数，故A错误.
对于B，函数的最小正周期为，经过翻折变换周期不变，即的最小正周期为，
令，则，，故该函数为偶函数，故B正确.
对于C，函数的最小正周期为且函数为偶函数，的最小正周期为，故C错误.
对于D，函数是最小正周期为，
令，则，，故该函数为奇函数，故D错误.
故选：B.
4. 已知角的终边过点，则的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用诱导公式化简所求式，再由三角函数的定义计算即得.
【详解】原式=,
因角的终边过点，则,
故的值为.
故选：A.
5. 将函数图象上每个点向左平移个单位长度，再将所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍．所得图象的函数解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正弦型函数图象平移变换和伸缩变换规律，得到最终函数解析式.
【详解】把函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象.
故选：D
6. 已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A. 2B. 0C. -2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由奇偶性和对称性得出该函数的周期，再利用周期性与对称性将所求转化到给定区间内即可求解.
【详解】由题意得，又故，即，
所以，故为周期为的周期函数.
所以，同理，
又，令得，
所以.，
所以.
故选：B
7. 已知函数，若，则的最小值为（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性及单调性，可得，由基本不等式可得的最小值.
【详解】由题知函数定义域为R，
，
所以为奇函数，所以，
又令，易知在R上单调递减，
所以在R上单调递减，所以即，
所以有，
由基本不等式得，
所以，解得，
当且仅当时等号成立，此时，最小值为.
故选：C
8. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据三角函数的两角和公式将展开，再结合已知条件即可求出的值.
【详解】，，即，，
又，，
将代入该式得，
，即，
又.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据，结合不等式性质判断A；利用作差法比较大小，结合平方差公式判断B；取判断C；利用作差法比较大小判断D.
【详解】对于A，若，则，故，正确；
对于B，由知，所以，即，故正确；
对于C，令，满足，，故错误；
对于D，由知，
所以，即，故正确.
故选：ABD
10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 当时，
C. 分别在区间与上单调递增
D. 的解集为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据奇函数判断A；根据奇函数的对称性求解解析式判断B；先研究函数在时的单调性，再结合其偶函数的性质讨论时的单调性，进而判断C；转化为解或判断D.
【详解】A，因为函数是定义在上的奇函数，故，A错误；
B，设，则，，
因为函数是定义在上的奇函数，，
所以时，，B正确；
C，当时，，
所以，当时，，当时，，
所以，当时，，
由于函数在上为增函数，在上为减函数，
所以，当时，在上单调递减，在上为单调递增，在上的奇函数，
设，则，即为偶函数，
所以在对称区间上的单调性相反，
即时，在上单调递增，在上为单调递减，
综上，分别在区间与上单调递增，故C正确；
D，或，
解不等式得或，
所以的解集为，故D正确.
故选：BCD
11. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若时，函数的图象关于点对称
C. 若函数上单调递减，则
D. 若方程在内有20个不同的实数根，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据的最大值为且过点判断A；直接求解对称中心判断B；将问题转化为在单调递减求解判断C；将问题转化为函数在内有20个不同的实数根求解判断D.
【详解】对于A，由图可知的最大值为且过点，故，
又，由，可得，故，故A正确；
对于B，当时，，因，故B错误；
对于C，函数在上单调递减，则，解得；
当时，，
因为函数在上的单调递减区间为，
，解得，即，故C正确；
对于D，方程在内有20个不同的实数根等价于在内有20个不同的实数根，
由可得，即方程在内有20个不同的实数根，
由于方程在内的实数根为和，
故要使方程在内有20个不同的实数根，
则需使，解得，即，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的定义域为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式和分式的意义求解即可.
【详解】要使函数有意义，则，解得且
所以函数的定义域为
故答案为：
13. ______.
【答案】1
【解析】
【分析】应用商数关系、和差角的正余弦公式及诱导公式化简即可得出结果.
【详解】方法一：
原式=
.
方法二：
令，即.
，
则，即，
即，则.
故答案为：1
14. 对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为伪奇函数．若函数为伪奇函数，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据伪奇函数的定义，分情况讨论的取值，进而得到关于的表达式，再通过分析表达式的取值范围来确定的取值范围.
【详解】当时，，，
，
由，得，
所以，
令，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，
当时，，
当时，，，所以，
所以，即；
当时，，，
，
由，得，
所以，
令，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
当时，，
当时，，，所以，
所以，即；
综上，.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知关于的一元二次不等式的解集．
（1）求实数的值；
（2）集合，且，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得和2为方程的根，且，进而结合韦达定理求解即可；
（2）先求出集合，由可得，进而结合包含关系求解即可.
【小问1详解】
由题意，和2为方程的根，且，
则，解得.
【小问2详解】
由，得，
则或，即或，
所以或，
因为，所以，
则或，解得或，
则实数的取值范围为．
16. 已知函数的最小正周期为．
（1）求的值和函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象对应函数记为，求函数在上的值域．
【答案】（1），单调递增区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据三角恒等变换公式化简，进而结合周期公式求得，再结合正弦函数的单调性求解单调递增区间；
（2）根据函数平移得到，进而结合正弦函数的性质求解即可.
【小问1详解】
由，
则，即，所以，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
【小问2详解】
由题意，，
当时，，
则，即，
所以函数在上的值域为．
17. 已知为一个三角形的两个内角，且．
（1）求的值；
（2）求代数式的值；
（3）求角的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用两角和的正切公式求解；
（2）由，利用同角三角函数基本关系式求解；
（3）利用两角和的正切公式求解.
【小问1详解】
由，
解得；
【小问2详解】
由（1）知：，
所以；
【小问3详解】
因为 为一个三角形的两个内角，且，
所以，
由（1）知：，
所以，
又，则，
所以，
所以.
18. 已知函数，函数
（1）求的解集；
（2）若时，函数恒成立，求的取值范围；
（3）若方程有四个不同的实数根，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分和直接解对应的指数不等式与一元二次不等式的解集，再求并集即可；
（2）根据分离参数的方法，将问题转化为对任意的上的实数恒成立，再结合基本不等式求解在上的最小值即可；
（3）作出图象，令，进而根据图象，将问题转化为有2个不相等的实数根，且满足①，，②，，③，，④，四种情况，再分别讨论四种情况下二次函数的根的分布即可求得答案.
【小问1详解】
解：当时，，即，解得，
所以，当时，的解集为；
当时，，即，解得，
所以，当时，的解集为
综上，的解集
【小问2详解】
解：若时，函数恒成立，，
所以对任意的上的实数恒成立，
即对任意的上的实数恒成立，
因为，，
所以对任意的上的实数恒成立，故只需求在上的最小值即可.
令，则，
当且仅当时取得等号，即时，取得最小值.
所以，即的取值范围
【小问3详解】
解：令，则，
如图，当时，无实数根，
当时，有1个实数根，
当时，有2个实数根，
当时，有3个实数根，
当时，有2个实数根，
当时，有1个实数根，
所以，要使方程有四个不同实数根，则的实数根有以下几种情况：
①有2个不相等的实数根，且，
②有2个不相等的实数根，且，
③有2个不相等的实数根，且，
④有2个不相等的实数根，且，
下面分别讨论四种情况：
①有2个不相等的实数根，且，，
由，解得，
此时，解得，，满足题意.
所以.
②有2个不相等的实数根，且，
由开口向上，故根据零点的存在性定理有：，解得
所以
③有2个不相等的实数根，且，
由开口向上，故只需满足，解得，
所以
④有2个不相等的实数根，且，
由得，
此时，解得，，不满足
所以此种情况下无解.
综上，的取值范围为
19. 高斯（Gauss）是德国著名数学家，被认为是历史上最杰出的数学家之一，并享有“数学王子”之称．用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，，已知函数．
（1）当时，求和的值；
（2）当时，函数的值域为，求实数的取值范围；
（3）设为正整数，函数，证明：对任意的实数．
【答案】（1）；
（2）；
（3）证明见详解.
【解析】
【分析】（1）将代入，分别求出、的函数值，再根据高斯函数定义进行取整运算；
（2）由高斯函数值域反推的值域，再通过解不等式的恒成立问题，求解参数范围；
（3）将分解为整数部分和小数部分，利用高斯函数性质为整数），简化表达式，再分区间讨论小数部分，计算的值（通过区间划分确定每个项的值），最后结合的高斯函数性质，证明等式成立.
【小问1详解】
当时，，则，
所以.
【小问2详解】
由题知，
任取且，
，，，
则当时，，，值域为，不符题意，舍去；
当时，，所以在单调递减，
当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于，
故，则有，解得；
当时，，所以在单调递增，
当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于，
故，则有，无解.
综上，的取值为.
【小问3详解】
设则
故；
又，
因此，
将分为个区间，
对固定，则
当时，；当时，.
满足的有个，故.
因此，又，
故，从而.