2025-2026学年甘肃省张掖市山丹县大马营中学八年级（上）期末数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年甘肃省张掖市山丹县大马营中学八年级（上）期末数学试卷（含答案+解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.用数学的眼光观察下列关于体育的图标，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在3m,1x,x−1,x2+2x+15,m+nm−n中，分式的个数是( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
3.下列计算结果正确的是( )
A. a3⋅a2=a6B. a⋅a3=a3
C. (a5)2=a7D. x8÷x2=x6(x≠0)
4.如图，在△ABC中，AB=BC=CA，点O在△ABC内，OA=OB=OC，图中一共有( )个等腰三角形.
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
5.下列由左边到右边的式子变形是因式分解的是( )
A. a2−4=(a+2)(a−2)B. 4a(a+2b)=4a2+8ab
C. x2−3x+2=x(x−3)+2D. a2−b2+1=(a+b)(a−b)+1
6.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB=6，BC=10.按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线AP交BC于点G.则CG的长为( )
A. 8B. 6C. 4D. 2
7.下列命题的逆命题不成立的是( )
A. 如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等
B. 两直线平行，同位角相等
C. 全等三角形的对应边相等
D. 全等三角形的对应角相等
8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30∘，AD⊥AB，交BC于点D.若AD=2，则BC的长为( )
A. 10B. 8C. 6D. 4
9.对于实数a，b，定义新运算“※”，规定a※b=a3−ab.将多项式a※9因式分解的结果是( )
A. a(a2−9)B. a(a+9)(a−9)C. a(a−3)2D. a(a+3)(a−3)
10.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，S△ABC=24，直线GH是AB的垂直平分线，若点D是BC的中点，点E为直线GH上一个动点，连接BE、DE，则△BDE 的周长的最小值为( )
A. 8
B. 10
C. 11
D. 12
二、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分。
11.禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m，该直径用科学记数法表示为 m.
12.分式13−x有意义，x满足的条件为 .
13.把多项式ax2+2a2x+a3分解因式为 .
14.已知4y2+my+9是完全平方式，则m=______.
15.如图，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，若△BCD的周长是13，AB=8，则BC的长为 .
16.若xy=x−y≠0，则1y−1x= .
17.如图，在平面直角坐标系中，若点A(−3,1)，C(1,0)，过点C作BC⊥AC，且BC=AC，则点B的坐标为 .
18.在“Z”形薄板中建立如图所示的平面直角坐标系，其中x、y轴的单位长度都为1cm，则“Z”形薄板的重心坐标为 .
19.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E在AD上，下列四个结论：
①∠BED=∠CED；
②图中共有两组全等三角形；
③S△ABE=S△ACE；
④若∠CAD=2∠ECD，则AC=AD+ED.
其中所有正确结论的序号是 .
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
20.计算：
(1)(−4ab3)(−18ab)−(12ab2)2；
(2)(x+y)(x−y)−(x−2y)(2x−y).
四、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题3分)
如图，在△ABC中，∠A=40∘，求∠B+∠C+∠ADE+∠AED的度数.
22.(本小题8分)
先化简，再求值：xx2−1÷x2+xx2+2x+1+1x−1，其中x=2.
23.(本小题8分)
如图，已知△ABC的周长为33，AD是BC边上的中线，AB=32AC.
(1)当AC=10时，求BD的长；
(2)AC能否等于12？为什么？
24.(本小题8分)
已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点P.
(1)如图1，求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等；
(2)如图2，连接AP，若∠BPC=75∘，求∠PAC的度数.
25.(本小题8分)
2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱.某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的45，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个.
(1)求每个A种挂件的价格；
(2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件.
26.(本小题10分)
找规律
观察下列各式：
12+22+22=32；
22+62+32=72；
32+122+42=132；
(1)说明等式左边三个数之间的关系；
(2)根据以上规律，写出第4个式子；
(3)根据以上规律，写出第n(n为正整数)个式子，并说明理由.
27.(本小题10分)
已知：△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90∘，且点D在直线BC上，连接BE.
(1)如图1，点D在射线CB上，求证：EB⊥BC；
(2)如图2，点D在BC上，DE交AB于点F，且DF=DA，求证：AB+BE=BC；
(3)如图3，点D在射线BC上，AE交BC于点G，且BE=AC，若S△DEG=4，求BG的长.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、图形是轴对称图形，符合题意；
B、图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意，
故选：A.
根据轴对称图形的定义，逐个进行判断即可．
本题考查了轴对称图形，熟知一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：分式有：3m，1x，m+nm−n，共3个，
故选：B.
一般地，如果A、B(B≠0)表示两个整式，且B中含有字母，那么式子AB就叫做分式，由此判断即可．
本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵a3⋅a2=a5，
∴A选项的运算不正确，不符合题意；
∵a⋅a3=a4，
∴B选项的运算不正确，不符合题意；
∵(a5)2=a10，
∴C选项的运算不正确，不符合题意；
∵x8÷x2=x6(x≠0)，
∴D选项的运算正确，符合题意．
故选：D.
利用幂的乘方与积的乘方的性质，同底数幂的除法法则和同底数幂的乘法对每个选项的结论进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了幂的乘方与积的乘方的性质，同底数幂的除法法则和同底数幂的乘法，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵AB=BC=CA，OA=OB=OC，
∴△ABC、△OAB、△OBC、△OAC是等腰三角形，
∴图中一共有4个等腰三角形．
故选：A.
有两边相等的三角形是等腰三角形，由此即可判断．
本题考查等腰三角形的判定，关键是掌握等腰三角形的判定方法．
5.【答案】A
【解析】解：a2−4=(a+2)(a−2)符合因式分解的定义，则A符合题意，
4a(a+2b)=4a2+8ab是乘法运算，则B不符合题意，
x2−3x+2=x(x−3)+2中等号右边不是积的形式，则C不符合题意，
a2−b2+1=(a+b)(a−b)+1中等号右边不是积的形式，则D不符合题意，
故选：A.
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可．
本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：由作图过程可知，射线AG为∠BAD的平分线，
∴∠BAG=∠DAG.
∵AD//BC，
∴∠DAG=∠AGB，
∴∠BAG=∠AGB，
∴BG=AB=6，
∴CG=BC−BG=4.
故选：C.
由作图过程可知，射线AG为∠BAD的平分线，可得∠BAG=∠DAG.由平行线的性质得∠DAG=∠AGB，可得∠BAG=∠AGB，则BG=AB=6，即可得CG=BC−BG=4.
本题考查作图-基本作图、角平分线的定义、平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7.【答案】D
【解析】解：A、如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等，逆命题是如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等，逆命题成立，不符合题意；
B、两直线平行，同位角相等，逆命题是同位角相等，两直线平行，逆命题成立，不符合题意；
C、全等三角形的对应边相等，逆命题是对应边相等的三角形全等，逆命题成立，不符合题意；
D、全等三角形的对应角相等，逆命题是对应角相等的三角形全等，逆命题不成立，符合题意；
故选：D.
把原命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再根据绝对值、平行线的性质、三角形全等的判定定理判断．
本题考查的是命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
8.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，AB=AC，∠B=30∘，
∴∠C=∠B=30∘，
∴∠BAC=180∘−(∠C+∠B)=120∘，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90∘，
∴∠DAC=∠BAC−∠BAD=30∘，
∴∠DAC=∠C=30∘，
∴CD=AD=2，
在RtΔABD中，∠B=30∘，
∴BD=2AD=4，
∴BC=BD+CD=4+2=6，
∴BC的长为6.
故选：C.
根据等腰三角形性质得∠C=∠B=30∘，进而得∠BAC=120∘，根据AD⊥AB得∠DAC=∠C=30∘，则CD=AD=2，在RtΔABD中，根据∠B=30∘得BD=2AD=4，由此即可得出BC的长．
此题主要考查了含有30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握含有30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：a※9
=a3−9a
=a(a2−9)
=a(a+3)(a−3)，
故选：D.
根据定义的新运算列式，再提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，连接AD，

∵AB=AC，D为BC边中点，
∴AD⊥BC，
∵S△ABC=24，BC=6，
∴12BC⋅AD=24，
∴12×6×AD=24，
∴AD=8，
∵GH是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴DE+BE=DE+AE≥AD，
∴当点E在线段AD上时，DE+BE=DE+AE=AD，此时DE+BE的值最小，即DE+BE的最小值为8，
∵D为BC中点，
∴BD=12BC=3，
∴△BDE周长的最小值为DE+BE+BD=8+3=11.
故选：C.
连接AD，根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形的面积得到AD=8，根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，得到DE+BE=DE+AE≥AD，当点E在线段AD上时，DE+BE=DE+AE=AD，此时DE+BE的值最小，即DE+BE的最小值为8，由D为BC中点，得到BD=12BC=3，于是得到△BDE周长的最小值．
本题考查了等腰三角形的性质，轴对称-最短路径问题，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
11.【答案】1.02×10−7
【解析】【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|