上海宝山区世外学校2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷（原卷版+解析版）

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2025-2026 学年第一学期 高一 期末评估 数学 试卷
满分:150 分 时间:120 分钟
班级:_____ 学号:_____ 姓名:_____
注意事项:
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2、请将答案正确填写在答题卡上
一、填空题(共 12 题，第 1 分 答明函 4 分，第 7 ~12 题每题 5 分，满分 54 分)
1. 已知集合，，则＝______.
2. 已知扇形的圆心角，半径为4，则该扇形的面积为______________．
3. 已知，，且，则xy的最大值为______.
4. 已知，且，则 _____.
5. 函数 的图像恒过定点_____.
6. 若幂函数为偶函数，则__________.
7. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则 在时的解析式是_____.
8. 化简：______.
9. 已知关于不等式在区间有解，则实数的取值范围为___________.
10. 已知函数是上严格减函数，则实数的取值范围是_____.
11. 设函数.若关于x的方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是_______．
12. 在锐角中，若，则的最小值是________
二、选择题(共 4 题， 第 13、14 题每题 4 分， 第 15、16 题每题 5 分， 满分 18 分)
13. 下列表示同一个函数的是（ ）
A. B.
C. D.
14. “”是“”（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
15. 已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（ ）
A B.
C. D.
16. 如图，等边的边长为4，把的各边分别向两个方向延伸，且延伸长度为的一段，然后分别以三个顶点为圆心画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为，它们的对顶角所对的圆弧的半径均为，由这样的六条圆弧组成的图形叫做圆弧六边形.已知某圆弧六边形的周长为，则该圆弧六边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
三、解答题(共 5 题， 满分 78 分)
17. 已知.
（1）求；
（2）求.
18. 已知集合，集合 .
（1）若，全集，求；
（2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.
19. 已知函数.
（1）若函数为奇函数，求的值；
（2）判断函数的单调性，并加以证明.
20. 已知函数 .
（1）当时，解不等式；
（2）求在上的最小值；
（3）若时，恒成立，求实数的取值范围.
21. 著名的布劳威尔(Bruwer)不动点定理是代数拓扑的早期成就之一，也是泛函分析中广泛使用的一个重要结果，它可应用到欧式(Euclid)空间，并推广至巴拿赫(Banach)空间、希尔伯特(Hilbert)空间，研究空间结构的连续映射特性，简单来说就是对于函数，若存在使得，我们称为函数的一个一阶不动点；进一步地，若存在，使得，则称为函数的二阶不动点；依此类推，可以定义函数的阶不动点.其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点.
（1）若，求的不动点；
（2）已知函数在定义域内严格递增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件；
（3）若函数，记全体不动点构成的集合为，全体稳定点构成的集合为，要使，求实数的取值范围.
上海宝山区世外学校高中(国内部)
2025-2026 学年第一学期 高一 期末评估 数学 试卷
满分:150 分 时间:120 分钟
班级:_____ 学号:_____ 姓名:_____
注意事项:
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2、请将答案正确填写在答题卡上
一、填空题(共 12 题，第 1 分 答明函 4 分，第 7 ~12 题每题 5 分，满分 54 分)
1. 已知集合，，则＝______.
【答案】
【解析】
【分析】利用并集的意义求解即可.
【详解】因为，，所以.
故答案为：.
2. 已知扇形的圆心角，半径为4，则该扇形的面积为______________．
【答案】
【解析】
【分析】圆心角转换为弧度制，再根据扇形的面积公式进行计算即可．
【详解】因为，所以扇形面积.
故答案为：.
3. 已知，，且，则xy的最大值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值.
【详解】由，，且，得，
当且仅当取等号，所以xy的最大值为1.
故答案为：1
4. 已知，且，则 _____.
【答案】
【解析】
【分析】求出，利用换底公式化简即可求出.
【详解】因为，所以，
当时，，不符合题意；故且，
所以，则.
故答案为：
5. 函数 的图像恒过定点_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用对数运算性质，即可得到定点.
【详解】令，解得,
则,
所以函数图像恒过定点.
故答案为：.
6. 若幂函数为偶函数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由幂函数的定义得，解出，并根据为偶函数，进行检验，得到的值.
【详解】因为为幂函数，则，解得或.
当时，，为奇函数，不符合题意；
当时，，为偶函数，符合题意，所以.
故答案为：.
7. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则 在时的解析式是_____.
【答案】
【解析】
【分析】当时，，求出，再根据奇函数的定义求出.
【详解】当时，，
则当时，，有，
因为是定义域为的奇函数，所以，
故 在时的解析式是.
故答案为：
8. 化简：______.
【答案】
【解析】
【分析】利用三角函数的诱导公式化简即可.
【详解】原式
.
故答案为：.
9. 已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】分离参数，再将不等式有解转化为最值问题即可.
【详解】关于的不等式在区间有解，
则，使得不等式成立，即，
令，则，
令，函数在上单调递减，在上单调递增，
于是，因此，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
10. 已知函数是上的严格减函数，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数单调性列出关于的不等式组求解即可.
【详解】因为函数是上的严格减函数，
所以，解得，即实数的取值范围为.
故答案为：
11. 设函数.若关于x的方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】画出函数的图象，根据对称性和对数函数的图象和性质求出及，则有，然后利用函数单调性求解范围即可．
【详解】作出函数的图象如下图所示：

若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且，
由可得或，解得或，
可得，
因为，可得，即，所以，
由图可知点、关于直线对称，则，
可得，其中，
令函数，其中，则函数在上单调递增，
则，即，
所以的取值范围是.
故答案为：.
12. 在锐角中，若，则的最小值是________
【答案】8
【解析】
【分析】由可得，在中，利用和角的正切公式化简推出，于是得到，再利用基本不等式即可推得，从而得到的最小值.
【详解】由，得，
因为为锐角三角形，所以均大于0，
所以，
又
，
所以，
解得，当且仅当，即，即时取等号，解得或，
所以的最小值是8.
故答案为：8.
二、选择题(共 4 题， 第 13、14 题每题 4 分， 第 15、16 题每题 5 分， 满分 18 分)
13. 下列表示同一个函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，则它们是同一函数，对选项逐一判断即可．
【详解】对于A，定义域为，定义域为，定义域不同，故A错误；
对于B，定义域为，定义域为，定义域不同，故B错误；
对于C，定义域为，定义域为，且，故C正确；
对于D，定义域为，定义域为，定义域不同，故D错误；
故选：C．
14. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等关系结合充分与必要条件判断即可.
【详解】当时，满足，但是此时；
当，满足，但此时；
故“是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
15. 已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，先由奇偶性求得在上的解析式，把不等式转化为等价不等式组，结合指数函数单调性，求解不等式组的解集即可.
【详解】因为函数为上的奇函数，且当时，，
当时，，可得，所以，
又因为为上的奇函数，则，
则可转化为或，解得或，
故不等式的解集为.
故选：C.
16. 如图，等边的边长为4，把的各边分别向两个方向延伸，且延伸长度为的一段，然后分别以三个顶点为圆心画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为，它们的对顶角所对的圆弧的半径均为，由这样的六条圆弧组成的图形叫做圆弧六边形.已知某圆弧六边形的周长为，则该圆弧六边形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据弧长公式列出方程求参数值，再由扇形的面积公式计算即可得.
【详解】由题意，圆弧六边形的面积，
圆弧六边形的周长，即，
所以.
故选：A
三、解答题(共 5 题， 满分 78 分)
17. 已知.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角关系即可求解，
（2）根据同角关系以及正弦的差角公式即可求解.
【小问1详解】
由于故
因此
【小问2详解】
由于则，结合，故
，
故
，
由于则，
故，
18 已知集合，集合 .
（1）若，全集，求；
（2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出，根据交集的概念得到答案；
（2）先得到为的真子集，分和两种情况，得到不等式，求出答案.
【小问1详解】
时，，故或，
，
故或；
【小问2详解】
命题p是命题q的必要不充分条件，故为的真子集，
若，则，解得，
若，需满足，
解得，
综上，实数m的取值范围为.
19. 已知函数.
（1）若函数为奇函数，求值；
（2）判断函数的单调性，并加以证明.
【答案】（1）
（2）函数在上单调递减，证明见详解.
【解析】
【分析】（1）根据定义域为R的奇函数满足求出的值，再验证即可；
（2）利用函数单调性的定义可证得结果.
【小问1详解】
由题意得，函数的定义域为，又函数为奇函数，，
，解得.
当时，，，
，所以当时，函数为奇函数.
综上，的值为.
【小问2详解】
函数在上单调递减，理由如下；
设，
则，
因为指数函数在上单调递增，且，，即，
又，，即，
故函数在上单调递减.
20. 已知函数 .
（1）当时，解不等式；
（2）求在上的最小值；
（3）若时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）解不含参的一元二次不等式即可；
（2）利用对称轴分为三类区间来讨论二次函数的单调性，然后求出最小值；
（3）利用分离参变量思想，构造对勾函数来判断单调性求最大值，即可求解参数的范围.
【小问1详解】
当时，，
则，解得：或，
即不等式的解集为：；
【小问2详解】
因为二次函数的对称轴为，
当，即时，在上单调递增，
所以；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以
当，即时，在上单调递减，
所以.
综上可得：；
【小问3详解】
由不等式可得：
(*)，
因为，所以，
则(*)等价于，，
再令，则，令函数，
因为在单调递减，在单调递增，
且，
所以，
由对任意都恒成立，则，
所以实数的取值范围是.
21. 著名的布劳威尔(Bruwer)不动点定理是代数拓扑的早期成就之一，也是泛函分析中广泛使用的一个重要结果，它可应用到欧式(Euclid)空间，并推广至巴拿赫(Banach)空间、希尔伯特(Hilbert)空间，研究空间结构的连续映射特性，简单来说就是对于函数，若存在使得，我们称为函数的一个一阶不动点；进一步地，若存在，使得，则称为函数的二阶不动点；依此类推，可以定义函数的阶不动点.其中一阶不动点简称不动点，二阶不动点也称为稳定点.
（1）若，求的不动点；
（2）已知函数在定义域内严格递增，求证：“为函数的不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件；
（3）若函数，记全体不动点构成的集合为，全体稳定点构成的集合为，要使，求实数的取值范围.
【答案】（1），；
（2）证明见详解； （3）.
【解析】
【分析】（1）根据不动点定义，构造函数，利用导数判断其单调性，结合即可得解；
（2）根据不动点定义证明充分性，根据稳定点定义，结合单调性，利用反证法证明必要性；
（3）构造函数和，将因式分解为，将问题转化为方程存在不满足方程的根，利用判别式求解可得.
【小问1详解】
由不动点的定义可知，求函数的不动点，即求的根，
记，则转化为求函数的零点.
，，
令，解得，在上单调递增；
令，解得，在上单调递减.
所以函数最多有两个零点，
又，所以的零点为，，
即函数的不动点为，.
【小问2详解】
充分性：若为函数的不动点，则，
所以，所以是函数的稳定点；
必要性：若是函数的稳定点，则，
假设，则，
若，由函数定义域内严格递增，有，
又，与矛盾；
同理，也不成立.
综上，假设不成立，即，所以，必要性成立.
所以“为函数不动点”是“为函数的稳定点”的充分必要条件
【小问3详解】
若为函数的不动点，则，
所以，所以是函数的稳定点.
即的不动点必是其稳定点，即是的子集.
令，则的不动点为的根，
记，
令，则的稳定点为的根，
记
要使，则存在不满足方程的根.
记的判别式为，两根为，
方程的判别式为，两根为，
当时，，此时，不满足题意；
当时，两个方程的根必然不全相同，满足题意，
解得或，
所以实数的取值范围为.