2025-2026学年山东省威海市荣成市上册九年级数学12月月考测试卷 [附答案]

这是一份2025-2026学年山东省威海市荣成市上册九年级数学12月月考测试卷 [附答案]，共30页。试卷主要包含了单选题，四象限B．第一，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．反比例函数的图象经过（ ）
A．第二、四象限B．第一、三象限C．第一、二象限D．第三、四象限
2．一个圆形人工湖如图所示，弦是湖上的一座桥，已知桥长，测得圆周角，则这个人工湖的直径为（ ）
A．B．C．D．
3．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，内接于⊙O，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻，是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式：，，）．则下列说法中不正确的是（ ）
A．当水箱未装水（）时，压强p为0kPa
B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N
C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m
D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为
6．如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为2的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点，则图中的长为（ ）

A．B．C．D．
7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为x＝1，有下列4个结论：①abc＞0；②a＋c＞b；③4a＋2b＋c＞0；④a＋b≥am2＋bm(m是任意实数)．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，，，D是上的一个动点，连接AD．过点C作于E，连接BE，则BE的最小值是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，将边长为10的正三角形OAB放置于平面直角坐标系xOy中，C是AB边上的动点（不与端点A，B重合），作CD⊥OB于点D，若点C，D都在双曲线y＝上（k＞0，x＞0），则k的值为（ ）
A．25B．18 C．9D．9
10．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，若AC＝6，BC＝8，则的值为（ ）

A．B．1C．D．
二、填空题
11．请写出一个开口向上，且经过点的抛物线的解析式 ．
12．已知：如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴正半轴交于点，点在以点为圆心，2个单位长度为半径的圆上，点是的中点，连接，则的最小值为 ．

13．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为 ．
14．如图，在四边形中，，，若，，则的最大值是 ．
15．如图，有一个和两个正六边形，．的六个顶点都在圆周上，的六条边都和相切（我们称分别为的内接正六边形和外切正六边形）．设的半径为，则图中阴影部分的面积 （用含的式子表示）．
16．如图，有两个全等的和，固定，对进行如下操作：①将沿射线向右平移，连接，当点平移到线段的中点时停止平移，已知此时的四边形恰好为正方形：②将沿折叠，得到（点的对应点为点），连接，请你结合题意自行画出符合题意的图形，写出此时的值为 ．
三、解答题
17．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角，真空管与水平线的夹角，真空管的长度为2.5米，安装热水器的铁架竖直管的长度为0.6米．（参考数据：，，，，，）
（1）求水平横管到水平线的距离（结果精确到0.1米）；
（2）求水平横管的长度（结果精确到0.1米）．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴交于、两点，反比例函数的图象经过直线上的点．
（1）求直线的表达式；
（2）已知点在反比例函数的图象上，且，求点的坐标．
19．如图，在中，，，对角线，点E在射线的延长线上，连接，在上取点O，以点O为圆心，长为半径作与射线切于点B，交于点F，交于点M．
（1）求证：；
（2）求的长；
（3）连接，，直接写出四边形的形状和面积．
20．如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值．
21．某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝ax2+bx．当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1000．B城生产产品的每件成本为70万元．
（1）求a，b的值；
（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？
（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．
22．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点连线或平移的方法画出函数图象．结合上面经历的学习过程，我们来解决下面的问题：分段函数；
（1）当时，；当时，；则 ， ．
（2）在（1）的条件下，
①在给出的平面直角坐标系中画出该分段函数图象；
②若该分段函数图象上有两点，且，则m的取值范围；
③直线与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是 ．
23．如图三角形，，是边上的高．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接，交于E．求：
（1）若四边形是正方形，求的长（图一）；
（2）若四边形是矩形，且．求、的长（图二）；
（3）若四边形是矩形，求当矩形面积最大时，求最大面积和、的长．
答案
1．【正确答案】A
【分析】本题主要考查反比例函数的图象；根据判断反比例函数的图象经过的象限即可．
【详解】解：∵，
∴图象经过第二、四象限，
故选A．
2．【正确答案】B
【分析】本题考查圆中求线段长，涉及圆的基本性质、圆周角定理、勾股定理等知识，连接，如图所示，由圆周角定理得到，由圆的半径相等，设，由勾股定理求出，进而得到答案．熟练掌握圆周角定理、圆中求线段长的方法是解决问题的关键．
【详解】解：连接，如图所示：
，，
，
，
设，
在中，，，，则由勾股定理可得，
解得，即，
直径为，
故选B．
3．【正确答案】D
【分析】先求出对称轴x＝，再由已知可得 b≥1，即可求b的范围．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线x＝b，开口向下，
在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∵当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴1不在对称轴左侧，
∴b≤1，
故选D．
4．【正确答案】D
【分析】本题考查的是圆周角的性质内容，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可作答．
【详解】解：是所对的圆周角，是所对的圆心角，，
故选D．
5．【正确答案】B
【分析】根据题意结合图、图、图可得，，对各个选项进行逐个计算即可．
【详解】A. 由图得：当时，，故此项说法正确；
B. 当报警器刚好开始报警时，，解得，由图可求得：，解得，故此项说法错误；
C. 当报警器刚好开始报警时，由上得，则有，，由图求得，，解得：，故此项说法正确；
D. 当报警器刚好开始报警时：，，当时，，，，，故此项说法正确．
故选B．
6．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，连接，根据圆周角定理得出，利用弧长公式即可求解．
【详解】解：如图，连接，

根据题意得：，
，
，
，
，
故选C．
7．【正确答案】B
【分析】由抛物线开口向下得到a＜0；由抛物线的对称轴为直线x==1得到b＞0；由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到c＞0，则abc＜0；观察图象得到当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0；当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0；根据二次函数的最值问题得到x=1时，y有最大值a+b+c，则a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），变形得到a+b＞m（am+b）．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线的对称轴为直线x==1，
∴b＞0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
当x=-1时，y＜0，即a-b+c＜0，
∴b＞a+c，所以②错误；
当x=2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴x=1时，y有最大值a+b+c，
∴a+b+c＞am2+bm+c（m≠1），
∴a+b＞m（am+b），所以④正确．
故选B．
8．【正确答案】C
【分析】取的中点，连接，从而可得，先根据直角三角形的性质可得，从而得出在点的移动过程中，点在以为半径的圆上运动，再利用圆周角定理、勾股定理可得，然后根据圆的性质得出当点共线时，取得最小值，最小值为，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，取的中点，连接，则，
，
，
则在点的移动过程中，点在以为半径的圆上运动，
是圆的直径，
，
在中，，
在中，，
由圆的性质得：当点共线时，取得最小值，最小值为，
故选C．
9．【正确答案】D
【分析】根据等边三角形的性质表示出D，C点坐标，进而利用反比例函数图象上点的坐标特征得出答案．
【详解】解：过点D作DE⊥x轴于点E，过C作CF⊥x轴于点F，如图所示．
可得：∠ODE＝30°，∠BCD＝30°，
设OE＝a，则OD＝2a，DE＝ a，
∴BD＝OB﹣OD＝10﹣2a，BC＝2BD＝20﹣4a，AC＝AB﹣BC＝4a﹣10，
∴AF＝AC＝2a﹣5，CF＝ AF＝（2a﹣5），OF＝OA﹣AF＝15﹣2a，
∴点D（a， a），点C[15﹣2a，（2a﹣5）]．
∵点C、D都在双曲线y＝上（k＞0，x＞0），
∴a• a＝（15﹣2a）×（2a﹣5），
解得：a＝3或a＝5．
当a＝5时，DO＝OB，AC＝AB，点C、D与点B重合，不符合题意，
∴a＝5舍去．
∴点D（3，3），
∴k＝3×3＝9．
故选D．
10．【正确答案】A
【分析】连接OD，作CF⊥AB于F，求出CF、OD长，根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：连接OD，作CF⊥AB于F，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
，
sin∠CAB= ，
CF=AC×sin∠CAB= ，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45º，
∠DAB=∠BCD=45º，
∵AO=OD=5，
∴∠AOD=90º，
∴∠AOD=∠CFO，
∵∠CEF=∠DEO，
∴△CFE∽△DOE，
∴，
故选A．
11．【正确答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了二次函数的性质；根据开口向上和过点，可知二次项系数大于0，与轴交于，即可写出解析式；
【详解】根据函数开口向上和过点可得：（答案不唯一）.
12．【正确答案】
【分析】本题利用二次函数解析式得出、两点的坐标，连接，再利用勾股定理计算出，取的中点，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，连接，再利用中位线得出，最后根据三角形三边关系，给出，即可解题．
【详解】解：连接，取的中点，连接，，
，
，
当时，有，解得，，
，
，
，
点是的中点，
为三角形的中位线，即有，
，当、、三点共线等号成立，即，
故的最小值为.
13．【正确答案】．
【分析】连接AB，作AD⊥x轴，AC⊥y轴，根据题意和30°直角三角形的性质求出AP的长度，然后由圆和矩形的性质，根据勾股定理求出OC的长度，即可求出点P的坐标．
【详解】如下图所示，连接AB，作AD⊥x轴，AC⊥y轴，
∵PB与⊙A相切于点B
∴AB⊥PB，
∵∠APB＝30°，AB⊥PB，
∴PA=2AB=．
∵
∴四边形ACOD是矩形，
点A的坐标为（8，5），
所以AC=OD=8，CO=AD=5，
在中，．
如图，当点P在C点上方时，
∴，
∴点P的坐标为．
14．【正确答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，作出合适的辅助线构建出相似三角形是解题的关键．过点作，使，连接，，可推出，，得到 ，即，可证得，得到，从而得到，结合，即可得到答案．
【详解】解：过点作，使，连接，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，即，
，
，
，
，，
，
，
即的最大值为．
15．【正确答案】
【分析】本题考查了正多边形和圆，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，先证，所以，则，设，由勾股定理有：，解得：，，设与交于点，由勾股定理得，由，则图中阴影部分的面积，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图：连接，，，，
∵六边形，是正六边形，
∵为等边三角形，
∴，即的半径为，，
∵的六条边都和相切，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设，由勾股定理有：，
解得：，
∴，
设与交于点，
∴，
由勾股定理得：，
∴
，
∴图中阴影部分的面积.
16．【正确答案】/
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数等，连接，延长交于，利用正方形的性质可得都是等腰直角三角形，即得，又由平移的性质得，得到，是等腰直角三角形，即得到，设，可得，，，得到，再得到，，最后根据正弦的定义解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，延长交于，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
∴，
∵，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
又由平移得，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，
∴，
设，则，，，
∴，
∴，
∴，
∴.
17．【正确答案】（1）水平横管到水平线的距离约为1.6米
（2）水平横管的长度约为0.5米
【分析】本题主要考查了利用三角函数解直角三角形，
（1）作于F，在中，即可得；
（2）根据矩形判定和性质求出，再在Rt中，根据在中，求出，可求出的长度，在Rt中，根据可求出的长度，从而可求出与的长度差．
【详解】（1）解：过作于，
在中，，
米，，
米．
答：水平横管到水平线的距离约为1.6米；
（2），
四边形为矩形，
，米，
米，
米，
在中，，
米，
又在中，，
米，，
米．
米．
米，
答：水平横管的长度约为0.5米．
18．【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）把代入反比例函数解析式，求出点P坐标，再把点P坐标代入一次函数解析式，求出k值即可；
（2）根据得出，利用两直线平行，比例系数相同，得求出直线的表达式为：，再联立函数解析式，求出直线与反比例函数的交点坐标即可．
【详解】（1）解：把代入，得，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴直线的表达式为：．
（2）解：如图，
∵，
∴，
又∵直线的表达式为：，
∴直线的表达式为：，
联立，得，
解得：，，
∵，
∴．
19．【正确答案】（1）见详解
（2）
（3）菱形，面积是
【分析】对于（1），接，根据平行四边形的性质得 ，再根据切线的性质得，进而得出，然后根据三角形外角的性质得，即可得出答案；
对于（2），根据平行四边形的性质得，再根据含直角三角形的性质得．
然后根据勾股定理求得，最后根据含直角三角形的性质求得；
对于（3），连接，，先说明是等边三角形，再根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案．再求出，可知，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得出答案．
【详解】（1）证明：连接．
∵四边形是平行四边形，，
∴．
∴与射线切于点B，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴是的外角，
∴．
∴
∴．
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
∴．
∵，
∴．
在中，，
∴．
∴．
由勾股定理，得．
在中，，，
∴．
（3）四边形AMBO是菱形，面积是．
连接，．
在中，，，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∵
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
在中，，，，
，
解得，
∴，
∴．
20．【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据二次函数的图象交轴于点，，可以求得该函数的函数解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点的坐标，从而可以求得直线的解析式，再根据点的坐标，即可写出点和点的坐标，然后即可表示出线段，再根据二次函数的性质，即可得到线段长度的最大值．
【详解】（1）解：二次函数的图象交轴于点，，
，
解得，
即这个二次函数的表达式是；
（2）解：，
当时，，
即点的坐标为，
设直线的函数表达式为，
，
解得，
即直线的函数表达式为，
点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
，
当时，取得最大值，此时，
即线段长度的最大值是．
21．【正确答案】（1）a＝1，b＝30
（2）A城生产20件，B城生产80件
（3）0＜m≤2时，A，B两城总运费的和的最小值为（20m+90）万元；当m＞2时，A，B两城总运费的和的最小值为（10m+110）万元
【分析】（1）根据题意列方程组即可；
（2）设A，B两城生产这批产品的总成本为w，则w＝（x－20）2+6600，根据二次函数性质求解即可；
（3）设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，求出P＝（m﹣2）n+130，再分类讨论即可；
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：．
∴a＝1，b＝30；
（2）解：由（1）得：y＝x2+30x，
设A，B两城生产这批产品的总成本为w，
则w＝x2+30x+70（100－x）
＝x2－40x+7000，＝（x－20）2+6600，
由二次函数的性质可知，
当x＝20时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时100－20＝80．
答：A城生产20件，B城生产80件；
（3）解：设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，
则从A城运往D地的产品数量为（20－n）件，从B城运往C地的产品数量为（90－n）件，从B城运往D地的产品数量为（10－20+n）件，
由题意得：，
解得10≤n≤20，
∴P＝mn+3（20﹣n）+（90﹣n）+2（10﹣20+n），
整理得：P＝（m﹣2）n+130，
根据一次函数的性质分以下两种情况：
①当0＜m≤2，10≤n≤20时，P随n的增大而减小，
则n＝20时，P取最小值，最小值为20（m﹣2）+130＝20m+90；
②当m＞2，10≤n≤20时，P随n的增大而增大，
则n＝10时，P取最小值，最小值为10（m﹣2）+130＝10m+110．
答：0＜m≤2时，A，B两城总运费的和为（20m+90）万元；当m＞2时，A，B两城总运费的和为（10m+110）万元．
22．【正确答案】（1）3，6
（2）①见详解；②或；③
【分析】（1）将分别代入函数和得关于a和b的方程，解方程得a和b的值；
（2）①根据解析式的特点画出函数的图象即可；
②由①中函数图象分两种情况可直接得出m的取值范围．
③由①中函数图象可直接得出k的取值范围．
【详解】（1）解：（1）把代入得，，
，
把，代入得，，
；
故3，6；
（2）①∵，
故可作图如下：
②是函数图象上的点，且，
，
，
，
当时，
∵在函数图象上，
当时，由图象知，；
当时，由于，解得：，
由图象知，；
综上，m的取值范围为：或；
③直线与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是，
故．
23．【正确答案】（1）4.8
（2），
（3）最大面积是24，此时，
【分析】本题考查相似三角形的应用，二次函数的性质和矩形的性质，利用相似三角形的性质构建方程是解题关键．
（1）与交于于E，设，则，再证明，利用相似比可求出正方形边长；
（2）设长方形的，则，由，利用相似比列方程即可得到结果；
（3）设，矩形的面积为S，利用得相似比，用相似比可得出用含x的式子表示S，从而得出二次函数解析式，根据解析式及自变量取值范围求S的最大值．
【详解】（1）解：设正方形的边长为x，
∵四边形为正方形，
∴，，，
∵是边上的高，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，解得，
∴正方形的边长是；
（2）设，则，由（1）得，
∴，即，解得，
∴，；
（3）∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
设，矩形的面积为S，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴当时，S的最大值为24，
∴当时，矩形的面积最大，最大面积是24，此时，．