辽宁省沈阳市五校2026届高三上学期期末联考 数学试卷(含答案）

这是一份辽宁省沈阳市五校2026届高三上学期期末联考 数学试卷(含答案），共19页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，已知圆C，下列说法正确的是，在中，，则的最小值为，已知函数与函数，设函数，则下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知条件：，条件q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知圆C：，若直线：与圆C相交于，两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
4．下列函数中，最小正周期是π的偶函数是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则（ ）
A．B．C．D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．两个随机变量的线性相关程度越强，相关系数越接近于1
B．数据7，4，2，9，1，5，8，6的70%分位数为6
C．某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大
D．已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为2.4
7．在中，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数与函数（且）互为反函数，记.若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．设函数，则下列说法正确的有（ ）
A．函数有三个零点B．是的极小值点
C．函数的对称中心为D．过可以作三条直线与的图象相切
10．已知数列的前n项和为，满足，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．为等比数列B．为等比数列
C．D．
11．若四面体各棱长是1或2且该四面体不是正四面体，则其体积的可能值是（ ）
A．B．C．D．
第II卷（非选择题）
三、填空题
12．已知点为的外心，且，则 ．
13．设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则 .
14．已知、是双曲线的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且，则该双曲线的离心率为 .
四、解答题
15．设，其中.
(1)求函数的值域；
(2)若在区间内单调递减，求的取值范围.
16．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.
（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（2）记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）.
17．如图，在三棱锥中，，，，，，，，，的中点分别为，，，.

(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的正弦值.
18．在平面直角坐标系中，已知点，，动点E满足直线与的斜率之积为，记E的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)过点的直线交C于P，Q两点，
（i）求的最小值；
（ii）过点P作直线的垂线，垂足为G，过点O作，垂足为M.证明：存在定点N，使得为定值.
19．已知函数，.
(1)直线过点且与相切，求直线的方程；
(2)若对恒成立，求的取值范围；
(3)证明：.
参考答案
1．D
【详解】因为，
所以
，
所以.
故选：D.
2．C
【详解】对于： ，
则，解得，
对于q：，则，
，解得，
所以p是q的充要条件．
故选：C．
3．B
【详解】由直线：，
所以可得直线必过定点，
又由圆C：，
可得圆心，半径，
由点到圆心距离为，
所以点到直线：的距离，
则，经验证此时值存在.
故选：B.
4．D
【详解】对于A，，最小正周期是，故A不符合题意；
对于B，令，
所以是函数的一个周期，所以的最小正周期不是，故B不符合题意；
对于C，令，
易知，，
，则周期不是π，故C不符合题意；
对于D，，
最小正周期是，是偶函数， 故D符合题意．
故选：D．
5．C
【详解】设等比数列的公比为，则由，，成等差数列，可得：，
因为，所以，解得，
又因为等比数列中，各项都是正数，所以，即，
则.
故选：C
6．D
【详解】A：线性相关程度越强时，相关系数的绝对值越接近1，负相关时会接近，故A错误.
B：将数据排序为1，2，4，5，6，7，8，9，分位数对应的位置为，取第个数为，故B错误.
C：正态分布中越大，数据离散程度越高，区间内的概率越小，故C错误.
D：原4个数据的，加入数据5后，新方差为，故D正确.
故选：D
7．B
【详解】由，可得，
根据余弦定理，可得，
所以，即.
由，当且仅当，即时取等号.
故选：B
8．D
【详解】因为函数与函数（且）互为反函数，
所以（且）.
所以.
设，，
当时，在上单调递减，所以，
又在区间上是增函数，
所以在上单调递减，
所以.
又，所以.
结合，所以.
当时，在上单调递增，所以，
又在区间上是增函数，
所以在上单调递增，
所以，
又，所以不成立.
综上可知：.
故选：D
9．BCD
【详解】，，
当或时，，当时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以，，又，所以函数仅有1个零点，且该零点在区间上，故A错误，B正确；
由，得，
所以函数的图象关于对称，故C正确；
设切点为，则，故切线方程为，
又过点，所以，整理得，
即，解得或或，所以过可以作三条直线与的图象相切，故D正确．
故选:BCD．
10．BCD
【详解】由题设，且，故是首项、公比为3的等比数列，
所以，则，故不是等比数列，A错，B、C对；
由，则，
所以，
所以，D对.
故选：BCD
11．ACD
【详解】因为四面体各棱长是1或2且该四面体不是正四面体，所以四面体的各棱长可以为（1）1边为1，其他5边为2；（2）2边为1，其他四边为2；（3）3边为1,3边为2.
（1）当四面体的各棱长为1边为1，其他5边为2；如图示：

不妨设,其他5边为2；
取AB的中点为E,连结CE，因为BC=AC=2,
所以CE⊥AB且；
同理可证：DE⊥AB且.
又，所以AB⊥面.所以.
在△CDE中，取CD中点F，连结EF,则EF⊥CD,且,
所以
所以
（2）当四面体的各棱长为2边为1，其他四边为2；由于三角形两边之和大于第三边，只能是对边为1，如图示：不妨设,其他4边为2；

取AB的中点为E,连结CE，因为BC=AC=2,
所以CE⊥AB且；
同理可证：DE⊥AB且.
又，所以AB⊥面.所以.
在△CDE中，取CD中点F，连结EF,则EF⊥CD,且,
所以
所以
（3）当四面体的各棱长为3边为1,3边为2；由于三角形两边之和大于第三边，只能是三条底边为1，侧棱为2，如图示：不妨设,；

则四面体ABCD为正棱锥，过D作DO垂直底面于O,则O为三角形ABC的中心，
所以，
所以.
而
所以.
故选：ACD
12．
【详解】解：如图，取的中点，则
则
，
故答案为．
13．/
【详解】由，可知，
又，可得，
由，可得，
所以.
故答案为：
14．或
【详解】双曲线的渐近线方程为，右焦点，
则点到渐近线即的距离为：.
根据图形位置，可分两种情况：
如图1：
在直角中，，，，
设，则，
因为，所以.
在直角中，，，而，则.
又，即.
所以.
如图2：
在直角中，，，，
设，则.
因为，所以.
在直角中，，，而，则.
又，所以.
所以.
故答案为：或
15．(1)
(2)
【详解】（1）
，
因，故，则.
（2）的单调递减区间满足（），
解得，的单调递减区间为
要求，
则，①，
由于，，所以时，①无解，
当时，①解得，
当时，，①无解，
所以的范围是 .
16．（1）；（2）.
【详解】（1）用表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，表示“第局甲获胜”，表示“第局乙获胜”.则，.
.
（2）
的可能取值为.
，
，
.
故的分布列为
所以.
考点：1.概率的求解；2.期望的求解.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图：连接.

因为，为中点，所以.
所以.
在中，.
取为空间向量的一组基底，
则，，，，，
.
又，，,
所以，
，
所以，，平面，，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
（2）设，，连接.
因为分别为中点，所以分别为和的重心，
所以，所以.
由（1）得，平面，平面，所以，，
所以即为二面角的平面角，设为，
又，
所以，
又，，
，.
所以
所以.
所以.
18．(1)，曲线为椭圆除去这两个点；
(2)（i）；（ii）证明见解析.
【详解】（1）设动点，直线与的斜率之积为，
，，，
，，
，，，，
的方程为，曲线为椭圆除去这两个点.

（2）（i）过点的直线交C于P，Q两点，
①当直线不存在斜率时，直线的方程为，将代入，
解得，则，解得，
②当直线存在斜率时，设直线的方程为，
联立，消去，得到关于的一元二次方程，
整理得到，即，
过点的直线交C于P，Q两点，，
，，，
设，
过点的直线交C于P，Q两点，
的解为，，
，
，
，，，，
，，
综合①②，，.
（ii）过点的直线交C于P，Q两点，的方程为，
与轴不重合，设的直线方程为，
联立，消去，得到关于的一元二次方程，
整理得到，
设，
过点的直线交C于P，Q两点，
是的两个根，
，，
，
过点P作直线的垂线，垂足为，，
是：上的点，，，
，，
，，
直线的方程为，整理得到，
直线恒过定点，
，为直角三角形，
取的中点，则，
故为定值，综上可知，存在定点N，使得为定值.

19．(1)
(2)
(3)见解析
【详解】（1）因为，所以，
设是上的一点，
则过点的切线方程为，
又因为在直线上，
所以，解得，
所以直线为.
（2）当时，等价于，
设，则，
设，则，
在上单调递减，
在上单调递减，，
的取值范围是
（3）由（2）取，当时，恒成立，
即恒成立，即恒成立，
令，得，
，，
，
，
.2
3
4
5