四川省宜宾市2026届高三上学期第一次诊断性考试数学试卷含答案（word版）

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1. 已知 i 为虚数单位,则 2−i3+i=
A. 5+i B. 5+i C. 7+i D. 7−i
2. 如图所示, U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},B={3,4,5} ,则图中阴影部分表示的集合是
A. {3} B. {1,2} C. {4,5} D. {1,2,4,5}
3. 下列四个条件中,使 a>b 成立的充要条件是
A. a2>b2 B. a>b C. lna>lnb D. 2a>2b
4. 对具有线性相关关系的变量 x,y 有一组观测数据 xi,yii=1,2,⋯,8 ,其回归直线方程是 y=bx+14 ,且 x1+x2+x3+⋯+x8=2y1+y2+y3+⋯+y8=8 ,则实数 b 的值是
A. 18 B. 14 C. 12 D. 1
5. 在平面直角坐标系 xOy 中,设角 α 的顶点与坐标原点 O 重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 P2,1 ,则 tan2α=
A. 43 B. 34 C. −43 D. −34
6. 已知向量 a=−1,0,b=12,m ,若 a+b=a ,则 b=
A. 12 B. 32 C. 1 D. 3
7. 若函数 fx 为 R 上的奇函数,且当 x≥0 时, fx=ex−m ,则 fln14=
A. -4 B. -3 C. 3 D. 4
8. 已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,其中 a3 为 x+12x6 展开式中的常数项,且 S10S5= 3132 ,则 Sn 的最小值为
A. 5B. 203 C. 10 D. 不存在
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列结论正确的是
A. 若随机变量 X∼B4,34 ,则 EX=3
B.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N2,σ2,P13=0.2
C. 在做回归分析时,残差图中残差比较均匀分布在以取值为 0 的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示回归效果越差
D.若随机事件 A,B 满足: PA=12,PB=23,PA∪B=56 ,则事件 A 与 B 相互独立
10. 已知 fx=2csx⋅sinx+π6−12 ,下面结论正确的是
A. fx 的最小正周期为 π
B. fx 在 −π4,π6 上单调递增
C. fx 在 0,2π 上恰有 3 个零点
D. fx 的图象向左平移 π6 个单位长度后得到的图象关于 y 轴对称
11. 已知函数 fx=x+1ex−x−1 ,则下列说法正确的有
A. fx 有唯一零点
B. 不等式 fx≥0 的解集为 [−1,+∞)
C. fx 在区间 0,+∞ 上单调递增
D. fx 有两个极值点
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若直线 y=2x+1 是曲线 fx=lnx+x+a 的一条切线，则 a= _____.
13. 已知集合 A=x∣x=4n−2,n≤10,n∈N∗ ，集合 B=x∣x=6n−4,n≤10,n∈N∗ ，则集合 A∩B 的元素之和等于_____.
14. 甲乙两人分别从标有数字 1,2,3,4,⋯,13 的 13 张卡片中各抽取一张,甲乙取得的卡片上的数字分别记为 a,b ，则满足 2a+3b 的个位数字为 9 的有序数对 a,b 的个数为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
记 △ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 3c=3acsB+asinB .
(1)求角 A ；
(2)已知 BC,AC 边上的两条中线 AM,BN 相交于点 P ，且 AB=2,AC=4 ，求 ∠MPN 的余弦值.
16. (15分)
如图，已知四棱锥 P−ABCD 的底面 ABCD 为直角梯形， AB//CD,AB⊥BC,ΔABD 与 △PAD 均为等边三角形,且 PB=32AD .
(1)证明: PB⊥AD ；
(2)求平面 ABCD 与平面 PBC 所成角的余弦值.
17. (15 分)
已知函数 fx=2lnx−x+axa∈R .
(1)是否存在实数 a ，使得 x=1 为函数 fx 的极小值点. 若存在，求 a 的值；若不存在，请说明理由;
(2)若 fx 图象上总存在关于点 1,0 对称的两点，求 a 的取值范围.
18.(17分)
2025 年政府工作报告明确提出持续推进“人工智能+”行动. 上海某人工智能实验室的多模态大模型intern-S1-20251122 在某次数学测评中表现特别突出, 所有测评试题能得 1 分的可能性为 34 ,能得 2 分的可能性为 14 . 假设每道试题得分情况相互独立.
(1)从所有测评试题中随机抽取 4 道试题，记这 4 道题得分总数为 X ，求 X 的分布列和数学期望;
(2)从所有测评试题中随机抽取 n 道试题 n∈N∗ ，记这 n 道题得分总数为 n+1 的概率为 Pn ,求 P1+P2+P3+⋯+Pn 的值;
(3)已知王老师班有 20 名学生分别用 intern−S1−20251122 模型解答该数学测评中最后一题，若王老师按照这 20 人的总分概率最大为依据，一分奖励一朵小红花，请问王老师应该提前准备多少朵小红花比较合理?
19. (17 分)
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的离心率为 2 ，左、右焦点分别为 F1 、 F2 ，焦点 F2 到渐近线的距离为 1 . 经过点 F1 且倾斜角为 θ 的直线 l 与双曲线 C 的左支交于 A 、 B 两点 (其中点 A 在 x 轴上方).
(1)求双曲线 C 的标准方程；
(2)将平面 xOy 沿 x 轴折叠，记 y 轴正半轴和 x 轴所确定的半平面 (平面 AF1F2 ) 与 y 轴负半轴和 x 轴所确定的半平面 (平面 BF1F2 ) 所成的二面角为 α .
(i) 如图 1,当 α=π2,θ=π3 时,求折叠后 AF1+BF1−AB 的值;
(ii) 如图 2,当 α=π3 时,求折叠后的线段 AB 长度的取值范围.
图 1 图 2